量化子と集合
量化子と集合
全体集合を\(X\)として、その部分集合を\(A\subseteq X\)とする。
全体集合を\(X\)として、その部分集合を\(A\subseteq X\)とする。
(1)
\[ \forall x\in X,x\in A\Leftrightarrow A=X \](2)
\[ \forall x\in X,x\notin A\Leftrightarrow A=\emptyset \](3)
\[ \exists x\in X,x\in A\Leftrightarrow A\ne\emptyset \](4)
\[ \exists x\in X,x\notin A\Leftrightarrow A\ne X \](1)
\begin{align*} \forall x\in X,x\in A & \Leftrightarrow x\in X\rightarrow x\in A\\ & \Leftrightarrow x\in X\leftrightarrow x\in A\\ & \Leftrightarrow A=X \end{align*}(2)
(1)を使う。\begin{align*} \forall x\in X,x\notin A & \Leftrightarrow\forall x\in X,x\in A^{c}\\ & \Leftrightarrow A^{c}=X\\ & \Leftrightarrow A=\emptyset \end{align*}
(2)-2
直接計算する。\begin{align*} \forall x\in X,x\notin A & \Leftrightarrow x\in X\rightarrow x\in A^{c}\\ & \Leftrightarrow x\in X\leftrightarrow x\in A^{c}\\ & \Leftrightarrow A^{c}=X\\ & \Leftrightarrow A=\emptyset \end{align*}
(3)
\begin{align*} \exists x\in X,x\in A & \Leftrightarrow\exists x,x\in X\land x\in A\\ & \Leftrightarrow\exists x,x\in X\cap A\\ & \Leftrightarrow\exists x,x\in A\\ & \Leftrightarrow\exists x\in A,\top\\ & \Leftrightarrow A\ne\emptyset \end{align*}(4)
(3)を使う。\begin{align*} \exists x\in X,x\notin A & \Leftrightarrow\exists x\in X,x\in A^{c}\\ & \Leftrightarrow A^{x}\ne\emptyset\\ & \Leftrightarrow A\ne X \end{align*}
(4)-2
直接計算する。\begin{align*} \exists x\in X,x\notin A & \Leftrightarrow\exists x,x\in X\land x\notin A\\ & \Leftrightarrow\exists x,x\in X\cap A^{c}\\ & \Leftrightarrow\exists x,x\in A^{c}\\ & \Leftrightarrow\exists x\in A^{c},\top\\ & \Leftrightarrow A^{c}\ne\emptyset\\ & \Leftrightarrow A\ne X \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 量化子と集合 |
| URL | https://www.nomuramath.com/m3aqscpc/ |
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空集合と全体集合を含む集合演算
\[
A\cup A^{c}=X
\]
集合の演算の基本
\[
A\cup\left(A^{c}\cap B\right)=A\cup B
\]
集合の演算の定義
\[
A\cup B=\left\{ x;x\in A\lor x\in B\right\}
\]
集合族の和集合・積集合の性質
\[
\forall B\in\mathcal{A},B\subseteq\bigcup\mathcal{A}
\]