ジョルダン細胞のべき乗と指数関数
ジョルダン細胞のべき乗と指数関数
ジョルダン細胞について次が成り立つ。
\[ \left(J_{n}^{m}\left(\lambda\right)\right)_{i,j}=C\left(m,j-i\right)\lambda^{m+i-j} \]
\[ \left(\exp\left(J_{n}\left(\lambda\right)t\right)\right)_{i,j}=\frac{t^{j-i}}{\left(j-i\right)!}\exp\left(\lambda t\right) \]
ジョルダン細胞について次が成り立つ。
(1)べき乗
ジョルダン細胞\(J_{n}\left(\lambda\right)\)の\(m\)乗は次のようになる。\[ \left(J_{n}^{m}\left(\lambda\right)\right)_{i,j}=C\left(m,j-i\right)\lambda^{m+i-j} \]
(2)指数関数
ジョルダン細胞\(J_{n}\left(\lambda\right)\)の指数関数は次のようになる。\[ \left(\exp\left(J_{n}\left(\lambda\right)t\right)\right)_{i,j}=\frac{t^{j-i}}{\left(j-i\right)!}\exp\left(\lambda t\right) \]
\[
J_{n}\left(\lambda\right)=\lambda I+N
\]
とおくと、\(n=4\)のとき、
\[ N^{0}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \] \[ N=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \] \[ N^{2}=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \] \[ N^{3}=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \] \[ N^{4}=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \] \[ J_{4}\left(\lambda\right)=\left(\begin{array}{cccc} \lambda & 1 & 0 & 0\\ 0 & \lambda & 1 & 0\\ 0 & 0 & \lambda & 1\\ 0 & 0 & 0 & \lambda \end{array}\right) \] \[ J_{4}^{2}\left(\lambda\right)=\left(\begin{array}{cccc} \lambda^{2} & 2\lambda & 1 & 0\\ 0 & \lambda^{2} & 2\lambda & 1\\ 0 & 0 & \lambda^{2} & 2\lambda\\ 0 & 0 & 0 & \lambda^{2} \end{array}\right) \] \[ J_{4}^{3}\left(\lambda\right)=\left(\begin{array}{cccc} \lambda^{3} & 3\lambda^{2} & 3\lambda & 1\\ 0 & \lambda^{3} & 3\lambda^{2} & 3\lambda\\ 0 & 0 & \lambda^{3} & 3\lambda^{2}\\ 0 & 0 & 0 & \lambda^{3} \end{array}\right) \] \[ J_{4}^{4}\left(\lambda\right)=\left(\begin{array}{cccc} \lambda^{4} & 4\lambda^{3} & 6\lambda^{2} & 4\lambda\\ 0 & \lambda^{4} & 4\lambda^{3} & 6\lambda^{2}\\ 0 & 0 & \lambda^{4} & 4\lambda^{3}\\ 0 & 0 & 0 & \lambda^{4} \end{array}\right) \] \[ J_{4}^{5}\left(\lambda\right)=\left(\begin{array}{cccc} \lambda^{5} & 5\lambda^{4} & 10\lambda^{3} & 10\lambda^{2}\\ 0 & \lambda^{5} & 5\lambda^{4} & 10\lambda^{3}\\ 0 & 0 & \lambda^{5} & 5\lambda^{4}\\ 0 & 0 & 0 & \lambda^{5} \end{array}\right) \] となる。
\[ N^{0}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \] \[ N=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \] \[ N^{2}=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \] \[ N^{3}=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \] \[ N^{4}=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \] \[ J_{4}\left(\lambda\right)=\left(\begin{array}{cccc} \lambda & 1 & 0 & 0\\ 0 & \lambda & 1 & 0\\ 0 & 0 & \lambda & 1\\ 0 & 0 & 0 & \lambda \end{array}\right) \] \[ J_{4}^{2}\left(\lambda\right)=\left(\begin{array}{cccc} \lambda^{2} & 2\lambda & 1 & 0\\ 0 & \lambda^{2} & 2\lambda & 1\\ 0 & 0 & \lambda^{2} & 2\lambda\\ 0 & 0 & 0 & \lambda^{2} \end{array}\right) \] \[ J_{4}^{3}\left(\lambda\right)=\left(\begin{array}{cccc} \lambda^{3} & 3\lambda^{2} & 3\lambda & 1\\ 0 & \lambda^{3} & 3\lambda^{2} & 3\lambda\\ 0 & 0 & \lambda^{3} & 3\lambda^{2}\\ 0 & 0 & 0 & \lambda^{3} \end{array}\right) \] \[ J_{4}^{4}\left(\lambda\right)=\left(\begin{array}{cccc} \lambda^{4} & 4\lambda^{3} & 6\lambda^{2} & 4\lambda\\ 0 & \lambda^{4} & 4\lambda^{3} & 6\lambda^{2}\\ 0 & 0 & \lambda^{4} & 4\lambda^{3}\\ 0 & 0 & 0 & \lambda^{4} \end{array}\right) \] \[ J_{4}^{5}\left(\lambda\right)=\left(\begin{array}{cccc} \lambda^{5} & 5\lambda^{4} & 10\lambda^{3} & 10\lambda^{2}\\ 0 & \lambda^{5} & 5\lambda^{4} & 10\lambda^{3}\\ 0 & 0 & \lambda^{5} & 5\lambda^{4}\\ 0 & 0 & 0 & \lambda^{5} \end{array}\right) \] となる。
-
\[ \exp\left(J_{4}\left(\lambda\right)t\right)=\exp\left(\lambda t\right)\left(\begin{array}{cccc} 1 & \frac{t}{1!} & \frac{t^{2}}{2!} & \frac{t^{3}}{3!}\\ 0 & 1 & \frac{t}{1!} & \frac{t^{2}}{2!}\\ 0 & 0 & 1 & \frac{t}{1!}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \](1)
\[ J_{n}\left(\lambda\right)=\lambda I+N \] とおくと、\[ \left(N\right)_{i,j}=\delta_{i,j-1} \] なので
\[ \left(J_{n}\left(\lambda\right)\right)_{i,j}=\lambda\delta_{i,j}+\delta_{i,j-1} \] となる。
\(N^{k}\)を求めると、
\begin{align*} \left(N^{k}\right)_{i,j} & =\sum_{m=1}^{n}\left(N\right)_{i,m}\left(N^{k-1}\right)_{m,j}\\ & =\sum_{m=1}^{n}\left(\delta_{i,m-1}\right)\left(N^{k-1}\right)_{m,j}\\ & =\left(N^{k-1}\right)_{i+1,j}\\ & =\left(N^{k-\left(k-1\right)-1}\right)_{i+\left(k-1\right)+1,j}+\sum_{m=0}^{k-1}\left(\left(N^{k-m}\right)_{i+m,j}-\left(N^{k-m-1}\right)_{i+m+1,j}\right)\\ & =\left(N^{0}\right)_{i+k,j}\\ & =\left(I\right)_{i+k,j}\\ & =\delta_{i+k,j}\\ & =\delta_{i,j-k} \end{align*} となる。
\(\lambda I\)と\(N\)は可換なので、
\begin{align*} \left(J_{n}^{m}\left(\lambda\right)\right)_{i,j} & =\left(\left(\lambda I+N\right)^{m}\right)_{i,j}\\ & =\left(\sum_{k=1}^{m}C\left(m,k\right)\lambda^{m-k}N^{k}\right)_{i,j}\\ & =\sum_{k=1}^{m}C\left(m,k\right)\lambda^{m-k}\left(N^{k}\right)_{i,j}\\ & =\sum_{k=1}^{m}C\left(m,k\right)\lambda^{m-k}\delta_{i,j-k}\\ & =C\left(m,j-i\right)\lambda^{m-\left(j-i\right)}\\ & =C\left(m,j-i\right)\lambda^{m+i-j} \end{align*} となる。
(2)
\begin{align*} \left(\exp\left(J_{n}\left(\lambda\right)t\right)\right)_{i,j} & =\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{J_{n}^{k}\left(\lambda\right)t^{k}}{k!}\right)_{i,j}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^{k}}{k!}\left(J_{n}^{k}\left(\lambda\right)\right)_{i,j}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^{k}}{k!}C\left(k,j-i\right)\lambda^{k+i-j}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^{k}}{\left(j-i\right)!\left(k-\left(j-i\right)\right)!}\lambda^{k+i-j}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^{k+\left(j-i\right)}}{\left(j-i\right)!k!}\lambda^{k}\\ & =\frac{t^{j-i}}{\left(j-i\right)!}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^{k}\lambda^{k}}{k!}\\ & =\frac{t^{j-i}}{\left(j-i\right)!}\exp\left(\lambda t\right) \end{align*}
ページ情報
| タイトル | ジョルダン細胞のべき乗と指数関数 |
| URL | https://www.nomuramath.com/xpcv025f/ |
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ジョルダン細胞とジョルダン標準形の定義
\[
J_{n}\left(\lambda\right)=\left(\begin{array}{cccccc}
\lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
0 & \lambda & 1 & \ddots & 0 & 0\\
0 & 0 & \lambda & \ddots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda & 1\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda
\end{array}\right)
\]
広義固有空間・広義固有ベクトルの性質
\[
\dim\ker\left(\left(\lambda_{k}I-A\right)^{n_{k}}\right)=n_{k}
\]
広義固有空間と広義固有ベクトルの定義
\[
\widetilde{W}\left(\lambda_{k}\right)=\ker\left(\left(A-\lambda_{k}I\right)^{n_{k}}\right)
\]