射影行列
射影行列
体\(K\)上で考える。
\(n\times m\)行列\(A,B\)があり、\(B^{\perp}\)方向の\(\im A\)に射影をする\(n\times n\)射影行列\(P\)は\(B^{*}A\)は正則とすると、
\[ P=A\left(B^{*}A\right)^{-1}B^{*} \] となる。
この行列\(P\)はべき等行列である。
体\(K\)上で考える。
\(n\times m\)行列\(A,B\)があり、\(B^{\perp}\)方向の\(\im A\)に射影をする\(n\times n\)射影行列\(P\)は\(B^{*}A\)は正則とすると、
\[ P=A\left(B^{*}A\right)^{-1}B^{*} \] となる。
この行列\(P\)はべき等行列である。
\(A=B\)のとき、\(P\)はエルミート行列となり、直交射影行列になる。
内積空間\(\left(V,\left\langle \bullet,\bullet\right\rangle \right)\)上で考える。
直線上に直交射影する行列は直線\(u\)の単位ベクトルを\(\boldsymbol{u}\)とすれば、\(P_{u}=\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{*}\)となる。
何故なら、任意のベクトル\(\boldsymbol{x}\in V\)を、\(\boldsymbol{u}\)に平行な成分\(\boldsymbol{x}_{1}\)と垂直な成分\(\boldsymbol{x}_{2}\)に分けて、\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_{1}+\boldsymbol{x}_{2}\)となるので、
\begin{align*} P_{u}\boldsymbol{x} & =\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{*}\boldsymbol{x}\\ & =\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{*}\left(\boldsymbol{x}_{1}+\boldsymbol{x}_{2}\right)\\ & =\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{*}\boldsymbol{x}_{1}+\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{*}\boldsymbol{x}_{2}\\ & =\boldsymbol{u}\left|\boldsymbol{x}_{1}\right|+\boldsymbol{u}0\\ & =\boldsymbol{x}_{1} \end{align*} となるからである。
このとき、\(\boldsymbol{u}\)が単位ベクトルでないとすると、
\begin{align*} P_{u} & =\frac{\boldsymbol{u}}{\boldsymbol{u}}\frac{\boldsymbol{u}^{*}}{\boldsymbol{u}}\\ & =\frac{\boldsymbol{u}}{\left|\boldsymbol{u}\right|}\frac{\boldsymbol{u}^{*}}{\left|\boldsymbol{u}^{*}\right|}\\ & =\boldsymbol{u}\left(\boldsymbol{u}^{*}\boldsymbol{u}\right)^{-1}\boldsymbol{u}^{*} \end{align*} となる。
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直線上に射影する場合は次のようになる。内積空間\(\left(V,\left\langle \bullet,\bullet\right\rangle \right)\)上で考える。
直線上に直交射影する行列は直線\(u\)の単位ベクトルを\(\boldsymbol{u}\)とすれば、\(P_{u}=\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{*}\)となる。
何故なら、任意のベクトル\(\boldsymbol{x}\in V\)を、\(\boldsymbol{u}\)に平行な成分\(\boldsymbol{x}_{1}\)と垂直な成分\(\boldsymbol{x}_{2}\)に分けて、\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_{1}+\boldsymbol{x}_{2}\)となるので、
\begin{align*} P_{u}\boldsymbol{x} & =\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{*}\boldsymbol{x}\\ & =\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{*}\left(\boldsymbol{x}_{1}+\boldsymbol{x}_{2}\right)\\ & =\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{*}\boldsymbol{x}_{1}+\boldsymbol{u}\boldsymbol{u}^{*}\boldsymbol{x}_{2}\\ & =\boldsymbol{u}\left|\boldsymbol{x}_{1}\right|+\boldsymbol{u}0\\ & =\boldsymbol{x}_{1} \end{align*} となるからである。
このとき、\(\boldsymbol{u}\)が単位ベクトルでないとすると、
\begin{align*} P_{u} & =\frac{\boldsymbol{u}}{\boldsymbol{u}}\frac{\boldsymbol{u}^{*}}{\boldsymbol{u}}\\ & =\frac{\boldsymbol{u}}{\left|\boldsymbol{u}\right|}\frac{\boldsymbol{u}^{*}}{\left|\boldsymbol{u}^{*}\right|}\\ & =\boldsymbol{u}\left(\boldsymbol{u}^{*}\boldsymbol{u}\right)^{-1}\boldsymbol{u}^{*} \end{align*} となる。
\(\im P\)の基底を列ベクトルにして横に並べた行列を\(A\)として、\(\im P^{*}\)の基底を列ベクトルにして横に並べた行列を\(B\)とする。
このとき、\(A\)は\(n\times m\)行列なので\(\dim\im P=m\)であり、\(n=\dim\im P+\dim\ker P\)より、\(\dim\ker P=n-m\)となり、\(\dim\im P^{*}=\dim\im P=m,\dim\ker P^{*}=\dim\ker P=n-m\)となる。
\(A,B\)の決め方より、
\[ \im P=\im A \] \[ \im P^{*}=\im B \] が成り立つので、
\begin{align*} \ker P & =\left(\im P^{*}\right)^{\perp}\cmt{\because\ker C^{*}=\left(\im C\right)^{\perp}}\\ & =\left(\im B\right)^{\perp}\\ & =\ker B^{*}\cmt{\because\ker C^{*}=\left(\im C\right)^{\perp}} \end{align*} となる。
また、射影行列\(P\)は定め方より、\(P^{2}=P\)となるのでべき等行列である。
これより、
\begin{align*} K^{n} & =\im P\oplus\ker P\cmt{\because P\text{はべき等行列}}\\ & =\im A\oplus\ker B^{*} \end{align*} となる。
従って、任意の\(\boldsymbol{x}\in K^{n}\)に対し、ある\(\boldsymbol{x}_{1}\in\im A,\boldsymbol{x}_{2}\in\ker B^{*}\)が唯一存在し、\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_{1}+\boldsymbol{x}_{2}\)となる。
このとき、\(\boldsymbol{x}_{1}\in\im A\)なので、ある\(\boldsymbol{y}\in K^{n}\)が存在し、\(\boldsymbol{x}_{1}=A\boldsymbol{y}_{1}\)となり、
\begin{align*} B^{*}\boldsymbol{x} & =B^{*}\left(\boldsymbol{x}_{1}+\boldsymbol{x}_{2}\right)\\ & =B^{*}\boldsymbol{x}_{1}\cmt{\because\boldsymbol{x}_{2}\in\ker B^{*}}\\ & =B^{*}A\boldsymbol{y}_{1} \end{align*} となるので、
\[ \boldsymbol{y}_{1}=\left(B^{*}A\right)^{-1}B^{*}\boldsymbol{x}_{1} \] となり、
\begin{align*} \boldsymbol{x}_{1} & =A\boldsymbol{y}_{1}\\ & =A\left(B^{*}A\right)^{-1}B^{*}\boldsymbol{x}_{1} \end{align*} となる。
ここで、\(P=A\left(B^{*}A\right)^{-1}B^{*}\)とおくと、\(P\boldsymbol{x}_{1}=\boldsymbol{x}_{1}\)となり、
\begin{align*} P\left(\boldsymbol{x}\right) & =P\left(\boldsymbol{x}_{1}+\boldsymbol{x}_{2}\right)\\ & =P\boldsymbol{x}_{1}+P\boldsymbol{x}_{2}\\ & =\boldsymbol{x}_{1}+A\left(B^{*}A\right)^{-1}B^{*}\boldsymbol{x}_{2}\\ & =\boldsymbol{x}_{1}\cmt{\because\boldsymbol{x}_{2}\in\ker B^{*}} \end{align*} となるので、任意の\(\boldsymbol{x}\in K^{n}\)は\(\im A\)に射影されている。
また、射影前後のベクトルの変化は\(\left(P\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}\right)\)であり、
\begin{align*} B^{*}\left(P\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}\right) & =B^{*}\left(\boldsymbol{x}_{1}-\left(\boldsymbol{x}_{1}+\boldsymbol{x}_{2}\right)\right)\\ & =-B^{*}\boldsymbol{x}_{2}\\ & =\boldsymbol{0}\cmt{\because\boldsymbol{x}_{2}\in\ker B^{*}} \end{align*} となり、\(B\)の各列ベクトルと\(\left(P\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}\right)\)は直交しているので、\(B^{\perp}\text{方向}\)に射影している。
従って射影行列は\(P=A\left(B^{*}A\right)^{-1}B^{*}\)となる。
\begin{align*} P^{2} & =\left(A\left(B^{*}A\right)^{-1}B^{*}\right)^{2}\\ & =A\left(B^{*}A\right)^{-1}B^{*}A\left(B^{*}A\right)^{-1}B^{*}\\ & =A\left(B^{*}A\right)^{-1}\left(B^{*}A\right)\left(B^{*}A\right)^{-1}B^{*}\\ & =A\left(B^{*}A\right)^{-1}B^{*}\\ & =P \end{align*} となるのでべき等行列である。
このとき、\(A\)は\(n\times m\)行列なので\(\dim\im P=m\)であり、\(n=\dim\im P+\dim\ker P\)より、\(\dim\ker P=n-m\)となり、\(\dim\im P^{*}=\dim\im P=m,\dim\ker P^{*}=\dim\ker P=n-m\)となる。
\(A,B\)の決め方より、
\[ \im P=\im A \] \[ \im P^{*}=\im B \] が成り立つので、
\begin{align*} \ker P & =\left(\im P^{*}\right)^{\perp}\cmt{\because\ker C^{*}=\left(\im C\right)^{\perp}}\\ & =\left(\im B\right)^{\perp}\\ & =\ker B^{*}\cmt{\because\ker C^{*}=\left(\im C\right)^{\perp}} \end{align*} となる。
また、射影行列\(P\)は定め方より、\(P^{2}=P\)となるのでべき等行列である。
これより、
\begin{align*} K^{n} & =\im P\oplus\ker P\cmt{\because P\text{はべき等行列}}\\ & =\im A\oplus\ker B^{*} \end{align*} となる。
従って、任意の\(\boldsymbol{x}\in K^{n}\)に対し、ある\(\boldsymbol{x}_{1}\in\im A,\boldsymbol{x}_{2}\in\ker B^{*}\)が唯一存在し、\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_{1}+\boldsymbol{x}_{2}\)となる。
このとき、\(\boldsymbol{x}_{1}\in\im A\)なので、ある\(\boldsymbol{y}\in K^{n}\)が存在し、\(\boldsymbol{x}_{1}=A\boldsymbol{y}_{1}\)となり、
\begin{align*} B^{*}\boldsymbol{x} & =B^{*}\left(\boldsymbol{x}_{1}+\boldsymbol{x}_{2}\right)\\ & =B^{*}\boldsymbol{x}_{1}\cmt{\because\boldsymbol{x}_{2}\in\ker B^{*}}\\ & =B^{*}A\boldsymbol{y}_{1} \end{align*} となるので、
\[ \boldsymbol{y}_{1}=\left(B^{*}A\right)^{-1}B^{*}\boldsymbol{x}_{1} \] となり、
\begin{align*} \boldsymbol{x}_{1} & =A\boldsymbol{y}_{1}\\ & =A\left(B^{*}A\right)^{-1}B^{*}\boldsymbol{x}_{1} \end{align*} となる。
ここで、\(P=A\left(B^{*}A\right)^{-1}B^{*}\)とおくと、\(P\boldsymbol{x}_{1}=\boldsymbol{x}_{1}\)となり、
\begin{align*} P\left(\boldsymbol{x}\right) & =P\left(\boldsymbol{x}_{1}+\boldsymbol{x}_{2}\right)\\ & =P\boldsymbol{x}_{1}+P\boldsymbol{x}_{2}\\ & =\boldsymbol{x}_{1}+A\left(B^{*}A\right)^{-1}B^{*}\boldsymbol{x}_{2}\\ & =\boldsymbol{x}_{1}\cmt{\because\boldsymbol{x}_{2}\in\ker B^{*}} \end{align*} となるので、任意の\(\boldsymbol{x}\in K^{n}\)は\(\im A\)に射影されている。
また、射影前後のベクトルの変化は\(\left(P\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}\right)\)であり、
\begin{align*} B^{*}\left(P\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}\right) & =B^{*}\left(\boldsymbol{x}_{1}-\left(\boldsymbol{x}_{1}+\boldsymbol{x}_{2}\right)\right)\\ & =-B^{*}\boldsymbol{x}_{2}\\ & =\boldsymbol{0}\cmt{\because\boldsymbol{x}_{2}\in\ker B^{*}} \end{align*} となり、\(B\)の各列ベクトルと\(\left(P\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}\right)\)は直交しているので、\(B^{\perp}\text{方向}\)に射影している。
従って射影行列は\(P=A\left(B^{*}A\right)^{-1}B^{*}\)となる。
べき等行列であることの証明
べき等行列であることを示す。\begin{align*} P^{2} & =\left(A\left(B^{*}A\right)^{-1}B^{*}\right)^{2}\\ & =A\left(B^{*}A\right)^{-1}B^{*}A\left(B^{*}A\right)^{-1}B^{*}\\ & =A\left(B^{*}A\right)^{-1}\left(B^{*}A\right)\left(B^{*}A\right)^{-1}B^{*}\\ & =A\left(B^{*}A\right)^{-1}B^{*}\\ & =P \end{align*} となるのでべき等行列である。
ページ情報
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行列を挟んでいる場合の解
\[
XAX=B\Rightarrow X=A^{-\frac{1}{2}}\left(A^{\frac{1}{2}}BA^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}A^{-\frac{1}{2}}
\]
Woodburyの恒等式
\[
\left(A+BCD\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}B\left(C^{-1}+DA^{-1}B\right)^{-1}DA^{-1}
\]
同時対角化可能と可換性
行列$A,B$が共に対角化可能であるとき、$AB=BA$であることと、$A$と$B$が同時対角化可能であることは同値である。
巡回行列の定義と性質
\[
C=\left(\begin{array}{cccccc}
x_{0} & x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n-2} & x_{n-1}\\
x_{n-1} & x_{0} & x_{1} & \cdots & x_{n-3} & x_{n-2}\\
x_{n-2} & x_{n-1} & x_{0} & \cdots & x_{n-4} & x_{n-3}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
x_{2} & x_{3} & x_{4} & \cdots & x_{0} & x_{1}\\
x_{1} & x_{2} & x_{3} & \cdots & x_{n-1} & x_{0}
\end{array}\right)
\]