核・像・次元の性質
核・像・次元の性質
核・像・次元は次のような性質がある。
ベクトル空間\(K^{n}\)があり\(m\times n\)行列\(A\)について次が成り立つ。
\[ \im A=\left(\ker A^{*}\right)^{\perp} \] となる。
核・像・次元は次のような性質がある。
ベクトル空間\(K^{n}\)があり\(m\times n\)行列\(A\)について次が成り立つ。
(1)像の次元
\[ \dim\im A^{*}=\dim\im A \](2)核の次元
\[ \dim\ker A^{*}=\dim\ker A \](3)像・核と直交補空間
\[ \ker A^{*}=\left(\im A\right)^{\perp} \](4)像・核と直交補空間
\[ \im A\subseteq\left(\ker A^{*}\right)^{\perp} \] \(K^{n}\)が有限次元では\[ \im A=\left(\ker A^{*}\right)^{\perp} \] となる。
一般的に\(\im A^{*}\ne\im A\)です。
例えば
\[ A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right) \] とすると、
\[ \im A=\left\{ \left(\begin{array}{c} c_{1}\\ 0 \end{array}\right);c_{1}\in K\right\} \] \[ \im A^{*}=\left\{ \left(\begin{array}{c} c_{1}\\ c_{1} \end{array}\right);c_{1}\in K\right\} \] となります。
例えば
\[ A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right) \] とすると、
\[ \im A=\left\{ \left(\begin{array}{c} c_{1}\\ 0 \end{array}\right);c_{1}\in K\right\} \] \[ \im A^{*}=\left\{ \left(\begin{array}{c} c_{1}\\ c_{1} \end{array}\right);c_{1}\in K\right\} \] となります。
像・核と直交補空間
\[ A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right) \] とすると、\begin{align*} \ker A^{*} & =\ker\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right)^{*}\\ & =\ker\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)\\ & =\left\{ \left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ c_{3} \end{array}\right);c_{3}\in K,\right\} \end{align*} \begin{align*} \left(\ker A^{*}\right)^{\perp} & =\left\{ \left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ c_{3} \end{array}\right);c_{3}\in K,\right\} ^{\perp}\\ & =\left\{ \left(\begin{array}{c} c_{1}\\ c_{2}\\ 0 \end{array}\right);c_{1},c_{2}\in K\right\} \end{align*} \begin{align*} \im A & =\im\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right)\\ & =\left\{ \left(\begin{array}{c} c_{1}\\ c_{2}\\ 0 \end{array}\right);c_{1},c_{2}\in K\right\} \end{align*} \begin{align*} \left(\im A\right)^{\perp} & =\left\{ \left(\begin{array}{c} c_{1}\\ c_{2}\\ 0 \end{array}\right);c_{1},c_{2}\in K\right\} ^{\perp}\\ & =\left\{ \left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ c_{3} \end{array}\right);c_{3}\in K\right\} \end{align*} となるので、
\[ \ker A^{*}=\left(\im A\right)^{\perp} \] \[ \im A=\left(\ker A^{*}\right)^{\perp} \] となる。
(1)
\begin{align*} \dim\im A^{*} & =\rank A^{*}\\ & =\rank A\\ & =\dim\im A \end{align*}(2)
\begin{align*} \dim\ker A^{*} & =n-\dim\im A^{*}\\ & =n-\dim\im A\\ & =\dim\ker A \end{align*}(3)
\(\subseteq\)
任意の\(\boldsymbol{x}\in\ker A^{*}\)に対し、任意に\(\boldsymbol{a}\in\im A\)を選ぶと、ある\(\boldsymbol{b}\)が存在し、\(A\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}\)とできる。これより、
\begin{align*} \left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right\rangle & =\left\langle \boldsymbol{x},A\boldsymbol{b}\right\rangle \\ & =\left\langle A^{*}\boldsymbol{x},\boldsymbol{b}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{0},\boldsymbol{b}\right\rangle \\ & =0 \end{align*} となり、\(\left(\im A\right)^{\perp}=\left\{ \boldsymbol{a}_{1};\forall\boldsymbol{a}_{2}\in\im A,\boldsymbol{a}_{1}\perp\boldsymbol{a}_{2}\right\} \)なので、\(\boldsymbol{x}\in\left(\im A\right)^{\perp}\)となり\(\subseteq\)が成り立つ。
\(\supseteq\)
任意の\(\boldsymbol{a}\in K^{n},\boldsymbol{b}\in\left(\im A\right)^{\perp}\)に対し、、\(A\boldsymbol{a}\in\im A\)であるので、直交補集合の定義より、\(\left\langle A\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right\rangle =0\)となる。従って、
\begin{align*} 0 & =\left\langle A\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{a},A^{*}\boldsymbol{b}\right\rangle \end{align*} となり、これは任意の\(\boldsymbol{a}\in K^{n}\)に対し成り立つので、\(A^{*}\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0}\)となり、\(\boldsymbol{b}\in\ker A^{*}\)となる。
従って、\(\supseteq\)が成り立つ。
\(=\)
これらより、\(\subseteq\)と\(\supseteq\)が成り立つので\(=\)が成り立つ。(4)
直交補空間は\(X\subseteq X^{\perp\perp}\)が成り立つので、\(\im A\subseteq\left(\im A\right)^{\perp\perp}=\left(\ker A^{*}\right)^{\perp}\)となる。有限次元では\(X=X^{\perp\perp}\)が成り立つので、\(\im A=\left(\im A\right)^{\perp\perp}=\left(\ker A^{*}\right)^{\perp}\)となる。
従って与式は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 核・像・次元の性質 |
| URL | https://www.nomuramath.com/swsgtdkp/ |
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