バナッハ空間になることを証明する。

(1)

\(\left(\boldsymbol{x}_{k}=\left(y_{k,1},y_{k,2},\cdots,y_{k,n}\right)\right)_{k\in\mathbb{N}}\in K^{n}\)を\(p\)ノルムのコーシー列とする。
このとき、任意の\(\epsilon>0\)に対し、ある\(N>0\)が存在し\(\left(N\leq m_{1},m_{2}\right)\Rightarrow\left\Vert \boldsymbol{x}_{m_{1}}-\boldsymbol{x}_{m_{2}}\right\Vert _{p}<\epsilon\)となり、
\begin{align*} \epsilon & >\left\Vert \boldsymbol{x}_{m_{1}}-\boldsymbol{x}_{m_{2}}\right\Vert _{p}\\ & \geq n^{\left(\frac{1}{p}-1\right)}\left\Vert \boldsymbol{x}_{m_{1}}-\boldsymbol{x}_{m_{2}}\right\Vert _{1}\cmt{\because0<r<p\rightarrow\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{p}\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{r}\leq n^{\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{p}\right)}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{p}}\\ & \geq\left\Vert \boldsymbol{x}_{m_{1}}-\boldsymbol{x}_{m_{2}}\right\Vert _{1}\\ & =\sum_{j=1}^{n}\left|y_{m_{1},j}-y_{m_{2},j}\right|\\ & \geq\left|y_{m_{1},j}-y_{m_{2},j}\right| \end{align*} となる。
これより、\(\left(y_{k,j}\right)_{k\in\mathbb{N}}\)は\(\mathbb{C}\)上のコーシー列になり、\(\mathbb{C}\)は完備なので\(\lim_{k\rightarrow\infty}y_{k,j}=y_{j}\in\mathbb{C}\)となる。
ここまでで、\(\boldsymbol{x}_{k}\)の各成分については\(\lim_{k\rightarrow\infty}y_{k,j}=y_{j}\in\mathbb{C}\)となり完備なことを示した。
\(\lim_{k\rightarrow\infty}y_{k,j}=y_{j}\)なので、任意の\(\epsilon>0\)に対し、ある\(N_{j}>0\)が存在し、\(N_{j}\leq m\Rightarrow\left|y_{m,j}-y_{j}\right|<\epsilon\)となる。
ここで\(N=\max\left\{ N_{1},N_{2},\cdots,N_{n}\right\} \)とすると、\(N\leq m\Rightarrow\sum_{m=1}^{n}\left|y_{m,j}-y_{j}\right|^{p}<n\epsilon^{p}\)となる。
これより、
\begin{align*} n^{\frac{1}{p}}\epsilon & =\left(n\epsilon^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\\ & >\left(\sum_{m=1}^{n}\left|y_{m,j}-y_{j}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\\ & =\left\Vert \boldsymbol{x}_{j}-\boldsymbol{x}\right\Vert _{p} \end{align*} となり、\(\lim_{j\rightarrow\infty}\boldsymbol{x}_{j}=\boldsymbol{x}\in\mathbb{C}^{n}\)となるので、\(\mathbb{C}^{n}\)は完備となる。
従って、\(\mathbb{C}^{n}\)にノルムを\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{p}\)で定めるとバナッハ空間となる。

(2)

\(\left(f_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\subseteq C\left[0,1\right]\)をコーシー列とすると、任意の\(\epsilon>0\)に対し、ある\(N\in\mathbb{N}\)が存在し、\(\left(N\leq m,n\right)\Rightarrow\left\Vert f_{n}-f_{m}\right\Vert <\epsilon\)となる。
このとき、\(\epsilon>\left\Vert f_{n}-f_{m}\right\Vert =\sup_{0\leq x\leq1}\left|f_{n}\left(x\right)-f_{m}\left(x\right)\right|\)であるので、\(\forall x\in\left[0,1\right],\left|f_{n}\left(x\right)-f_{m}\left(x\right)\right|<\epsilon\)となり、任意の\(x\in\left[0,1\right]\)に対し、\(\left(f_{n}\left(x\right)\right)_{k\in\mathbb{N}}\)は複素数上のコーシー列となる。
複素数は完備であるので、\(\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|=\lim_{m\rightarrow\infty}\left|f_{n}\left(x\right)-f_{m}\left(x\right)\right|<\epsilon\)となり、\(\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)=f\left(x\right)\)となる。
また、このとき\(\left(f_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\)は\(f\)に一様収束していて、連続関数列の一様収束先は連続関数なので、\(f\in C\left[0,1\right]\)となる。
すなわち、\(\left(f_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\subseteq C\left[0,1\right]\)がコーシー列ならば、収束先も\(\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}=f\in C\left[0,1\right]\)であるので完備となる。
従って、\(C\left[0,1\right]\)にノルムを\(\left\Vert f\right\Vert \)で定めるとバナッハ空間となる。

(2)-2

\(f\in\)\(C\left[0,1\right]\)を直接示す。
\(\left(f_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\subseteq C\left[0,1\right]\)なので、任意の\(x\in\left[0,1\right],\epsilon>0\)に対し、ある\(\delta>0\)が存在し、\(f_{k}\)は連続となり、
\[ \left|x-y\right|<\delta\Rightarrow\left|f_{k}\left(x\right)-f_{k}\left(y\right)\right|<\epsilon \] より、
\begin{align*} \left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right| & =\left|f\left(x\right)-f_{k}\left(x\right)+f_{k}\left(x\right)-f_{k}\left(y\right)+f_{k}\left(y\right)-f\left(y\right)\right|\\ & \leq\left|f\left(x\right)-f_{k}\left(x\right)\right|+\left|f_{k}\left(x\right)-f_{k}\left(y\right)\right|+\left|f_{k}\left(y\right)-f\left(y\right)\right|\\ & <\epsilon+\epsilon+\epsilon\\ & =3\epsilon \end{align*} となるので\(f\left(x\right)\)は連続となる。
また、任意の\(x\in\left[0,1\right]\)に対し、\(\left(N\leq m,n\right)\Rightarrow\left|f_{n}\left(x\right)-f_{m}\left(x\right)\right|<\epsilon\)なので、\(\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|=\lim_{m\rightarrow\infty}\left|f_{n}\left(x\right)-f_{m}\left(x\right)\right|\leq\epsilon\)より、\(N\leq n\Rightarrow\left\Vert f_{n}-f\right\Vert \leq\epsilon\)となるので、\(\lim_{k\rightarrow\infty}f_{k}=f\)となる。
これより、\(f\in C\left[0,1\right]\)となるので完備となる。
従って、\(C\left[0,1\right]\)にノルムを\(\left\Vert f\right\Vert \)で定めるとバナッハ空間となる。