ノルムの同値性の定義と性質

by nomura · 2026年6月10日

ノルムの同値性の定義と性質
ノルムの同値性の定義と性質は次のようになる。

ノルムの同値性の定義

(0)同値性の定義

ベクトル空間\(V\)上に2つのノルム\(\left\Vert \bullet\right\Vert _{A},\left\Vert \bullet\right\Vert _{B}\)があり、ある定数\(c_{1},c_{2}>0\)が存在し、任意の\(\boldsymbol{x}\in V\)に対し、
\[ c_{1}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{A}\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{B}\leq c_{2}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{A} \] となるとき、2つのノルム\(\left\Vert \bullet\right\Vert _{A},\left\Vert \bullet\right\Vert _{B}\)は同値であるという。

ノルムの同値性の性質

(1)同値関係

ノルムの同値は同値関係(反射律・対称律・推移律)となる。

(2)

ベクトル空間\(V\)のノルム\(\left\Vert \bullet\right\Vert _{A},\left\Vert \bullet\right\Vert _{B}\)が同値であるとき、\(\lim_{k\rightarrow\infty}\left\Vert \boldsymbol{x}_{k}-\boldsymbol{x}\right\Vert _{A}=0\Leftrightarrow\lim_{k\rightarrow\infty}\left\Vert \boldsymbol{x}_{k}-\boldsymbol{x}\right\Vert _{B}=0\)となる。
すなわち、\(\left\Vert \bullet\right\Vert _{A}\)で\(\lim_{k\rightarrow\infty}\boldsymbol{x}_{k}=\boldsymbol{x}\)であることと、\(\left\Vert \bullet\right\Vert _{B}\)で\(\lim_{k\rightarrow\infty}\boldsymbol{x}_{k}=\boldsymbol{x}\)であることは同値となる。

\(0<p<q\)のとき、\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{q}\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{q}\leq n^{\left(\frac{1}{p}-\frac{1}{q}\right)}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{q}\)となり\(0<n^{\left(\frac{1}{p}-\frac{1}{q}\right)}\)なので、これがノルムとなる\(p\)ノルムでは\(1\leq p<q\)のとき、\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{p},\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{q}\)は同値となる。

(1)

反射律

\(c_{1}=c_{2}=1\)とすれば\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{A}\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{A}\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{A}\)なので、\(\left\Vert \bullet\right\Vert _{A}\sim\left\Vert \bullet\right\Vert _{A}\)となり反射律を満たす。

対称律

\(\left\Vert \bullet\right\Vert _{A}\sim\left\Vert \bullet\right\Vert _{B}\)を\(c_{1}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{A}\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{B}\leq c_{2}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{A}\)とすると、\(c_{1},c_{2}>0\)なので\(c_{2}^{-1}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{B}\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{A}\leq c_{1}^{-1}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{B}\)となり\(\left\Vert \bullet\right\Vert _{B}\sim\left\Vert \bullet\right\Vert _{A}\)となり、対称律を満たす。

推移律

\(\left\Vert \bullet\right\Vert _{A}\sim\left\Vert \bullet\right\Vert _{B}\land\left\Vert \bullet\right\Vert _{B}\sim\left\Vert \bullet\right\Vert _{C}\)のとき、\(c_{1}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{A}\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{B}\leq c_{2}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{A}\land c_{3}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{B}\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{C}\leq c_{4}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{B}\)なので、\(c_{1}c_{3}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{A}\leq c_{3}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{B}\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{C}\)かつ、\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{C}\leq c_{4}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{B}\leq c_{4}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{B}\leq c_{2}c_{4}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{A}\)なので、\(c_{1}c_{3}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{A}\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{C}\leq c_{2}c_{4}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{A}\)となり、\(\left\Vert \bullet\right\Vert _{A}\sim\left\Vert \bullet\right\Vert _{C}\)となるので推移律を満たす。

-

これらより、反射律・対称律・推移律を満たすので、ノルムの同値性は同値関係になる。

(2)

ノルム\(\left\Vert \bullet\right\Vert _{A},\left\Vert \bullet\right\Vert _{B}\)が同値であるので、ある定数\(c_{1},c_{2}>0\)が存在し、任意の\(\boldsymbol{x}\in V\)に対し、
\[ c_{1}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{A}\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{B}\leq c_{2}\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{A} \] となる。

\(\Rightarrow\)

\(\lim_{n\rightarrow\infty}\left\Vert \boldsymbol{x}_{n}-\boldsymbol{x}\right\Vert _{A}=0\)ならば、2つのノルムが同値なので、ある\(c_{2}>0\)が存在して、
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\left\Vert \boldsymbol{x}_{n}-\boldsymbol{x}\right\Vert _{B} & \leq\lim_{n\rightarrow\infty}c_{2}\left\Vert \boldsymbol{x}_{n}-\boldsymbol{x}\right\Vert _{A}\\ & =c_{2}\lim_{n\rightarrow\infty}\left\Vert \boldsymbol{x}_{n}-\boldsymbol{x}\right\Vert _{A}\\ & =0 \end{align*} となるので、\(\lim_{n\rightarrow\infty}\left\Vert \boldsymbol{x}_{n}-\boldsymbol{x}\right\Vert _{B}=0\)となる。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\(\lim_{n\rightarrow\infty}\left\Vert \boldsymbol{x}_{n}-\boldsymbol{x}\right\Vert _{B}=0\)ならば、2つのノルムが同値なので、ある\(c_{1}>0\)が存在して、
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\left\Vert \boldsymbol{x}_{n}-\boldsymbol{x}\right\Vert _{A} & \leq\lim_{n\rightarrow\infty}c_{1}^{-1}\left\Vert \boldsymbol{x}_{n}-\boldsymbol{x}\right\Vert _{B}\\ & =c_{1}^{-1}\lim_{n\rightarrow\infty}\left\Vert \boldsymbol{x}_{n}-\boldsymbol{x}\right\Vert _{B}\\ & =0 \end{align*} となるので、\(\lim_{n\rightarrow\infty}\left\Vert \boldsymbol{x}_{n}-\boldsymbol{x}\right\Vert _{A}=0\)となる。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。