ノルム空間のコーシー列・収束列・有界列・連続の定義
ノルム空間\(V\)についてコーシー列・収束列・有界列を次で定義する。

(1)コーシー列

点列\(\left(x_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\subseteq V\)があり、\(\lim_{m,n\rightarrow\infty}\left\Vert x_{m}-x_{n}\right\Vert =0\)となるとき、すなわち、\(\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\left(N\leq m,n\right)\rightarrow\left\Vert x_{m}-x_{n}\right\Vert <\epsilon\)となるとき、\(\left(x_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\)はコーシー列であるという。

(2)収束列

点列\(\left(x_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\subseteq V\)があるとき、ある\(x\in V\)が存在し、\(\lim_{k\rightarrow\infty}\left\Vert x_{k}-x\right\Vert =0\)となるとき、すなわち、\(\forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},N\leq n\rightarrow\left\Vert x_{n}-x\right\Vert <\epsilon\)となるとき、点列\(\left(x_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\)を収束列といい、\(\lim_{k\rightarrow\infty}x_{k}=x\)で表し、点列\(\left(x_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\subseteq V\)は\(x\)に収束する、または点列\(\left(x_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\subseteq V\)の極限値は\(x\)であるという。

(3)有界列

点列\(\left(x_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\subseteq V\)があるとき、部分集合\(\left\{ x_{k};k\in\mathbb{N}\right\} \)が有界なとき、すなわち、\(\exists M>0,\forall n\in\mathbb{N},\left\Vert x_{n}\right\Vert \leq M\)となるとき、点列\(\left(x_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}\)を有界列という。

(4)連続

ノルム空間\(\left(X,\left\Vert \bullet\right\Vert _{X}\right),\left(Y,\left\Vert \bullet\right\Vert _{Y}\right)\)があり、写像\(f:X\rightarrow Y\)があるとする。
このとき、\(x_{0}\in X\)として、\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f\left(x\right)=f\left(x_{0}\right)\)すなわち、\(\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x\in X,\left\Vert x-x_{0}\right\Vert _{X}<\delta\rightarrow\left\Vert f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)\right\Vert _{Y}<\epsilon\)となるとき、\(f\)が\(x_{0}\)で連続であるという。
また、\(A\subseteq X\)として、\(\forall x_{0}\in A,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x\in A,\left\Vert x-x_{0}\right\Vert _{X}<\delta\rightarrow\left\Vert f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)\right\Vert _{Y}<\epsilon\)が成り立つとき、\(f\)が\(A\subseteq X\)で連続であるという。