行列を挟んでいる場合の解
行列を挟んでいる場合の解
行列\(A,B,X\)があり、\(A\)が正則であるとき、
\[ XAX=B \] を\(X\)について解くと、
\[ X=A^{-\frac{1}{2}}\left(A^{\frac{1}{2}}BA^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}A^{-\frac{1}{2}} \] となる。
行列\(A,B,X\)があり、\(A\)が正則であるとき、
\[ XAX=B \] を\(X\)について解くと、
\[ X=A^{-\frac{1}{2}}\left(A^{\frac{1}{2}}BA^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}A^{-\frac{1}{2}} \] となる。
両辺の左右から\(A^{\frac{1}{2}}\)を掛けると、
\begin{align*} A^{\frac{1}{2}}BA^{\frac{1}{2}} & =A^{\frac{1}{2}}XAXA^{\frac{1}{2}}\\ & =A^{\frac{1}{2}}XA^{\frac{1}{2}}A^{\frac{1}{2}}XA^{\frac{1}{2}}\\ & =\left(A^{\frac{1}{2}}XA^{\frac{1}{2}}\right)^{2} \end{align*} となる。
これより、
\[ A^{\frac{1}{2}}XA^{\frac{1}{2}}=\left(A^{\frac{1}{2}}BA^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} \] となるので、左右から\(A^{-\frac{1}{2}}\)を掛けると、
\[ X=A^{-\frac{1}{2}}\left(A^{\frac{1}{2}}BA^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}A^{-\frac{1}{2}} \] となる。
\begin{align*} A^{\frac{1}{2}}BA^{\frac{1}{2}} & =A^{\frac{1}{2}}XAXA^{\frac{1}{2}}\\ & =A^{\frac{1}{2}}XA^{\frac{1}{2}}A^{\frac{1}{2}}XA^{\frac{1}{2}}\\ & =\left(A^{\frac{1}{2}}XA^{\frac{1}{2}}\right)^{2} \end{align*} となる。
これより、
\[ A^{\frac{1}{2}}XA^{\frac{1}{2}}=\left(A^{\frac{1}{2}}BA^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} \] となるので、左右から\(A^{-\frac{1}{2}}\)を掛けると、
\[ X=A^{-\frac{1}{2}}\left(A^{\frac{1}{2}}BA^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}A^{-\frac{1}{2}} \] となる。
ページ情報
| タイトル | 行列を挟んでいる場合の解 |
| URL | https://www.nomuramath.com/w5dwux8m/ |
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4元数のパウリ表示
\[
e_{k}=-i\sigma_{k}
\]
パウリ行列によるガンマ行列のディラック表示
\[
\begin{cases}
\gamma^{0}=\sigma_{3}\otimes I_{2}\\
\gamma^{j}=i\sigma_{2}\otimes\sigma_{j}
\end{cases}
\]
パウリ行列の定義と性質
\[
\sigma_{j}\sigma_{k}=I\delta_{jk}+i\sum_{l=1}^{3}\epsilon_{jkl}\sigma_{l}
\]
エルミート形式・2次形式
\[
f\left(\boldsymbol{x}\right)=\boldsymbol{x}^{*}A\boldsymbol{x}
\]