行列を挟んでいる場合の解
行列を挟んでいる場合の解
行列\(A,B,X\)があり、\(A\)が正則であるとき、
\[ XAX=B \] を\(X\)について解くと、
\[ X=A^{-\frac{1}{2}}\left(A^{\frac{1}{2}}BA^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}A^{-\frac{1}{2}} \] となる。
行列\(A,B,X\)があり、\(A\)が正則であるとき、
\[ XAX=B \] を\(X\)について解くと、
\[ X=A^{-\frac{1}{2}}\left(A^{\frac{1}{2}}BA^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}A^{-\frac{1}{2}} \] となる。
両辺の左右から\(A^{\frac{1}{2}}\)を掛けると、
\begin{align*} A^{\frac{1}{2}}BA^{\frac{1}{2}} & =A^{\frac{1}{2}}XAXA^{\frac{1}{2}}\\ & =A^{\frac{1}{2}}XA^{\frac{1}{2}}A^{\frac{1}{2}}XA^{\frac{1}{2}}\\ & =\left(A^{\frac{1}{2}}XA^{\frac{1}{2}}\right)^{2} \end{align*} となる。
これより、
\[ A^{\frac{1}{2}}XA^{\frac{1}{2}}=\left(A^{\frac{1}{2}}BA^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} \] となるので、左右から\(A^{-\frac{1}{2}}\)を掛けると、
\[ X=A^{-\frac{1}{2}}\left(A^{\frac{1}{2}}BA^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}A^{-\frac{1}{2}} \] となる。
\begin{align*} A^{\frac{1}{2}}BA^{\frac{1}{2}} & =A^{\frac{1}{2}}XAXA^{\frac{1}{2}}\\ & =A^{\frac{1}{2}}XA^{\frac{1}{2}}A^{\frac{1}{2}}XA^{\frac{1}{2}}\\ & =\left(A^{\frac{1}{2}}XA^{\frac{1}{2}}\right)^{2} \end{align*} となる。
これより、
\[ A^{\frac{1}{2}}XA^{\frac{1}{2}}=\left(A^{\frac{1}{2}}BA^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}} \] となるので、左右から\(A^{-\frac{1}{2}}\)を掛けると、
\[ X=A^{-\frac{1}{2}}\left(A^{\frac{1}{2}}BA^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}A^{-\frac{1}{2}} \] となる。
ページ情報
| タイトル | 行列を挟んでいる場合の解 |
| URL | https://www.nomuramath.com/w5dwux8m/ |
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Woodburyの恒等式
\[
\left(A+BCD\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}B\left(C^{-1}+DA^{-1}B\right)^{-1}DA^{-1}
\]
同時対角化可能と可換性
行列$A,B$が共に対角化可能であるとき、$AB=BA$であることと、$A$と$B$が同時対角化可能であることは同値である。
巡回行列の定義と性質
\[
C=\left(\begin{array}{cccccc}
x_{0} & x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n-2} & x_{n-1}\\
x_{n-1} & x_{0} & x_{1} & \cdots & x_{n-3} & x_{n-2}\\
x_{n-2} & x_{n-1} & x_{0} & \cdots & x_{n-4} & x_{n-3}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
x_{2} & x_{3} & x_{4} & \cdots & x_{0} & x_{1}\\
x_{1} & x_{2} & x_{3} & \cdots & x_{n-1} & x_{0}
\end{array}\right)
\]
行列の定値性(正定値・半正定値・負定値・半負定値・不定値)の定義と性質
\[
0<\left\langle H\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle
\]