同時対角化可能と可換性
同時対角化可能と可換性
行列\(A,B\)があり、ある正則行列\(P\)が存在し、\(P^{-1}AP,P^{-1}BP\)が共に対角行列となるとき、\(A\)と\(B\)は同時対角化可能であるという。
行列\(A,B\)が共に対角化可能であるとき、\(AB=BA\)であることと、\(A\)と\(B\)が同時対角化可能であることは同値である。
行列\(A,B\)があり、ある正則行列\(P\)が存在し、\(P^{-1}AP,P^{-1}BP\)が共に対角行列となるとき、\(A\)と\(B\)は同時対角化可能であるという。
行列\(A,B\)が共に対角化可能であるとき、\(AB=BA\)であることと、\(A\)と\(B\)が同時対角化可能であることは同値である。
\(A\)と\(B\)が同時対角化可能ならば\(AB=BA\)は成り立つが、逆は成り立たない。
逆が成り立つには、行列\(A,B\)が共に対角化可能という条件が必要になる。
例えば、行列
\[ A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right) \] の固有値は1のみの2重解であり、固有値1の固有空間は\(c\left(1,0\right)\)であるので対角化することは不可能である。
しかし、\(B=I_{2}\)ととると、\(AB=BA\)が成り立つが、\(A\)が対角化不可能なので\(A\)と\(B\)を同時対角化することは不可能である。
また、どちらも重複度2であれば単位行列で同時対角化できる。
何故なら、どちらかが重複度1なら、列ベクトルを入れ替えたり、列ベクトルを定数倍した行列を同じ行列と見なすと、対角化できる行列は1つしかないので対角化が出来るならそれしかないからである。
また、どちらも重複度2で対角化が可能であるならば、2つの1次独立な列ベクトルで生成される空間が固有空間になるので全ての正則な行列で対角化ができ、その正則な行列を単位行列にとればいいからである。
\(3\times3\)行列はどちらかが重複なしや重複度\(3\)であれば一方が対角化出来ればもう片方も簡単に対角化出来る。
逆が成り立つには、行列\(A,B\)が共に対角化可能という条件が必要になる。
例えば、行列
\[ A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right) \] の固有値は1のみの2重解であり、固有値1の固有空間は\(c\left(1,0\right)\)であるので対角化することは不可能である。
しかし、\(B=I_{2}\)ととると、\(AB=BA\)が成り立つが、\(A\)が対角化不可能なので\(A\)と\(B\)を同時対角化することは不可能である。
-
\(2\times2\)行列はそれぞれの行列の対角化が可能であり可換であるとき、重複度は\(1,2\)しかなくどちらかが重複度1ならその対角化できる行列で同時対角化ができる。また、どちらも重複度2であれば単位行列で同時対角化できる。
何故なら、どちらかが重複度1なら、列ベクトルを入れ替えたり、列ベクトルを定数倍した行列を同じ行列と見なすと、対角化できる行列は1つしかないので対角化が出来るならそれしかないからである。
また、どちらも重複度2で対角化が可能であるならば、2つの1次独立な列ベクトルで生成される空間が固有空間になるので全ての正則な行列で対角化ができ、その正則な行列を単位行列にとればいいからである。
\(3\times3\)行列はどちらかが重複なしや重複度\(3\)であれば一方が対角化出来ればもう片方も簡単に対角化出来る。
2つの行列
\[ \left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} -1 & 2\\ 0 & 1 \end{array}\right) \] は次のように対角化ができ、
\[ \left(\begin{array}{cc} 1 & -1\\ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 2 \end{array}\right) \] \[ \left(\begin{array}{cc} 1 & -1\\ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} -1 & 2\\ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right) \] 可換
\[ \left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} -1 & 2\\ 0 & 1 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} -1 & 2\\ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 2 \end{array}\right)=0 \] であるので、
\[ \left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right) \] で同時対角化が可能である。
\[ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0\\ -1 & 1 & 0\\ -1 & 1 & 0 \end{array}\right) \] \[ B=\left(\begin{array}{ccc} 2 & -2 & 2\\ 0 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 0 \end{array}\right) \] この行列は可換\(AB=BA\)である。
\(A\)の固有値は\(0,0,2\)であり、固有値0の固有ベクトルは\(\left(0,0,1\right)^{T},\left(1,1,0\right)^{T}\)で固有値1の固有ベクトルは\(\left(-1,1,1\right)^{T}\)となるので対角化が可能である。
\(B\)の固有値は\(-2,2,2\)であり、固有値-2の固有ベクトルは\(\left(-1,-1,1\right)^{T}\)で固有値2の固有ベクトルは\(\left(0,1,1\right)^{T},\left(1,0,0\right)^{T}\)となるので対角化が可能である。
これより、\(A,B\)は共に対角化が可能である。
従って、同時対角化が可能である。
\(A\)の重複度2である固有値0の固有空間は\(W_{A}\left(0\right)=\left\langle \left(0,0,1\right)^{T},\left(1,1,0\right)^{T}\right\rangle \)であるので\(\boldsymbol{x}=\left(0,0,1\right)^{T}c_{1}+\left(1,1,0\right)^{T}c_{2}=\left(c_{2},c_{2},c_{1}\right)^{T}\)が\(B\)の固有ベクトルになる\(c_{1},c_{2}\)を求める。
\(B\)の固有ベクトルであるためには固有値を\(\lambda\)として、
\begin{align*} \lambda\left(\begin{array}{c} c_{2}\\ c_{2}\\ c_{1} \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{ccc} 2 & -2 & 2\\ 0 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} c_{2}\\ c_{2}\\ c_{1} \end{array}\right)\\ & =2\left(\begin{array}{c} c_{1}\\ c_{1}\\ c_{2} \end{array}\right) \end{align*} となる。
\(B\)の固有値は\(-2,2,2\)なので\(\lambda=-2\)なら\(c_{1}=-c_{2}\)となので\(\boldsymbol{x}=\left(-c_{1},-c_{1},c_{1}\right)^{T}=c_{1}\left(-1,-1,1\right)^{T}\)となる。
\(\lambda=2\)なら\(c_{1}=c_{2}\)となので\(\boldsymbol{x}=\left(c_{1},c_{1},c_{1}\right)^{T}=c_{1}\left(1,1,1\right)^{T}\)となる。
これより、
\[ P=\left(\begin{array}{ccc} -1 & -1 & 1\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right) \] とおくと、
\begin{align*} P^{-1}AP & =\left(\begin{array}{ccc} -1 & -1 & 1\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0\\ -1 & 1 & 0\\ -1 & 1 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} -1 & -1 & 1\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{align*} \begin{align*} P^{-1}BP & =\left(\begin{array}{ccc} -1 & -1 & 1\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{ccc} 2 & -2 & 2\\ 0 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} -1 & -1 & 1\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right) \end{align*} となり\(P\)で同時対角化ができる。
\[ A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1\\ -2 & -2 & -2 \end{array}\right) \] \[ B=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ -2 & -2 & 0\\ 1 & 0 & -2 \end{array}\right) \] このとき、
\[ P_{A}=\left(\begin{array}{ccc} 0 & -1 & -1\\ -1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 0 \end{array}\right) \] \[ P_{B}=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -2\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right) \] とおくと、
\begin{align*} P_{A}^{-1}AP_{A} & =\left(\begin{array}{ccc} 0 & -1 & -1\\ -1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 0 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1\\ -2 & -2 & -2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 0 & -1 & -1\\ -1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 0 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{align*} \begin{align*} P_{B}^{-1}BP_{B} & =\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ -2 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ -2 & -2 & 0\\ 1 & 0 & -2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ -2 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0\\ 0 & 0 & -2 \end{array}\right) \end{align*} となるので\(A,B\)共に対角化が可能である。
また、\(A,B\)は可換\(AB=BA\)である。
従って、同時対角化が可能であり、
\[ P=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & -1\\ -1 & 1 & 2\\ 2 & -1 & -1 \end{array}\right) \] とおくと、
\begin{align*} P^{-1}AP & =\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & -1\\ -1 & 1 & 2\\ 2 & -1 & -1 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1\\ -2 & -2 & -2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & -1\\ -1 & 1 & 2\\ 2 & -1 & -1 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{align*} \begin{align*} P^{-1}BP & =\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & -1\\ -1 & 1 & 2\\ 2 & -1 & -1 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ -2 & -2 & 0\\ 1 & 0 & -2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & -1\\ -1 & 1 & 2\\ 2 & -1 & -1 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right) \end{align*} となり\(P\)で同時対角化ができる。
\[ A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 2 & 2\\ 0 & -2 & -2\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \] \[ B=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -2\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right) \] このとき、
\[ P_{A}=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \] \[ P_{B}=\left(\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right) \] とおくと、
\begin{align*} P_{A}^{-1}AP_{A} & =\left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{ccc} 0 & 2 & 2\\ 0 & -2 & -2\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{align*} \begin{align*} P_{B}^{-1}BP_{B} & =\left(\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -2\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{align*} となるので\(A,B\)共に対角化が可能である。
また、\(A,B\)は可換\(AB=BA\)である。
従って、同時対角化が可能であり、
\[ P=\left(\begin{array}{ccc} -1 & -2 & 1\\ 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \] とおくと、
\begin{align*} P^{-1}AP & =\left(\begin{array}{ccc} -1 & -2 & 1\\ 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{ccc} 0 & 2 & 2\\ 0 & -2 & -2\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} -1 & -2 & 1\\ 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{align*} \begin{align*} P^{-1}BP & =\left(\begin{array}{ccc} -1 & -2 & 1\\ 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -2\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} -1 & -2 & 1\\ 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{align*} となり\(P\)で同時対角化ができる。
\(P_{A}\)は\(A\)を対角化する行列で、\(P_{B}\)は\(B\)を対角化する行列で、\(P\)は\(A,B\)を同時対角化する行列である。
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A & B & P_{A} & P_{A}^{-1}AP_{A} & P_{B} & P_{B}^{-1}BP_{B} & AB-BA & P & P^{-1}AP & P^{-1}BP\\ \hline \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & -1\\ 1 & -1 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ -1 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) & O & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & -1\\ 0 & -1 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -2 \end{array}\right)\\ \hline \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1\\ 1 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & O & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 0 & -1 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right)\\ \hline \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ -1 & -1 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right) & O & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 2 & 1\\ -1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\\ \hline \left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & O & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\\ \hline \left(\begin{array}{ccc} -1 & -1 & -1\\ -1 & -1 & -1\\ -1 & -1 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0\\ -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & -1\\ 1 & -1 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} -3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ -1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & O & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & -1\\ 1 & -2 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} -3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right)\\ \hline \left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 1 & -1 & 1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ 1 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & O & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ 1 & -1 & 0\\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\\ \hline \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 1 & 1 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ -1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & O & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -1\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\\ \hline \left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0\\ -1 & 1 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & 1 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) & O & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\\ \hline \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ -1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ -1 & -1 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & -1\\ -1 & -1 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & O & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ -1 & 0 & 1\\ 0 & -1 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\\ \hline \left(\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & -1\\ 1 & -1 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ -1 & -1 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ -1 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} -3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ 1 & -1 & 0\\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right) & O & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0\\ -1 & -1 & 1\\ -1 & 2 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} -3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \\\hline \end{array} \]
\[ \left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 2 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} -1 & 2\\ 0 & 1 \end{array}\right) \] は次のように対角化ができ、
\[ \left(\begin{array}{cc} 1 & -1\\ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 2 \end{array}\right) \] \[ \left(\begin{array}{cc} 1 & -1\\ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} -1 & 2\\ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right) \] 可換
\[ \left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} -1 & 2\\ 0 & 1 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} -1 & 2\\ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 2 \end{array}\right)=0 \] であるので、
\[ \left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right) \] で同時対角化が可能である。
-
次の行列\(A,B\)を同時対角化する。\[ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0\\ -1 & 1 & 0\\ -1 & 1 & 0 \end{array}\right) \] \[ B=\left(\begin{array}{ccc} 2 & -2 & 2\\ 0 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 0 \end{array}\right) \] この行列は可換\(AB=BA\)である。
\(A\)の固有値は\(0,0,2\)であり、固有値0の固有ベクトルは\(\left(0,0,1\right)^{T},\left(1,1,0\right)^{T}\)で固有値1の固有ベクトルは\(\left(-1,1,1\right)^{T}\)となるので対角化が可能である。
\(B\)の固有値は\(-2,2,2\)であり、固有値-2の固有ベクトルは\(\left(-1,-1,1\right)^{T}\)で固有値2の固有ベクトルは\(\left(0,1,1\right)^{T},\left(1,0,0\right)^{T}\)となるので対角化が可能である。
これより、\(A,B\)は共に対角化が可能である。
従って、同時対角化が可能である。
\(A\)の重複度2である固有値0の固有空間は\(W_{A}\left(0\right)=\left\langle \left(0,0,1\right)^{T},\left(1,1,0\right)^{T}\right\rangle \)であるので\(\boldsymbol{x}=\left(0,0,1\right)^{T}c_{1}+\left(1,1,0\right)^{T}c_{2}=\left(c_{2},c_{2},c_{1}\right)^{T}\)が\(B\)の固有ベクトルになる\(c_{1},c_{2}\)を求める。
\(B\)の固有ベクトルであるためには固有値を\(\lambda\)として、
\begin{align*} \lambda\left(\begin{array}{c} c_{2}\\ c_{2}\\ c_{1} \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{ccc} 2 & -2 & 2\\ 0 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} c_{2}\\ c_{2}\\ c_{1} \end{array}\right)\\ & =2\left(\begin{array}{c} c_{1}\\ c_{1}\\ c_{2} \end{array}\right) \end{align*} となる。
\(B\)の固有値は\(-2,2,2\)なので\(\lambda=-2\)なら\(c_{1}=-c_{2}\)となので\(\boldsymbol{x}=\left(-c_{1},-c_{1},c_{1}\right)^{T}=c_{1}\left(-1,-1,1\right)^{T}\)となる。
\(\lambda=2\)なら\(c_{1}=c_{2}\)となので\(\boldsymbol{x}=\left(c_{1},c_{1},c_{1}\right)^{T}=c_{1}\left(1,1,1\right)^{T}\)となる。
これより、
\[ P=\left(\begin{array}{ccc} -1 & -1 & 1\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right) \] とおくと、
\begin{align*} P^{-1}AP & =\left(\begin{array}{ccc} -1 & -1 & 1\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0\\ -1 & 1 & 0\\ -1 & 1 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} -1 & -1 & 1\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{align*} \begin{align*} P^{-1}BP & =\left(\begin{array}{ccc} -1 & -1 & 1\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{ccc} 2 & -2 & 2\\ 0 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} -1 & -1 & 1\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right) \end{align*} となり\(P\)で同時対角化ができる。
-
次の行列\(A,B\)を同時対角化する。\[ A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1\\ -2 & -2 & -2 \end{array}\right) \] \[ B=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ -2 & -2 & 0\\ 1 & 0 & -2 \end{array}\right) \] このとき、
\[ P_{A}=\left(\begin{array}{ccc} 0 & -1 & -1\\ -1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 0 \end{array}\right) \] \[ P_{B}=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -2\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right) \] とおくと、
\begin{align*} P_{A}^{-1}AP_{A} & =\left(\begin{array}{ccc} 0 & -1 & -1\\ -1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 0 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1\\ -2 & -2 & -2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 0 & -1 & -1\\ -1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 0 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{align*} \begin{align*} P_{B}^{-1}BP_{B} & =\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ -2 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ -2 & -2 & 0\\ 1 & 0 & -2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ -2 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0\\ 0 & 0 & -2 \end{array}\right) \end{align*} となるので\(A,B\)共に対角化が可能である。
また、\(A,B\)は可換\(AB=BA\)である。
従って、同時対角化が可能であり、
\[ P=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & -1\\ -1 & 1 & 2\\ 2 & -1 & -1 \end{array}\right) \] とおくと、
\begin{align*} P^{-1}AP & =\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & -1\\ -1 & 1 & 2\\ 2 & -1 & -1 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1\\ -2 & -2 & -2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & -1\\ -1 & 1 & 2\\ 2 & -1 & -1 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{align*} \begin{align*} P^{-1}BP & =\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & -1\\ -1 & 1 & 2\\ 2 & -1 & -1 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ -2 & -2 & 0\\ 1 & 0 & -2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & -1\\ -1 & 1 & 2\\ 2 & -1 & -1 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right) \end{align*} となり\(P\)で同時対角化ができる。
-
次の行列\(A,B\)を同時対角化する。\[ A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 2 & 2\\ 0 & -2 & -2\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \] \[ B=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -2\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right) \] このとき、
\[ P_{A}=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \] \[ P_{B}=\left(\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right) \] とおくと、
\begin{align*} P_{A}^{-1}AP_{A} & =\left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{ccc} 0 & 2 & 2\\ 0 & -2 & -2\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{align*} \begin{align*} P_{B}^{-1}BP_{B} & =\left(\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -2\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{align*} となるので\(A,B\)共に対角化が可能である。
また、\(A,B\)は可換\(AB=BA\)である。
従って、同時対角化が可能であり、
\[ P=\left(\begin{array}{ccc} -1 & -2 & 1\\ 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \] とおくと、
\begin{align*} P^{-1}AP & =\left(\begin{array}{ccc} -1 & -2 & 1\\ 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{ccc} 0 & 2 & 2\\ 0 & -2 & -2\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} -1 & -2 & 1\\ 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{align*} \begin{align*} P^{-1}BP & =\left(\begin{array}{ccc} -1 & -2 & 1\\ 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -2\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} -1 & -2 & 1\\ 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{align*} となり\(P\)で同時対角化ができる。
-
同時対角化の例\(P_{A}\)は\(A\)を対角化する行列で、\(P_{B}\)は\(B\)を対角化する行列で、\(P\)は\(A,B\)を同時対角化する行列である。
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline A & B & P_{A} & P_{A}^{-1}AP_{A} & P_{B} & P_{B}^{-1}BP_{B} & AB-BA & P & P^{-1}AP & P^{-1}BP\\ \hline \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & -1\\ 1 & -1 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ -1 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) & O & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & -1\\ 0 & -1 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -2 \end{array}\right)\\ \hline \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1\\ 1 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & O & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 0 & -1 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right)\\ \hline \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ -1 & -1 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right) & O & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 2 & 1\\ -1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\\ \hline \left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & O & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\\ \hline \left(\begin{array}{ccc} -1 & -1 & -1\\ -1 & -1 & -1\\ -1 & -1 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0\\ -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & -1\\ 1 & -1 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} -3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ -1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & O & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & -1\\ 1 & -2 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} -3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right)\\ \hline \left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 1 & -1 & 1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ 1 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & O & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ 1 & -1 & 0\\ 1 & -2 & 1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\\ \hline \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 1 & 1 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ -1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & O & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -1\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\\ \hline \left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0\\ -1 & 1 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & 1 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) & O & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\\ \hline \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\ -1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ -1 & -1 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & -1\\ -1 & -1 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & O & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ -1 & 0 & 1\\ 0 & -1 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\\ \hline \left(\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & -1\\ 1 & -1 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ -1 & -1 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ -1 & 0 & 1\\ -1 & 1 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} -3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ 1 & -1 & 0\\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right) & O & \left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0\\ -1 & -1 & 1\\ -1 & 2 & -1 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} -3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) & \left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \\\hline \end{array} \]
\(\Rightarrow\)
\(A\)は対角化可能なので正則行列\(P\)で対角化可能とする。このとき、\(P\)は列ベクトルを使って\(P=\left(\boldsymbol{p}_{1},\boldsymbol{p}_{2},\cdots,\boldsymbol{p}_{n}\right)\)とすると、
\[ A\left(\boldsymbol{p}_{1},\boldsymbol{p}_{2},\cdots,\boldsymbol{p}_{n}\right)=\left(\boldsymbol{p}_{1},\boldsymbol{p}_{2},\cdots,\boldsymbol{p}_{n}\right)\left(\begin{array}{cccc} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_{2} & \ddots & 0\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{array}\right) \] となる。
左から\(B\)を掛けると、
\begin{align*} B\left(\boldsymbol{p}_{1},\boldsymbol{p}_{2},\cdots,\boldsymbol{p}_{n}\right)\left(\begin{array}{cccc} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_{2} & \ddots & 0\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{array}\right) & =BA\left(\boldsymbol{p}_{1},\boldsymbol{p}_{2},\cdots,\boldsymbol{p}_{n}\right)\\ & =AB\left(\boldsymbol{p}_{1},\boldsymbol{p}_{2},\cdots,\boldsymbol{p}_{n}\right) \end{align*} となり、\(B\left(\boldsymbol{p}_{1},\boldsymbol{p}_{2},\cdots,\boldsymbol{p}_{n}\right)\)の列ベクトルは\(A\)の固有ベクトルになる。
従って、\(\left(\boldsymbol{p}_{1},\boldsymbol{p}_{2},\cdots,\boldsymbol{p}_{n}\right),B\left(\boldsymbol{p}_{1},\boldsymbol{p}_{2},\cdots,\boldsymbol{p}_{n}\right)\)共に\(A\)の同じ固有値になる固有ベクトルであり、固有ベクトルを定数倍しても固有ベクトルなのでその関係は、
\begin{align*} B\left(\boldsymbol{p}_{1},\boldsymbol{p}_{2},\cdots,\boldsymbol{p}_{n}\right) & =\left(c_{1}\boldsymbol{p}_{1},c_{2}\boldsymbol{p}_{2},\cdots,c_{n}\boldsymbol{p}_{n}\right)\\ & =\left(\boldsymbol{p}_{1},\boldsymbol{p}_{2},\cdots,\boldsymbol{p}_{n}\right)\left(\begin{array}{cccc} c_{1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & c_{2} & \ddots & 0\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & c_{n} \end{array}\right)\\ & =P\left(\begin{array}{cccc} c_{1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & c_{2} & \ddots & 0\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & c_{n} \end{array}\right) \end{align*} と表される。
これより、
\[ P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cccc} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_{2} & \ddots & 0\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{array}\right) \] \begin{align*} P^{-1}BP & =P^{-1}P\left(\begin{array}{cccc} c_{1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & c_{2} & \ddots & 0\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & c_{n} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cccc} c_{1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & c_{2} & \ddots & 0\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & c_{n} \end{array}\right) \end{align*} となるので\(A\)と\(B\)を同時対角化することが可能である。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。
\(\Leftarrow\)
条件より\(A,B\)は同時対角化可能であるので、正則行列\(P\)で同時対角化可能であるとする。このとき、\(\left(P^{-1}AP\right)\)と\(\left(P^{-1}BP\right)\)は対角行列になり可換となるので、
\begin{align*} AB & =P\left(P^{-1}AP\right)\left(P^{-1}BP\right)P^{-1}\\ & =P\left(P^{-1}BP\right)\left(P^{-1}AP\right)P^{-1}\\ & =BA \end{align*} となる。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。
\(\Leftrightarrow\)
これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 同時対角化可能と可換性 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ydldfmfj/ |
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\[
C=\left(\begin{array}{cccccc}
x_{0} & x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n-2} & x_{n-1}\\
x_{n-1} & x_{0} & x_{1} & \cdots & x_{n-3} & x_{n-2}\\
x_{n-2} & x_{n-1} & x_{0} & \cdots & x_{n-4} & x_{n-3}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
x_{2} & x_{3} & x_{4} & \cdots & x_{0} & x_{1}\\
x_{1} & x_{2} & x_{3} & \cdots & x_{n-1} & x_{0}
\end{array}\right)
\]
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\[
0<\left\langle H\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle
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\[
\det\left(\boldsymbol{a}_{\tau\left(1\right)},\boldsymbol{a}_{\tau\left(2\right)},\cdots,\boldsymbol{a}_{\tau\left(n\right)}\right)=\sgn\left(\tau\right)\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)
\]