行列の対角化可能性

by nomura · 2025年12月23日

行列の対角化可能性
行列の対角化可能性について次が成り立つ。

(1)

体\(K\)上で\(n\)次正方行列\(A\)があるとき、\(A\)の固有値が相異なる\(n\)個をもつならば、\(A\)は対角化が可能である。
逆は一般的に成り立つとは限らない。

(2)

体\(K\)上で\(n\)次正方行列\(A\)があるとき、\(A\)が対角化可能であることと、\(n\)個の1次独立な固有ベクトルがあることは同値である。

(3)

体\(K\)上で\(n\)次正方行列\(A\)があるとき、\(A\)が対角化可能であることと、固有値\(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{r}\)の固有空間\(\dim\left(W\left(\lambda_{1}\right)\right),\dim\left(W\left(\lambda_{2}\right)\right),\cdots,\dim\left(W\left(\lambda_{r}\right)\right)\)について、
\[ \sum_{k=1}^{r}\dim\left(W\left(\lambda_{k}\right)\right)=n \] が成り立つことは同値である。

(4)

複素数全体の集合\(\mathbb{C}\)上で\(n\)次正方行列\(A\)があり、固有方程式\(P_{A}\left(\lambda\right)\)を\(a\ne b\rightarrow\lambda_{a}\ne\lambda_{b}\)として
\[ P_{A}\left(\lambda\right)=\prod_{k=1}^{r}\left(\lambda-\lambda_{k}\right)^{m_{k}} \] とする。
このとき、\(A\)が対角化可能であることと、任意の\(k\in\left\{ 1,\cdots,r\right\} \)に対し、\(n-\rank\left(\lambda_{k}I-A\right)=m_{k}\)が成り立つことは同値である。
固有値\(\lambda_{0}\)の固有空間を\(W\left(\lambda_{0}\right)\)とすると、\(W\left(\lambda_{0}\right)=n-\rank\left(\lambda_{0}I-A\right)\)であるので、言い換えると、対角化が可能であるということと、全ての固有値がその重複度(代数的重複度)と同じ数だけの1次独立な固有ベクトル(幾何学的重複度)をもつことは同値であるということである。
ただし、複素数全体の集合\(\mathbb{C}\)上でないときは逆は一般的に成り立つとは限らない。
対偶は成り立つので、ある固有値の代数的重複度と幾何学的重複度が異なるならば、対角化は不可能となる。

(5)

\(n\)次正方行列\(A\)があるとき、\(A\)が対角化可能であることと、\(A\)の最小多項式\(m\left(x\right)\)が単純根(1次の因子)のみを持つことは同値である。

(1)

重解がない場合は\(n-\rank\left(\lambda_{k}I-A\right)=n-\left(n-1\right)=1\)となるので対角化可能である。
しかし、対角化可能ならば重解をもたないは成り立たない。
例えば、\(2\times2\)単位行列\(I_{2}\)は既に対角化がされているので\(I_{2}\)により対角化が可能、つまり\(I_{2}^{-1}I_{2}I_{2}=I_{2}\)とできるが、固有値は2重解の1である。
別の例としては、
\[ A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \] の固有値は\(0,0,1\)で重解をもつが既に対角化がされているので単位行列\(I_{3}\)で対角化が可能である。
また、\(n\)重解になる場合は\(A=\lambda I\)となる場合を除いては対角化不可能である。
例えば2次正方行列で\(A=I_{2}\)とすると、固有値は2重解の1のみであるが、固有値1の固有空間は\(c_{1}\left(0,1\right)+c_{2}\left(1,0\right)\)となり1次独立な固有ベクトルは\(\left(0,1\right),\left(1,0\right)\)の2つとれ、最初から対角化されているので対角化可能である。
しかし、
\[ A=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right) \] の固有値は2重解である0のみであり、固有値0の固有空間は\(c\left(1,0\right)\)となり、1次独立な固有ベクトルを2つとれないので対角化することは不可能である。
同様に、
\[ A=\left(\begin{array}{cc} 0 & -1\\ 1 & 2 \end{array}\right) \] の固有値は1のみで2重解であるが、固有値1の固有空間は\(c\left(-1,1\right)\)となり、1次独立な固有ベクトルを2つとれないので対角化することは不可能である。

(2)

正規行列であることと、ユニタリ行列で対角化可能であることは同値である。

(3)

エルミート行列は正規行列なので対角化が可能である。

(4)

実対称行列は正規行列なので対角化可能であり、直交行列により対角化が可能である。

(5)

対角化ができるかどうかは次のようになる。
\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \backslash & \text{正規行列} & \text{非正規行列}\\ \hline \text{重解なし} & \circ\text{(ユニタリ行列)} & \circ\text{(非ユニタリ行列)}\\ \hline \text{重解あり} & \circ\text{(ユニタリ行列)} & \triangle(\text{非ユニタリ行列}) \\\hline \end{array} \] \(\circ\)は常に対角化ができ、\(\triangle\)は出来るかどうかわからないという意味である。

(1)

正規行列でない2次正方行列
\[ A=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right) \] の固有値は\(0,1\)で固有ベクトルは\(\left(1,0\right),\left(1,1\right)\)なので、
\begin{align*} \left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc} 1 & -1\\ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right) \end{align*} となり、非ユニタリ行列で対角化できる。

(2)

3次正方行列
\[ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 2\\ 2 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 1 \end{array}\right) \] の固有多項式は
\begin{align*} p_{A}\left(\lambda\right) & =\det\left(\lambda I-A\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{ccc} \lambda-1 & -2 & -2\\ -2 & \lambda-1 & -2\\ -2 & -2 & \lambda-1 \end{array}\right)\\ & =-\lambda^{3}+3\lambda^{2}+9\lambda+5\\ & =-\left(\lambda-5\right)\left(\lambda+1\right)^{2} \end{align*} となり、\(\lambda=-1\)の固有空間は係数行列より、
\begin{align*} \left(\begin{array}{ccc} \lambda-1 & -2 & -2\\ -2 & \lambda-1 & -2\\ -2 & -2 & \lambda-1 \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{ccc} -2 & -2 & -2\\ -2 & -2 & -2\\ -2 & -2 & -2 \end{array}\right)\\ & \rightarrow\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right)\\ & \rightarrow\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{align*} となるので、\(\boldsymbol{x}=\)\(\left(-\left(c_{1}+c_{2}\right),c_{1},c_{2}\right)=c_{1}\left(-1,1,0\right)+c_{2}\left(-1,0,1\right)\)となるので1次独立な2つ\(\left(-1,1,0\right),\left(-1,0,1\right)\)がとれる。
また、\(\lambda=5\)の固有空間は係数行列より、
\begin{align*} \left(\begin{array}{ccc} \lambda-1 & -2 & -2\\ -2 & \lambda-1 & -2\\ -2 & -2 & \lambda-1 \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{ccc} 4 & -2 & -2\\ -2 & 4 & -2\\ -2 & -2 & 4 \end{array}\right)\\ & \rightarrow\left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & -1\\ -1 & 2 & -1\\ -1 & -1 & 2 \end{array}\right)\\ & \rightarrow\left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & -1\\ 0 & 3 & -3\\ 0 & -3 & 3 \end{array}\right)\\ & \rightarrow\left(\begin{array}{ccc} 2 & -1 & -1\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 1 & -1 \end{array}\right)\\ & \rightarrow\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & -2\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\\ & \rightarrow\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{align*} となるので、\(\boldsymbol{x}=\)\(\left(c,c,c\right)=c\left(1,1,1\right)\)となるので1次独立な1つ\(\left(1,1,1\right)\)がとれる。
これらより、各固有値の重複度と同じ数だけの1次独立な固有ベクトルがとれるので対角化が可能である。
実際に対角化をしてみると、各固有ベクトルを規格化すると\(\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},0\right),\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}}\right),\left(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\)であり、
\begin{align*} \left(\begin{array}{cccccc} -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & 1 & 0 & 0\\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & 1 & 0\\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) & \rightarrow\left(\begin{array}{cccccc} 1 & 1 & -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} & -\sqrt{2} & 0 & 0\\ 1 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} & 0 & \sqrt{2} & 0\\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\\ & \rightarrow\left(\begin{array}{cccccc} 1 & 1 & -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} & -\sqrt{2} & 0 & 0\\ 0 & -1 & \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} & \sqrt{2} & \sqrt{2} & 0\\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\\ & \rightarrow\left(\begin{array}{cccccc} 1 & 1 & -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} & -\sqrt{2} & 0 & 0\\ 0 & 1 & -\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} & -\sqrt{2} & -\sqrt{2} & 0\\ 0 & 1 & \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} & 0 & 0 & \sqrt{2} \end{array}\right)\\ & \rightarrow\left(\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} & 0 & \sqrt{2} & 0\\ 0 & 1 & -\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} & -\sqrt{2} & -\sqrt{2} & 0\\ 0 & 0 & \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} & \sqrt{2} & \sqrt{2} & \sqrt{2} \end{array}\right)\\ & \rightarrow\left(\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} & 0 & \sqrt{2} & 0\\ 0 & 1 & -\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} & -\sqrt{2} & -\sqrt{2} & 0\\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{\sqrt{3}} & \frac{3}{\sqrt{3}} & \frac{3}{\sqrt{3}} \end{array}\right)\\ \end{align*} \begin{align*} \left(\begin{array}{ccc} -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{3}}\\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 2\\ 2 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{3}}\\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{array}\right) & =\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc} -\sqrt{2} & 2\sqrt{2} & -\sqrt{2}\\ -\sqrt{2} & -\sqrt{2} & 2\sqrt{2}\\ \sqrt{3} & \sqrt{3} & \sqrt{3} \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 2\\ 2 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{3}}\\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 5 \end{array}\right) \end{align*} となる。

(1)

\(\Rightarrow\)

相異なる固有値が\(n\)個あるので\(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\)とする。
このとき、\(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\)に対応する固有ベクトル\(\boldsymbol{p}_{1},\boldsymbol{p}_{2},\cdots,\boldsymbol{p}_{n}\)が存在する。
これより、\(P=\left(\boldsymbol{p}_{1},\boldsymbol{p}_{2},\cdots,\boldsymbol{p}_{n}\right)\)とおくと、\(\boldsymbol{p}_{1},\boldsymbol{p}_{2},\cdots,\boldsymbol{p}_{n}\)は1次独立であるので\(P\)は正則となり逆行列\(P^{-1}\)が存在して、
\begin{align*} P^{-1}AP & =P^{-1}A\left(\boldsymbol{p}_{1},\boldsymbol{p}_{2},\cdots,\boldsymbol{p}_{n}\right)\\ & =P^{-1}\left(A\boldsymbol{p}_{1},A\boldsymbol{p}_{2},\cdots,A\boldsymbol{p}_{n}\right)\\ & =P^{-1}\left(\lambda_{1}\boldsymbol{p}_{1},\lambda_{2}\boldsymbol{p}_{2},\cdots,\lambda_{n}\boldsymbol{p}_{n}\right)\\ & =P^{-1}\left(\boldsymbol{p}_{1},\boldsymbol{p}_{2},\cdots,\boldsymbol{p}_{n}\right)\diag\left(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\right)\\ & =P^{-1}P\diag\left(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\right)\\ & =\diag\left(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\right) \end{align*} となるので対角化ができる。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(A\)を\(2\times2\)単位行列\(A=I_{2}\)とすると、固有多項式は\(p_{A}\left(\lambda\right)=\det\left(\lambda I_{2}-A\right)=\det\left(\lambda I_{2}-I_{2}\right)=\det\left(\left(\lambda-1\right)I_{2}\right)=\left(\lambda-1\right)^{2}\)となるので、固有値は重根の\(1\)のみとなり相異なる固有値が2個とは異なるが、\(A\)は既に対角化がされているので単位行列\(I_{2}\)で対角化が可能である。
従って、逆は一般的に成り立たない。

(2)

\(\Rightarrow\)

条件より対角化が可能なので\(B=P^{-1}AP\)が対角行列\(\diag\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right)\)とする。
標準基底を\(\left\{ \boldsymbol{e}_{k}\right\} _{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\)として\(P\)を列ベクトルを用いると\(P=\left(\boldsymbol{p}_{1},\boldsymbol{p}_{2},\cdots,\boldsymbol{p}_{n}\right)\)とする。
\(AP=PB\)なので、\(\boldsymbol{e}_{k}\)を右から掛けると、\(AP\boldsymbol{e}_{k}=PB\boldsymbol{e}_{k}=P\diag\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right)\boldsymbol{e}_{k}=b_{k}P\boldsymbol{e}_{k}\)となり、\(P\boldsymbol{e}_{k}\)は\(A\)の固有ベクトルとなる。
\(\left\{ \boldsymbol{e}_{k}\right\} _{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\)は1次独立なので、正則な\(P\)を作用させた\(\left\{ P\boldsymbol{e}_{k}\right\} _{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\)も1次独立となる。
従って、対角化が可能ならば、\(n\)個の1次独立な固有ベクトルがある。

\(\Leftarrow\)

条件より、\(n\)個の1次独立な固有ベクトルがあるので\(\left\{ \boldsymbol{p}_{k}\right\} _{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\)としてそれぞれの固有値を\(\left\{ b_{k}\right\} _{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\)とする。
このとき、\(P=\left(\boldsymbol{p}_{1},\boldsymbol{p}_{2},\cdots,\boldsymbol{p}_{n}\right)\)と列ベクトルを用いて表すと固有ベクトル\(\boldsymbol{p}_{1},\boldsymbol{p}_{2},\cdots,\boldsymbol{p}_{n}\)は1次独立より\(P=\left(\boldsymbol{p}_{1},\boldsymbol{p}_{2},\cdots,\boldsymbol{p}_{n}\right)\)は正則となり逆行列\(P^{-1}\)が存在する。
ここで、対角行列\(B\)を\(B=\diag\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right)\)とすると、
\begin{align*} P^{-1}AP & =P^{-1}A\left(\boldsymbol{p}_{1},\boldsymbol{p}_{2},\cdots,\boldsymbol{p}_{n}\right)\\ & =P^{-1}\left(A\boldsymbol{p}_{1},A\boldsymbol{p}_{2},\cdots,A\boldsymbol{p}_{n}\right)\\ & =P^{-1}\left(b_{1}\boldsymbol{p}_{1},b_{2}\boldsymbol{p}_{2},\cdots,b_{n}\boldsymbol{p}_{n}\right)\\ & =P^{-1}\left(\boldsymbol{p}_{1},\boldsymbol{p}_{2},\cdots,\boldsymbol{p}_{n}\right)\diag\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right)\\ & =P^{-1}PB\\ & =B \end{align*} となり、\(P^{-1}AP=B\)となるので対角化が可能である。
従って、\(n\)個の1次独立な固有ベクトルがあれば、対角化が可能である。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(3)

(2)より、\(n\)個の1次独立な固有ベクトルがあることと、\(\sum_{k=1}^{r}\dim\left(W_{\lambda_{k}}\right)=n\)が成り立つことは同値であることを示せばよい。

\(\Rightarrow\)

固有ベクトルはいずれかの固有値になっているので固有値\(\lambda_{k}\)になる固有ベクトルの個数を\(m_{k}\)とする。
このとき、固有空間\(W\left(\lambda_{k}\right)\)の次元\(\dim\left(W\left(\lambda_{k}\right)\right)\)は\(m_{k}\)であるので、\(m_{k}=\dim\left(W\left(\lambda_{k}\right)\right)\)となり、\(k\)について1から\(r\)まで和をとると、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{r}\dim\left(W\left(\lambda_{k}\right)\right) & =\sum_{k=1}^{r}m_{k}\\ & =n \end{align*} となるので\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

各固有空間\(W\left(\lambda_{k}\right)\)には\(\dim\left(W\left(\lambda_{k}\right)\right)\)個の1次独立なベクトルがあり異なる固有空間同士のベクトルは固有値が異なるので1次独立である。
これより、\(n=\sum_{k=1}^{r}\dim\left(W\left(\lambda_{k}\right)\right)\)個のベクトルは1次独立であり、全て固有ベクトルであるので\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(4)

(3)より、\(\sum_{k=1}^{r}\dim\left(W\left(\lambda_{k}\right)\right)=n\)が成り立つことと、\(n-\rank\left(\lambda_{k}I-A\right)=m_{k}\)が成り立つことは同値であることを示せばよい。

\(\Rightarrow\)

代数的重複度\(m_{k}\)と幾何学的重複度\(\dim\left(W\left(\lambda_{k}\right)\right)\)の間に\(\dim\left(W\left(\lambda_{k}\right)\right)\leq m_{k}\)の関係があるので、\(n=\sum_{k=1}^{r}\dim\left(W\left(\lambda_{k}\right)\right)\leq\sum_{k=1}^{r}m_{k}=n\)となる。
これより、\(\dim\left(W\left(\lambda_{k}\right)\right)=m_{k}\)となり、\(\dim\left(W\left(\lambda_{k}\right)\right)=n-\rank\left(\lambda_{k}I-A\right)\)であるので\(n-\rank\left(\lambda_{k}I-A\right)=m_{k}\)となる。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\(\dim\left(W\left(\lambda_{k}\right)\right)=n-\rank\left(\lambda_{k}I-A\right)\)であるので条件\(n-\rank\left(\lambda_{k}I-A\right)=m_{k}\)は\(\dim\left(W\left(\lambda_{k}\right)\right)=m_{k}\)となる。
両辺\(k\)について1から\(r\)まで和をとると、\(\sum_{k=1}^{r}\dim\left(W\left(\lambda_{k}\right)\right)=\sum_{k=1}^{r}m_{k}=n\)となる。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

複素数全体の集合\(\mathbb{C}\)上でないときは逆は一般的に成り立つとは限らない

反例で示す。
実数全体の集合\(\mathbb{R}\)上で2次正方行列を
\[ A=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{array}\right) \] とすると、固有多項式は
\begin{align*} p_{A}\left(\lambda\right) & =\det\left(\lambda I-A\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{cc} \lambda & -1\\ 1 & \lambda \end{array}\right)\\ & =\lambda^{2}+1 \end{align*} となるので固有値は\(\mathbb{R}\)上で存在しない。
固有値は存在しないので固有空間も存在せず、全ての固有空間の次元の総和は0となり、\(0\ne2\)なので対角化ができない。
しかし、固有値は存在しないので、全ての固有値について代数的重複度と幾何学的重複度は一致している。
従って、複素数全体の集合\(\mathbb{C}\)上でないときは逆は一般的に成り立つとは限らない。

(5)

\(\Rightarrow\)

\(n\)次正方行列\(A\)が対角化可能であるとき、その\(n\)次対角行列を\(D\)とすると、ある正則行列\(P\)が存在して、\(D=P^{-1}AP\)となるので\(D\)と\(A\)は相似である。
このとき、\(A\)の最小多項式は相似で不変であるので、\(D\)の最小多項式と同一である。
また、対角行列\(D=\diag\left(d_{1},d_{2},\cdots,d_{n}\right)\)で\(r\leq n\)として全ての相異なる対角成分を\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r}\)とすると、最小多項式\(m\left(x\right)\)は
\[ m\left(x\right)=\prod_{k=\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }\left(x-\alpha_{k}\right) \] となり、単純根のみを持つ。
従って、\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\(n\)次正方行列\(A\)の重複を許した固有値を\(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\)とすると、固有多項式\(p\left(x\right)\)は\(p\left(x\right)=\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\left(x-\lambda_{k}\right)\)となり、最小多項式\(m\left(x\right)\)との間に\(m\left(x\right)\mid p\left(x\right)\)の関係がある。
また、\(r\leq n\)として\(A\)の相異なる固有値を\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r}\)とすると、固有多項式は任意の\(k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} \)について\(1\leq n_{k}\)として\(p\left(x\right)=\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\left(x-\alpha_{k}\right)^{n_{k}}\)と表すことができる。
これより、
\[ m\left(x\right)\mid p\left(x\right)\Leftrightarrow m\left(x\right)\mid\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }\left(x-\alpha_{k}\right)^{n_{k}} \] となるので、任意の\(k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} \)について、ある\(m_{k}\in\left\{ 0,1,\cdots,n_{k}\right\} \)が存在し、\(m\left(x\right)=\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }\left(x-\alpha_{k}\right)^{m_{k}}\)となる。
また、最小多項式\(m\left(x\right)\)は任意の\(k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} \)について\(m\left(\alpha_{k}\right)=0\)を満たす。
これより、任意の\(k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} \)について、ある\(m_{k}\in\left\{ 1,2,\cdots,n_{k}\right\} \)が存在し、\(m\left(x\right)=\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }\left(x-\alpha_{k}\right)^{m_{k}}\)となる。
また、条件より\(A\)の最小多項式\(m\left(x\right)\)が単純根のみを持つので、任意の\(k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} \)について\(m_{k}=1\)となり、
\begin{align*} m\left(x\right) & =\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }\left(x-\alpha_{k}\right)^{m_{k}}\\ & =\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }\left(x-\alpha_{k}\right) \end{align*} となる。
これより、\(A\)の最小多項式は既約多項式\(\left(x-\alpha_{1}\right)^{1},\left(x-\alpha_{2}\right)^{1},\cdots,\left(x-\alpha_{r}\right)^{1}\)の積で分解されるので、線形変換を\(f_{A}:\mathbb{C}^{n}\rightarrow\)\(\mathbb{C}^{n},\boldsymbol{x}\mapsto A\boldsymbol{x}\)とすると分解定理より、固有値\(\alpha_{k}\)の固有空間\(\ker\left(A-\alpha_{k}I_{n}\right)\)を\(W\left(\alpha_{k}\right)=\ker\left(A-\alpha_{k}I_{n}\right)\)で表すと、
\begin{align*} \mathbb{C}^{n} & =\bigoplus_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }\ker\left(A-\alpha_{k}I_{n}\right)^{1}\\ & =\bigoplus_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }\ker\left(A-\alpha_{k}I_{n}\right)\\ & =\bigoplus_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }W\left(\alpha_{k}\right) \end{align*} となる。
これより、
\begin{align*} n & =\dim\mathbb{C}^{n}\\ & =\dim\bigoplus_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }W\left(\alpha_{k}\right)\\ & =\sum_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\dim W\left(\alpha_{k}\right) \end{align*} となるので、\(A\)は対角化可能となる。
従って、\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。