(1)

\begin{align*} \left(\overline{A+B}\right)_{i,j} & =\overline{\left(A+B\right)_{i,j}}\\ & =\overline{\left(A\right)_{i,j}+\left(B\right)_{i,j}}\\ & =\overline{\left(A\right)_{i,j}}+\overline{\left(B\right)_{i,j}}\\ & =\left(\overline{A}\right)_{i,j}+\left(\overline{B}\right)_{i,j}\\ & =\left(\overline{A}+\overline{B}\right)_{i,j} \end{align*} となるので、
\[ \overline{A+B}=\overline{A}+\overline{B} \] となり、与式は成り立つ。

(2)

\begin{align*} \left(\overline{\overline{A}}\right)_{i,j} & =\overline{\left(\overline{A}\right)_{i,j}}\\ & =\overline{\overline{\left(A\right)_{i,j}}}\\ & =\left(A\right)_{i,j} \end{align*} となるので、
\[ \overline{\overline{A}}=A \] となり、与式は成り立つ。

(3)

\(A\)を\(l\times m\)行列、\(B\)を\(m\times n\)行列とする。
\begin{align*} \left(\overline{AB}\right)_{i,j} & =\overline{\left(AB\right)_{i,j}}\\ \\ & =\overline{\sum_{k=1}^{m}\left(A\right)_{i,k}\left(B\right)_{k,j}}\\ & =\sum_{k=1}^{m}\overline{\left(A\right)_{i,k}}\overline{\left(B\right)_{k,j}}\\ & =\sum_{k=1}^{m}\overline{\left(A\right)_{i,k}}\overline{\left(B\right)_{k,j}}\\ & =\sum_{k=1}^{m}\left(\overline{A}\right)_{i,k}\left(\overline{B}\right)_{k,j}\\ & =\left(\overline{A}\overline{B}\right)_{i,j} \end{align*} となるので
\[ \overline{AB}=\overline{A}\overline{B} \] となり、与式は成り立つ。