3角形・双心4角形の内接円の中心と外接円の中心の距離の関係

by nomura · 2025年10月1日

3角形・双心4角形の内接円の中心と外接円の中心の距離の関係
3角形・双心4角形の内接円の半径を\(r\)、外接円の半径を\(R\)として内接円と外接円の中心の距離\(d\)とする。

(1)3角形

3角形は次の関係がある。
\[ \frac{1}{R-d}+\frac{1}{R+d}=\frac{1}{r} \]

(2)双心4角形

双心4角形は次の関係がある。
\[ 2r^{2}\left(R^{2}+d^{2}\right)=\left(R^{2}-d^{2}\right)^{2} \] \[ \frac{1}{\left(R-d\right)^{2}}+\frac{1}{\left(R+d\right)^{2}}=\frac{1}{r^{2}} \]

-

外接円と内接円が存在する4角形を双心4角形という。
4角形の場合は内接円と外接円が常に存在するとは限らないので双心4角形のときとなります。

-

\(2r^{2}\left(R^{2}+d^{2}\right)=\left(R^{2}-d^{2}\right)^{2}\Leftrightarrow\frac{1}{\left(R-d\right)^{2}}+\frac{1}{\left(R+d\right)^{2}}=\frac{1}{r^{2}}\)の証明
\[ 2r^{2}\left(R^{2}+d^{2}\right)=2r^{2}\left(R+d\right)^{2}-4Rdr^{2} \] となるので、
\[ \left(R+d\right)^{2}\left(R-d\right)^{2}=2r^{2}\left(R+d\right)^{2}-4Rdr^{2} \] となり、両辺\(\left(R+d\right)^{2}\left(R-d\right)^{2}r^{2}\)で割ると、
\begin{align*} \frac{1}{r^{2}} & =\frac{2}{\left(R-d\right)^{2}}-\frac{4Rd}{\left(R-d\right)^{2}\left(R+d\right)^{2}}\\ & =\frac{2}{\left(R-d\right)^{2}}-\left(\frac{1}{\left(R-d\right)^{2}}-\frac{1}{\left(R+d\right)^{2}}\right)\\ & =\frac{1}{\left(R-d\right)^{2}}+\frac{1}{\left(R+d\right)^{2}} \end{align*} となる。

(1)

チャップル・オイラーの定理より、
\[ d^{2}=R^{2}-2Rr \] なので、
\begin{align*} 2Rr & =R^{2}-d^{2}\\ & =\left(R-d\right)\left(R+d\right) \end{align*} となるので両辺を\(r\left(R-d\right)\left(R+d\right)\)で割ると、
\begin{align*} \frac{1}{r} & =\frac{2R}{\left(R-d\right)\left(R+d\right)}\\ & =\frac{1}{R-d}+\frac{1}{R+d} \end{align*} となり与式は成り立つ。

(2)

略

ページ情報

タイトル	3角形・双心4角形の内接円の中心と外接円の中心の距離の関係
URL	https://www.nomuramath.com/z3uzfl1n/
SNSボタン

3角形上での3角関数

\[ \sin A+\sin B+\sin C=4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2} \]

スチュワートの定理と中線定理と平行4辺形公式

\[ xa^{2}+yb^{2}=c\left(d^{2}+xy\right) \]

3角形の角度と長さの関係

\[ a\cos A+b\cos B+c\cos C=\frac{8S^{2}}{abc} \]

5心と頂点までの距離

\[ \left|AG\right|^{2}=\frac{-a^{2}+2b^{2}+2c^{2}}{9} \]