(1)

\begin{align*} \det O & =\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn\left(\sigma\right)\left(O\right)_{1,\sigma\left(1\right)}\left(O\right)_{2,\sigma\left(2\right)}\cdots\left(O\right)_{n,\sigma\left(n\right)}\\ & =0 \end{align*}

(2)

\begin{align*} \det I & =\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn\left(\sigma\right)\delta_{1\sigma\left(1\right)}\delta_{2\sigma\left(2\right)}\cdots\delta_{n\sigma\left(n\right)}\\ & =\sgn\left(1,2,\cdots,n\right)\cdot\delta_{1,1}\delta_{2,2}\cdots\delta_{n,n}\\ & =1 \end{align*}

(3)

\begin{align*} \det A^{T} & =\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn\left(\sigma\right)\left(A^{T}\right)_{1,\sigma\left(1\right)}\left(A^{T}\right)_{2,\sigma\left(2\right)}\cdots\left(A^{T}\right)_{n,\sigma\left(n\right)}\\ & =\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn\left(\sigma\right)\left(A\right)_{\sigma\left(1\right),1}\left(A\right)_{\sigma\left(2\right),2}\cdots\left(A\right)_{\sigma\left(n\right),n}\\ & =\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn\left(\sigma\right)\left(A\right)_{1,\sigma^{\bullet}\left(1\right)}\left(A\right)_{2,\sigma^{\bullet}\left(2\right)}\cdots\left(A\right)_{n,\sigma^{\bullet}\left(n\right)}\\ & =\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn\left(\sigma^{\bullet}\right)\left(A\right)_{1,\sigma^{\bullet}\left(1\right)}\left(A\right)_{2,\sigma^{\bullet}\left(2\right)}\cdots\left(A\right)_{n,\sigma^{\bullet}\left(n\right)}\\ & =\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn\left(\sigma\right)\left(A\right)_{1,\sigma\left(1\right)}\left(A\right)_{2,\sigma\left(2\right)}\cdots\left(A\right)_{n,\sigma\left(n\right)}\\ & =\det A \end{align*} となり与式は成り立つ。

(4)

\begin{align*} \det\left(cA\right) & =\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn\left(\sigma\right)\left(cA\right)_{1,\sigma\left(1\right)}\left(cA\right)_{2,\sigma\left(2\right)}\cdots\left(cA\right)_{n,\sigma\left(n\right)}\\ & =\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn\left(\sigma\right)c\left(A\right)_{1,\sigma\left(1\right)}c\left(A\right)_{2,\sigma\left(2\right)}\cdots c\left(A\right)_{n,\sigma\left(n\right)}\\ & =c^{n}\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn\left(\sigma\right)\left(A\right)_{1,\sigma\left(1\right)}\left(A\right)_{2,\sigma\left(2\right)}\cdots\left(A\right)_{n,\sigma\left(n\right)}\\ & =c^{n}\det A \end{align*}

(4)-2

\(A=\left(a_{ij}\right)=\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)\)とする。
\(\boldsymbol{a}_{k}\)は列ベクトルである。
ある行または列を\(c\)倍すると行列式は\(c\)倍になるので、
\begin{align*} \det\left(cA\right) & =\det\left(c\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)\right)\\ & =\det\left(c\boldsymbol{a}_{1},c\boldsymbol{a}_{2},\cdots,c\boldsymbol{a}_{n}\right)\\ & =c^{n}\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)\\ & =c^{n}\det\left(A\right) \end{align*} となる。
従って与式は成り立つ。

(5)

\(A=\left(a_{ij}\right)=\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right),B=\left(b_{ij}\right)\)とする。
\(\boldsymbol{a}_{k}\)は列ベクトルである。
\begin{align*} \det\left(AB\right) & =\det\left(\sum_{k_{1}=1}^{n}\boldsymbol{a}_{k_{1}}b_{k_{1},1},\sum_{k_{2}=1}^{n}\boldsymbol{a}_{k_{2}}b_{k_{2},2},\cdots,\sum_{k_{n}=1}^{n}\boldsymbol{a}_{k_{n}}b_{k_{n},n}\right)\\ & =\sum_{k_{1}=1}^{n}\sum_{k_{2}=1}^{n}\cdots\sum_{k_{n}=1}^{n}\det\left(\boldsymbol{a}_{k_{1}}b_{k_{1},1},\boldsymbol{a}_{k_{2}}b_{k_{2},2},\cdots,\boldsymbol{a}_{k_{n}}b_{k_{n},n}\right)\\ & =\sum_{k_{1}=1}^{n}\sum_{k_{2}=1}^{n}\cdots\sum_{k_{n}=1}^{n}b_{k_{1},1}b_{k_{2},2}\cdots b_{k_{n},n}\det\left(\boldsymbol{a}_{k_{1}},\boldsymbol{a}_{k_{2}},\cdots,\boldsymbol{a}_{k_{n}}\right)\\ & =\sum_{\sigma\in S_{n}}^{n}b_{\sigma\left(1\right),1}b_{\sigma\left(2\right),2}\cdots b_{\sigma\left(n\right),n}\det\left(\boldsymbol{a}_{\sigma\left(1\right)},\boldsymbol{a}_{\sigma\left(2\right)},\cdots,\boldsymbol{a}_{\sigma\left(n\right)}\right)\\ & =\sum_{\sigma\in S_{n}}^{n}b_{\sigma\left(1\right),1}b_{\sigma\left(2\right),2}\cdots b_{\sigma\left(n\right),n}\sgn\left(\sigma\right)\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)\\ & =\sum_{\sigma\in S_{n}}^{n}\sgn\left(\sigma\right)b_{\sigma\left(1\right),1}b_{\sigma\left(2\right),2}\cdots b_{\sigma\left(n\right),n}\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)\\ & =\det\left(B^{T}\right)\det\left(A\right)\\ & =\det\left(A\right)\det\left(B\right) \end{align*} これより与式は成り立つ。

(6)

\begin{align*} \det\left(I\right) & =\det\left(AA^{-1}\right)\\ & =\det\left(A\right)\det\left(A^{-1}\right) \end{align*} となるので\(\det\left(A^{-1}\right)\)について解くと、
\begin{align*} \det\left(A^{-1}\right) & =\det\left(I\right)\left(\det\left(A\right)\right)^{-1}\\ & =\left(\det\left(A\right)\right)^{-1} \end{align*} となり与式は成り立つ。

(7)

\begin{align*} \det\left(\overline{A}\right) & =\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn\left(\sigma\right)\overline{a_{1\sigma\left(1\right)}}\overline{a_{2\sigma\left(2\right)}}\cdots\overline{a_{n\sigma\left(n\right)}}\\ & =\overline{\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn\left(\sigma\right)a_{1\sigma\left(1\right)}a_{2\sigma\left(2\right)}\cdots a_{n\sigma\left(n\right)}}\\ & =\overline{\det\left(A\right)} \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(8)

\begin{align*} \det\left(A^{*}\right) & =\det\left(\overline{A}^{T}\right)\\ & =\det\left(\overline{A}\right)\\ & =\overline{\det\left(A\right)} \end{align*}

(9)

\begin{align*} \det\left(\adj A\right) & =\det\left(A^{-1}\det A\right)\\ & =\left(\det A\right)^{n}\det\left(A^{-1}\right)\cmt{\because\det\left(cA\right)=c^{n}\det\left(A\right)}\\ & =\left(\det A\right)^{n}\left(\det A\right)^{-1}\\ & =\left(\det A\right)^{n-1} \end{align*}

(10)

\(A\)をある正則行列\(P\)で上3角化したものを\(P^{-1}AP\)とする。
\begin{align*} \det\left(e^{A}\right) & =\det\left(P^{-1}e^{A}P\right)\\ & =\det\left(e^{P^{-1}AP}\right)\\ & =\tr\left(e^{P^{-1}AP}\right)\\ & =e^{\tr\left(P^{-1}AP\right)}\\ & =e^{\tr\left(A\right)} \end{align*}

(11)

上3角行列\(A=\left(a_{ij}\right)\)で考える。
上3角行列なので\(j<i\rightarrow a_{ij}=0\)となり、行列式の定義は
\begin{align*} \det A & =\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn\left(\sigma\right)a_{1\sigma\left(1\right)}a_{2\sigma\left(2\right)}\cdots a_{n\sigma\left(n\right)} \end{align*} である。
\(\sgn\left(\sigma\right)a_{1\sigma\left(1\right)}a_{2\sigma\left(2\right)}\cdots a_{n\sigma\left(n\right)}\ne0\)となるためには、\(a_{n,\sigma\left(n\right)}\ne0\)でなければいけないので\(\sigma\left(n\right)=n\)でなければいけない。
同様に\(a_{n-1,\sigma\left(n-1\right)}\ne0\)でなければいけないが、\(\sigma\left(n\right)=n\)なので、\(\sigma\left(n-1\right)=n-1\)でなければいけない。
これを繰り返すと、\(\forall k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} ,\sigma\left(k\right)=k\)でなければいけない。
これより、
\begin{align*} \det A & =\sgn\left(1\right)a_{1,1}a_{2,2}\cdots a_{n,n}\\ & =\prod_{k=1}^{n}a_{kk} \end{align*} となる。
下3角行列についても同様である。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

逆は一般的に成り立たない。
反例で示す。
3次正方行列を
\begin{align*} A & =\left(a_{ij}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{align*} とすると、\(\det A=0\)で\(\prod_{k=1}^{3}a_{kk}=a_{11}a_{22}a_{33}=0\)となるので、\(\det A=0=\prod_{k=1}^{3}a_{kk}\)が成り立っているが、\(A\)は3角行列ではない。
従って逆は一般的に成り立たない。

(12)

\(\Rightarrow\)

対角行列\(A-\mathrm{diag}\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\)の行列式は\(\det A=\prod_{k=1}^{n}a_{k}\)となる。
3角行列の行列式は全ての対角成分の積であり、対角行列は3角行列でもあるので対角行列の行列式は対角成分の全ての積になる。
従って、\(\det A=\det\left(\mathrm{dian}\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\right)=\prod_{k=1}^{n}a_{k}\)となるので\(\Rightarrow\)は成り立つ。

\(\Leftarrow\)

逆は一般的に成り立たない。
反例で示す。
2次正方行列を
\begin{align*} A & =\left(a_{ij}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right) \end{align*} とすると、\(\det A=0\)で\(\prod_{k=1}^{2}a_{kk}=a_{11}a_{22}=0\)となるので、\(\det A=0=\prod_{k=1}^{2}a_{kk}\)が成り立っているが、\(A\)は対角行列ではない。
従って逆は一般的に成り立たない。

(13)

\(N\)はべき零行列なのである自然数\(m\in\mathbb{N}\)が存在し、\(N^{m}=O\)となる。
これより、
\begin{align*} 0 & =\det O\\ & =\det N^{m}\\ & =\left(\det N\right)^{m} \end{align*} となるので\(\det N=0\)となり題意は成り立つ。

(14)

\(A\sim B\)より、ある正則行列\(P\)が存在し\(B=P^{-1}AP\)となる。
従って、
\begin{align*} \det\left(B\right) & =\det\left(P^{-1}BP\right)\\ & =\det\left(P^{-1}\right)\det\left(B\right)\det\left(P\right)\\ & =\left(\det\left(P\right)\right)^{-1}\det\left(B\right)\det\left(P\right)\\ & =\det\left(B\right) \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(15)

\begin{align*} \det\left(\left(AB\right)\left(\left(l_{1},l_{2},\cdots,l_{k}\right),\left(n_{1},n_{2},\cdots,n_{k}\right)\right)\right) & =\det\left(A\left(\left(l_{1},l_{2},\cdots,l_{k}\right),\left(1,2,\cdots,m\right)\right)B\left(\left(1,2,\cdots,m\right),\left(n_{1},n_{2},\cdots,n_{k}\right)\right)\right)\\ & =\det\left(\left(\begin{array}{cccc} a_{l_{1},1} & a_{l_{1},2} & \cdots & a_{l_{1},m}\\ a_{l_{2},1} & a_{l_{2},2} & \cdots & a_{l_{2},m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{l_{k},1} & a_{l_{k},2} & \cdots & a_{l_{k},m} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} B\left(1,\left(n_{1},n_{2},\cdots,n_{k}\right)\right)\\ B\left(2,\left(n_{1},n_{2},\cdots,n_{k}\right)\right)\\ \vdots\\ B\left(m,\left(n_{1},n_{2},\cdots,n_{k}\right)\right) \end{array}\right)\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{c} \sum_{j=1}^{m}a_{l_{1},j}B\left(j,\left(n_{1},n_{2},\cdots,n_{k}\right)\right)\\ \sum_{j=1}^{m}a_{l_{2},j}B\left(j,\left(n_{1},n_{2},\cdots,n_{k}\right)\right)\\ \vdots\\ \sum_{j=1}^{m}a_{l_{k},j}B\left(j,\left(n_{1},n_{2},\cdots,n_{k}\right)\right) \end{array}\right)\\ & =\sum_{j_{1}=1}^{m}a_{l_{1},j_{1}}\det\left(\begin{array}{c} B\left(j_{1},\left(n_{1},n_{2},\cdots,n_{k}\right)\right)\\ \sum_{j=1}^{m}a_{l_{2},j}B\left(j,\left(n_{1},n_{2},\cdots,n_{k}\right)\right)\\ \vdots\\ \sum_{j=1}^{m}a_{l_{k},j}B\left(j,\left(n_{1},n_{2},\cdots,n_{k}\right)\right) \end{array}\right)\\ & =\sum_{j_{1}=1}^{m}a_{l_{1},j_{1}}\sum_{j_{2}=1}^{m}a_{l_{2},j_{2}}\cdots\sum_{j_{k}=1}^{m}a_{l_{k},j_{k}}\det\left(\begin{array}{c} B\left(j_{1},\left(n_{1},n_{2},\cdots,n_{k}\right)\right)\\ B\left(j_{2},\left(n_{1},n_{2},\cdots,n_{k}\right)\right)\\ \vdots\\ B\left(j_{k},\left(n_{1},n_{2},\cdots,n_{k}\right)\right) \end{array}\right)\\ & =\sum_{j_{1}=1}^{m}\sum_{j_{2}=1}^{m}\cdots\sum_{j_{k}=1}^{m}a_{l_{1},j_{1}}a_{l_{2},j_{2}}\cdots a_{l_{k},j_{k}}\det\left(\begin{array}{c} B\left(j_{1},\left(n_{1},n_{2},\cdots,n_{k}\right)\right)\\ B\left(j_{2},\left(n_{1},n_{2},\cdots,n_{k}\right)\right)\\ \vdots\\ B\left(j_{k},\left(n_{1},n_{2},\cdots,n_{k}\right)\right) \end{array}\right)\\ & =\sum_{1\leq j_{1}<J_{2}<\cdots<j_{k}\leq m}\sum_{\sigma\in s_{k}}\sgn\left(\begin{array}{cccc} j_{1} & j_{2} & \cdots & j_{k}\\ \sigma\left(j_{1}\right) & \sigma\left(j_{2}\right) & \cdots & \sigma\left(j_{k}\right) \end{array}\right)a_{l_{1},\sigma\left(j_{1}\right)}a_{l_{2},\sigma\left(j_{2}\right)}\cdots a_{l_{k},\sigma\left(j_{k}\right)}\det\left(\begin{array}{c} B\left(j_{1},\left(n_{1},n_{2},\cdots,n_{k}\right)\right)\\ B\left(j_{2},\left(n_{1},n_{2},\cdots,n_{k}\right)\right)\\ \vdots\\ B\left(j_{k},\left(n_{1},n_{2},\cdots,n_{k}\right)\right) \end{array}\right)\\ & =\sum_{1\leq j_{1}<J_{2}<\cdots<j_{k}\leq m}\det\left(\begin{array}{cccc} A\left(\left(l_{1},l_{2},\cdots,l_{k}\right),j_{1}\right) & A\left(\left(l_{1},l_{2},\cdots,l_{k}\right),j_{2}\right) & \cdots & A\left(\left(l_{1},l_{2},\cdots,l_{k}\right),j_{k}\right)\end{array}\right)\det\left(\begin{array}{c} B\left(j_{1},\left(n_{1},n_{2},\cdots,n_{k}\right)\right)\\ B\left(j_{2},\left(n_{1},n_{2},\cdots,n_{k}\right)\right)\\ \vdots\\ B\left(j_{k},\left(n_{1},n_{2},\cdots,n_{k}\right)\right) \end{array}\right)\\ & =\sum_{1\leq j_{1}<J_{2}<\cdots<j_{k}\leq m}\det\left(\begin{array}{c} A\left(\left(l_{1},l_{2},\cdots,l_{k}\right),\left(j_{1},j_{2},\cdots,j_{k}\right)\right)\end{array}\right)\det\left(\begin{array}{c} B\left(\left(j_{1},j_{2},\cdots,j_{k}\right),\left(n_{1},n_{2},\cdots,n_{k}\right)\right)\end{array}\right) \end{align*}

(16)

\(A\)を列ベクトルで表すと\(A=\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m}\right)\)、\(B\)を行ベクトルで表すと\(B=\left(\boldsymbol{b}_{1}^{T},\boldsymbol{b}_{2}^{T},\cdots,\boldsymbol{b}_{n}^{T}\right)^{T}\)とする。
\begin{align*} \det\left(AB\right) & =\det\left(\left(\begin{array}{cccc} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \boldsymbol{b}_{1}\\ \boldsymbol{b}_{2}\\ \vdots\\ \boldsymbol{b}_{n} \end{array}\right)\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{c} \sum_{k=1}^{n}a_{1,k}\boldsymbol{b}_{k}\\ \sum_{k=1}^{n}a_{2,k}\boldsymbol{b}_{k}\\ \vdots\\ \sum_{k=1}^{n}a_{m,k}\boldsymbol{b}_{k} \end{array}\right)\\ & =\sum_{k_{1}=1}^{n}a_{1,k_{1}}\det\left(\begin{array}{c} \boldsymbol{b}_{k_{1}}\\ \sum_{k=1}^{n}a_{2,k}\boldsymbol{b}_{k}\\ \vdots\\ \sum_{k=1}^{n}a_{m,k}\boldsymbol{b}_{k} \end{array}\right)\\ & =\sum_{k_{1}=1}^{n}a_{1,k_{1}}\sum_{k_{2}=1}^{n}a_{2,k_{2}}\cdots\sum_{k_{m}=1}^{n}a_{m,k_{m}}\det\left(\begin{array}{c} \boldsymbol{b}_{k_{1}}\\ \boldsymbol{b}_{k_{2}}\\ \vdots\\ \boldsymbol{b}_{k_{m}} \end{array}\right)\\ & =\sum_{k_{1}=1}^{n}\sum_{k_{2}=1}^{n}\cdots\sum_{k_{m}=1}^{n}a_{1,k_{1}}a_{2,k_{2}}\cdots a_{m,k_{m}}\det\left(\begin{array}{c} \boldsymbol{b}_{k_{1}}\\ \boldsymbol{b}_{k_{2}}\\ \vdots\\ \boldsymbol{b}_{k_{m}} \end{array}\right)\\ & =\sum_{1\leq k_{1}<k_{2}<\cdots<k_{m}\leq n}\sum_{\sigma\in S_{m}}\sgn\left(\begin{array}{cccc} k_{1} & k_{2} & \cdots & k_{m}\\ \sigma\left(k_{1}\right) & \sigma\left(k2\right) & \cdots & \sigma\left(k_{m}\right) \end{array}\right)a_{1,\sigma\left(k_{1}\right)}a_{2,\sigma\left(k_{2}\right)}\cdots a_{m,\sigma\left(k_{m}\right)}\det\left(\begin{array}{c} \boldsymbol{b}_{k_{1}}\\ \boldsymbol{b}_{k_{2}}\\ \vdots\\ \boldsymbol{b}_{k_{m}} \end{array}\right)\\ & =\sum_{1\leq k_{1}<k_{2}<\cdots<k_{m}\leq n}\det\left(\begin{array}{cccc} \boldsymbol{a}_{k_{1}} & \boldsymbol{a}_{k_{2}} & \cdots & \boldsymbol{a}_{k_{m}}\end{array}\right)\det\left(\begin{array}{c} \boldsymbol{b}_{k_{1}}\\ \boldsymbol{b}_{k_{2}}\\ \vdots\\ \boldsymbol{b}_{k_{m}} \end{array}\right)\\ & =\sum_{1\leq k_{1}<k_{2}<\cdots<k_{m}\leq n}\det\left(\begin{array}{c} A\left(\left(1,2,\cdots,m\right)\right),\left(k_{1},k_{2},\cdots,k_{m}\right)\end{array}\right)\det\left(B\left(\left(k_{1},k_{2},\cdots,k_{m}\right),\left(1,2,\cdots,m\right)\right)\right) \end{align*} これより、\(m<n\)のときはこのままとなる。
\(m=n\)のときは総和の条件\(1\leq k_{1}<k_{2}<\cdots<k_{m}\leq n\)で\(k_{j}=j\)しか残らないので、
\begin{align*} \det\left(AB\right) & =\sum_{1\leq k_{1}<k_{2}<\cdots<k_{m}\leq n}\det\left(\begin{array}{c} A\left(\left(1,2,\cdots,m\right)\right),\left(k_{1},k_{2},\cdots,k_{m}\right)\end{array}\right)\det\left(B\left(\left(k_{1},k_{2},\cdots,k_{m}\right),\left(1,2,\cdots,m\right)\right)\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{c} A\left(\left(1,2,\cdots,m\right)\right),\left(1,2,\cdots,m\right)\end{array}\right)\det\left(B\left(\left(1,2,\cdots,m\right),\left(1,2,\cdots,m\right)\right)\right)\\ & =\det\left(A\right)\det\left(B\right) \end{align*} となる。
\(n<m\)のときは、総和をとる項がないので\(\det\left(AB\right)=0\)となる。
従って題意は成り立つ。

-

最初に行ベクトルを使っても同じになる。
\begin{align*} \det\left(AB\right) & =\det\left(\begin{array}{cccc} \boldsymbol{a}_{1} & \boldsymbol{a}_{2} & \cdots & \boldsymbol{a}_{n}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc} b_{1,1} & b_{1,2} & \cdots & b_{1,m}\\ b_{2,1} & b_{2,2} & \cdots & b_{2,m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ b_{n,1} & b_{n,2} & \cdots & b_{n,m} \end{array}\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{cccc} \sum_{k=1}^{n}\boldsymbol{a}_{k}b_{k,1} & \sum_{k=1}^{n}\boldsymbol{a}_{k}b_{k,2} & \cdots & \sum_{k=1}^{n}\boldsymbol{a}_{k}b_{k,m}\end{array}\right)\\ & =\sum_{k_{1}=1}^{n}b_{k_{1},1}\det\left(\begin{array}{cccc} \boldsymbol{a}_{k_{1}} & \sum_{k=1}^{n}\boldsymbol{a}_{k}b_{k,2} & \cdots & \sum_{k=1}^{n}\boldsymbol{a}_{k}b_{k,m}\end{array}\right)\\ & =\sum_{k_{1}=1}^{n}b_{k_{1},1}\sum_{k_{2}=1}^{n}b_{k_{2},2}\cdots\sum_{k_{m}=1}^{n}b_{k_{m},m}\det\left(\begin{array}{cccc} \boldsymbol{a}_{k_{1}} & \boldsymbol{a}_{k_{2}} & \cdots & \boldsymbol{a}_{k_{m}}\end{array}\right)\\ & =\sum_{k_{1}=1}^{n}\sum_{k_{2}=1}^{n}\cdots\sum_{k_{m}=1}^{n}b_{k_{1},1}b_{k_{2},2}\cdots b_{k_{m},m}\det\left(\begin{array}{cccc} \boldsymbol{a}_{k_{1}} & \boldsymbol{a}_{k_{2}} & \cdots & \boldsymbol{a}_{k_{m}}\end{array}\right)\\ & =\sum_{1\leq k_{1}<k_{2}<\cdots<k_{m}\leq n}\sum_{\sigma\in S_{m}}\sgn\left(\begin{array}{cccc} k_{1} & k_{2} & \cdots & k_{m}\\ \sigma\left(k_{1}\right) & \sigma\left(k_{2}\right) & \cdots & \sigma\left(k_{m}\right) \end{array}\right)b_{\sigma\left(k_{1}\right),1}b_{\sigma\left(k_{2}\right),2}\cdots b_{\sigma\left(k_{m}\right),m}\det\left(\begin{array}{cccc} \boldsymbol{a}_{k_{1}} & \boldsymbol{a}_{k_{2}} & \cdots & \boldsymbol{a}_{k_{m}}\end{array}\right)\\ & =\sum_{1\leq k_{1}<k_{2}<\cdots<k_{m}\leq n}\det\left(\begin{array}{c} \boldsymbol{b}_{k_{1}}\\ \boldsymbol{b}_{k_{2}}\\ \vdots\\ \boldsymbol{b}_{k_{m}} \end{array}\right)\det\left(\begin{array}{cccc} \boldsymbol{a}_{k_{1}} & \boldsymbol{a}_{k_{2}} & \cdots & \boldsymbol{a}_{k_{m}}\end{array}\right)\\ & =\sum_{1\leq k_{1}<k_{2}<\cdots<k_{m}\leq n}\det\left(\begin{array}{cccc} \boldsymbol{a}_{k_{1}} & \boldsymbol{a}_{k_{2}} & \cdots & \boldsymbol{a}_{k_{m}}\end{array}\right)\det\left(\begin{array}{c} \boldsymbol{b}_{k_{1}}\\ \boldsymbol{b}_{k_{2}}\\ \vdots\\ \boldsymbol{b}_{k_{m}} \end{array}\right)\\ & =\sum_{1\leq k_{1}<k_{2}<\cdots<k_{m}\leq n}\det\left(\begin{array}{c} A\left(\left(1,2,\cdots,m\right)\right),\left(k_{1},k_{2},\cdots,k_{m}\right)\end{array}\right)\det\left(B\left(\left(k_{1},k_{2},\cdots,k_{m}\right),\left(1,2,\cdots,m\right)\right)\right) \end{align*}

(17)

\(A\)をエルミート行列とする。
\begin{align*} \det\left(A\right) & =\det\left(A^{*}\right)\\ & =\det\left(\overline{A}^{T}\right)\\ & =\det\left(\overline{A}\right)\\ & =\overline{\det\left(A\right)} \end{align*} となるので、\(0=\det\left(A\right)-\overline{\det\left(A\right)}=\Im\left(\det\left(A\right)\right)\)となるので虚部が0であるので実数となる。

(18)

反エルミート行列\(A\)は\(A^{*}=-A\)となり、
\begin{align*} \det\left(A\right) & =\overline{\det\left(\overline{A^{T}}\right)}\\ & =\overline{\det\left(A^{*}\right)}\\ & =\overline{\det\left(-A\right)}\\ & =\left(-1\right)^{n}\overline{\det\left(A\right)} \end{align*} となるので、題意は成り立つ。

(19)

\(U\)をユニタリ行列とする。
\begin{align*} 1 & =\det\left(I\right)\\ & =\det\left(UU^{*}\right)\\ & =\det\left(U\right)\det\left(U^{*}\right)\\ & =\det\left(U\right)\overline{\det\left(U\right)}\\ & =\left|\det\left(U\right)\right|^{2} \end{align*} となるので\(\left|\det\left(U\right)\right|=1\)となり題意は成り立つ。

(20)

直交行列\(A\)は\(A^{T}=A^{-1}\)となるので、
\begin{align*} 1 & =\det\left(I\right)\\ & =\det\left(AA^{-1}\right)\\ & =\det\left(A\right)\det\left(A^{-1}\right)\\ & =\det\left(A\right)\det\left(A^{T}\right)\\ & =\det\left(A\right)\det\left(A\right)\\ & =\left(\det A\right)^{2} \end{align*} となる。
これより、\(\det\left(A\right)=\pm1\)となる。
従って題意は成り立つ。

(21)

反対称行列\(T\)は\(T^{T}=-T\)なので、
\begin{align*} \det\left(T\right) & =\det\left(T^{T}\right)\\ & =\det\left(-T\right)\\ & =\left(-1\right)^{n}\det\left(T\right) \end{align*} となるので題意は成り立つ。