(1)

\begin{align*} \left\langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle & =\left(A\boldsymbol{x}\right)^{T}\overline{\boldsymbol{y}}\\ & =\boldsymbol{x}^{T}A^{T}\overline{\boldsymbol{y}}\\ & =\boldsymbol{x}^{T}\overline{A^{*}\boldsymbol{y}}\\ & =\left\langle \boldsymbol{x},A^{*}\boldsymbol{y}\right\rangle \end{align*}

(1)-2

\begin{align*} \left\langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle & =\sum_{i=1}^{n}\left(A\boldsymbol{x}\right)_{i}\overline{y}_{i}\\ & =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\left(A\right)_{i,j}x_{j}\overline{y}_{i}\\ & =\sum_{j=1}^{n}x_{j}\sum_{i=1}^{n}\left(A\right)_{i,j}\overline{y}_{i}\\ & =\sum_{j=1}^{n}x_{j}\sum_{i=1}^{n}\left(A^{T}\right)_{j,i}\overline{y}_{i}\\ & =\sum_{j=1}^{n}x_{j}\overline{\sum_{i=1}^{n}\left(A^{*}\right)_{j,i}y_{i}}\\ & =\sum_{j=1}^{n}x_{j}\overline{\left(A^{*}\boldsymbol{y}\right)_{j}}\\ & =\left\langle \boldsymbol{x},A^{*}\boldsymbol{y}\right\rangle \end{align*}

(2)

\begin{align*} \left\langle H\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle & =\left\langle \boldsymbol{x},H^{*}\boldsymbol{y}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{x},H\boldsymbol{y}\right\rangle \end{align*}

(3)

\begin{align*} \left\langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right\rangle & =\left\langle \boldsymbol{x},A^{*}\boldsymbol{y}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{x},-A\boldsymbol{y}\right\rangle \\ & =-\left\langle \boldsymbol{x},A\boldsymbol{y}\right\rangle \end{align*}

(4)

\(\Rightarrow\)

\(H\)がエルミート行列であるとき、任意の\(\boldsymbol{x}\in K^{n}\)について、
\begin{align*} \Im\left(\left\langle H\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \right) & =\frac{1}{2i}\left(\left\langle H\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle -\overline{\left\langle H\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle }\right)\\ & =\frac{1}{2i}\left(\left\langle H\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle -\overline{\left\langle \boldsymbol{x},H\boldsymbol{x}\right\rangle }\right)\\ & =\frac{1}{2i}\left(\left\langle H\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle -\left\langle H\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \right)\\ & =0 \end{align*} となるので、\(\left\langle H\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \in\mathbb{R}\)となる。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

条件より\(\left\langle H\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \in\mathbb{R}\)であるので、\(\left\langle H\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle =\overline{\left\langle H\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle }\)となるので、
\begin{align*} \left\langle H\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle & =\overline{\left\langle H\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle }\\ & =\overline{\left\langle \boldsymbol{x},H^{*}\boldsymbol{x}\right\rangle }\\ & =\overline{\overline{\left\langle H^{*}\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle }}\\ & =\left\langle H^{*}\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \end{align*} となり、\(0=\left\langle H\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle -\left\langle H^{*}\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle =\left\langle \left(H-H^{*}\right)\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \)となる。
これが任意の\(x\in\mathbb{C}^{n}\)について成り立つので、\(H-H^{*}=O\)となり、\(H=H^{*}\)となり\(H\)はエルミート行列となる。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

\(\mathbb{R}\)上では\(\Leftarrow\)一般的に成り立たない

反例で示す。
2次元実ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{2}\)で考える。
\(H\)を\(2\times2\)実行列として、任意の\(\boldsymbol{x}=\left(a,b\right)^{T}\in\mathbb{R}^{2}\)について、
\begin{align*} \left\langle H\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle & =\left\langle \left(\begin{array}{cc} H_{1,1} & H_{1,2}\\ H_{2,1} & H_{2,2} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} a\\ b \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} a\\ b \end{array}\right)\right\rangle \\ & =\left\langle \left(\begin{array}{c} aH_{1,1}+bH_{1,2}\\ aH_{2,1}+bH_{2,2} \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} a\\ b \end{array}\right)\right\rangle \\ & =\left(\begin{array}{c} aH_{1,1}+bH_{1,2}\\ aH_{2,1}+bH_{2,2} \end{array}\right)^{T}\overline{\left(\begin{array}{c} a\\ b \end{array}\right)}\\ & =\left(aH_{1,1}+bH_{1,2},aH_{2,1}+bH_{2,2}\right)\left(\begin{array}{c} a\\ b \end{array}\right)\\ & =a^{2}H_{1,1}+abH_{1,2}+abH_{2,1}+b^{2}H_{2,2}\\ & \in\mathbb{R} \end{align*} となる。
これより、任意の\(2\times2\)実行列\(H\)について成り立つ
従って、\(\mathbb{R}\)上では\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。