(1)(2)

\[ a+b=\max\left(a,b\right)+\min\left(a,b\right) \] \[ \left|a-b\right|=\max\left(a,b\right)-\min\left(a,b\right) \] これより、
\[ \max\left(a,b\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+\left|a-b\right|\right) \] \[ \min\left(a,b\right)=\frac{1}{2}\left(a+b-\left|a-b\right|\right) \] が成り立つ。

(3)

\begin{align*} -\min\left(-a,-b\right) & =-\frac{1}{2}\left(-a+-b-\left|-a+b\right|\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(a+b+\left|a-b\right|\right)\\ & =\max\left(a,b\right) \end{align*}

(4)

(3)より、
\[ -\max\left(-a,-b\right)=\max\left(a,b\right) \] となる。

(5)

\begin{align*} \max\left(\left|ca\right|,\left|cb\right|\right) & =\frac{1}{2}\left(\left|ca\right|+\left|cb\right|+\left|\left|ca\right|-\left|cb\right|\right|\right)\\ & =\left|c\right|\frac{1}{2}\left(\left|a\right|+\left|b\right|+\left|\left|a\right|-\left|b\right|\right|\right)\\ & =\left|c\right|\max\left(\left|a\right|,\left|b\right|\right) \end{align*}

(6)

(5)と同様にすればいい。