余因子展開と逆行列

by nomura · 2025年11月26日

余因子展開と逆行列
$n$次行列$A$があるとき、$\left(i,j\right)$余因子を$\widetilde{a}_{ij}$とする。

(1)余因子展開

任意の$i\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} $に対して、次が成り立つ。
\[ \det A=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}\widetilde{a}_{ik} \] となる。
行列式を余因子を用いて展開して求めるので余因子展開といいます。

(2)

$i\ne j$のとき次が成り立つ。
\begin{align*} 0 & =\sum_{k=1}^{n}a_{ik}\widetilde{a}_{jk}\\ & =\sum_{k=1}^{n}a_{ki}\widetilde{a}_{kj} \end{align*}

(3)逆行列

$n$次正則行列$A$の逆行列$A^{-1}$は、
\[ A^{-1}=\frac{1}{\det A}\adj A \] となる。
$\adj A$は余因子行列である。

基本変形による逆行列の求め方

$n$次正方行列$A_{n}$の逆行列を求めるには$A_{n}$の右に単位行列$I_{n}$を並べた$\left(A_{n},I_{n}\right)$を考えて、行基本変形をして$A_{n}$を$I_{n}$にしたときに元々$I_{n}$のあった場所の行列が$A_{n}^{-1}$となっている。
すなわち、行基本変形をして$\left(A_{n},I_{n}\right)\rightarrow\left(I_{n},A_{n}^{-1}\right)$にするということである。
これは行基本変形は基本行列を左から掛けるということなので、$A$に何を掛けると単位行列になるかを求めて、それと同じ行列を$I_{n}$にも掛けているから元々$I_{n}$のあった場所は$A_{n}^{-1}$になるということである。
例えば、
\[ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \] の逆行列は
\begin{align*} \left(A,I\right) & =\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\\ & \rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\\ & \rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \end{align*} となるので
\[ A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \] となる。

$2\times2$行列の逆行列

行列$A$を
\[ A=\left(\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array}\right) \] とすると、逆行列は
\[ A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc} d & -b\\ -c & a \end{array}\right) \] となる。

$3\times3$行列
\[ \left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{array}\right) \] の行列式を余因子展開を用いて求めてみる。
1行目で余因子展開すると、
\begin{align*} \det\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{array}\right) & =1\det\left(\begin{array}{cc} 5 & 6\\ 8 & 9 \end{array}\right)-2\det\left(\begin{array}{cc} 4 & 6\\ 7 & 9 \end{array}\right)+3\det\left(\begin{array}{cc} 4 & 5\\ 7 & 8 \end{array}\right)\\ & =1\cdot\left(-3\right)-2\cdot\left(-6\right)+3\cdot\left(-3\right)\\ & =-3+12-9\\ & =0 \end{align*} となる。
2行目で余因子展開すると、
\begin{align*} \det\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{array}\right) & =-4\det\left(\begin{array}{cc} 2 & 3\\ 8 & 9 \end{array}\right)+5\det\left(\begin{array}{cc} 1 & 3\\ 7 & 9 \end{array}\right)-6\det\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 7 & 8 \end{array}\right)\\ & =-4\cdot\left(-6\right)+5\cdot\left(-12\right)-6\cdot\left(-6\right)\\ & =24-60+36\\ & =0 \end{align*} となり同じ値になる。

(1)

\begin{align*} \det A & =\det\left(\begin{array}{ccccccc} a_{1,1} & \cdots & a_{1,j-1} & a_{1,j} & a_{1,j+1} & \cdots & a_{1,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{k-1,1} & \cdots & a_{k-1,j-1} & a_{k-1,j} & a_{k-1,j+1} & \cdots & a_{k-1,n}\\ a_{k,1} & \cdots & a_{k,j-1} & a_{k,j} & a_{k,j+1} & \cdots & a_{k,n}\\ a_{k+1,1} & \cdots & a_{k+1,j-1} & a_{k+1,j} & a_{k+1,j+1} & \cdots & a_{k+1,n}\\ \vdots & & & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n,,1} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j} & a_{n,j+1} & \cdots & a_{n,n} \end{array}\right)\\ & =\sum_{j=1}^{n}\det\left(\begin{array}{ccccccc} a_{1,1} & \cdots & a_{1,j-1} & a_{1,j} & a_{1,j+1} & \cdots & a_{1,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{k-1,1} & \cdots & a_{k-1,j-1} & a_{k-1,j} & a_{k-1,j+1} & \cdots & a_{k-1,n}\\ 0 & \cdots & 0 & a_{k,j} & 0 & \cdots & 0\\ a_{k+1,1} & \cdots & a_{k+1,j-1} & a_{k+1,j} & a_{k+1,j+1} & \cdots & a_{k+1,n}\\ \vdots & & & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n,,1} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j} & a_{n,j+1} & \cdots & a_{n,n} \end{array}\right)\\ & =\sum_{j=1}^{n}\left(-1\right)^{k}\det\left(\begin{array}{ccccccc} 0 & \cdots & 0 & a_{k,j} & 0 & \cdots & 0\\ a_{1,1} & \cdots & a_{1,j-1} & a_{1,j} & a_{1,j+1} & \cdots & a_{1,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{k-1,1} & \cdots & a_{k-1,j-1} & a_{k-1,j} & a_{k-1,j+1} & \cdots & a_{k-1,n}\\ a_{k+1,1} & \cdots & a_{k+1,j-1} & a_{k+1,j} & a_{k+1,j+1} & \cdots & a_{k+1,n}\\ \vdots & & & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n,,1} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j} & a_{n,j+1} & \cdots & a_{n,n} \end{array}\right)\\ & =\sum_{j=1}^{n}\left(-1\right)^{k+j}\det\left(\begin{array}{ccccccc} a_{k,j} & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0\\ a_{1,j} & a_{1,1} & \cdots & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & \cdots & a_{1,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{k-1,j} & a_{k-1,1} & \cdots & a_{k-1,j-1} & a_{k-1,j+1} & \cdots & a_{k-1,n}\\ a_{k+1,j} & a_{k+1,1} & \cdots & a_{k+1,j-1} & a_{k+1,j+1} & \cdots & a_{k+1,n}\\ \ddots & \vdots & & & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n,j} & a_{n,,1} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & \cdots & a_{n,n} \end{array}\right)\\ & =\sum_{j=1}^{n}\left(-1\right)^{k+j}a_{k,j}\det\left(\begin{array}{cccccc} a_{1,1} & \cdots & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & \cdots & a_{1,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{k-1,1} & \cdots & a_{k-1,j-1} & a_{k-1,j+1} & \cdots & a_{k-1,n}\\ a_{k+1,1} & \cdots & a_{k+1,j-1} & a_{k+1,j+1} & \cdots & a_{k+1,n}\\ \vdots & & & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n,,1} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & \cdots & a_{n,n} \end{array}\right)\\ & =\sum_{j=1}^{n}a_{k,j}\widetilde{a}_{k,j} \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(1)-2

行列式の定義
\[ \det A=\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn\left(\sigma\right)a_{1\sigma\left(1\right)}a_{2\sigma\left(2\right)}\cdots a_{n\sigma\left(n\right)} \] より、$k,j\in\left\{ 1,2,\cdots n\right\} $を１つ選ぶと$a_{kj}$の係数は
\begin{align*} \det\left(\begin{array}{ccccccc} a_{1,1} & \cdots & a_{1,j-1} & a_{1,j} & a_{1,j+1} & \cdots & a_{1,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{k-1,1} & \cdots & a_{k-1,j-1} & a_{k-1,j} & a_{k-1,j+1} & \cdots & a_{k-1,n}\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ a_{k+1,1} & \cdots & a_{k+1,j-1} & a_{k+1,j} & a_{k+1,j+1} & \cdots & a_{k+1,n}\\ \vdots & & & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n,,1} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j} & a_{n,j+1} & \cdots & a_{n,n} \end{array}\right) & =\left(-1\right)^{k}\det\left(\begin{array}{ccccccc} 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ a_{1,1} & \cdots & a_{1,j-1} & a_{1,j} & a_{1,j+1} & \cdots & a_{1,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{k-1,1} & \cdots & a_{k-1,j-1} & a_{k-1,j} & a_{k-1,j+1} & \cdots & a_{k-1,n}\\ a_{k+1,1} & \cdots & a_{k+1,j-1} & a_{k+1,j} & a_{k+1,j+1} & \cdots & a_{k+1,n}\\ \vdots & & & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n,,1} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j} & a_{n,j+1} & \cdots & a_{n,n} \end{array}\right)\\ & =\left(-1\right)^{k+j}\det\left(\begin{array}{ccccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ a_{1,j} & a_{1,1} & \cdots & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & \cdots & a_{1,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{k-1,j} & a_{k-1,1} & \cdots & a_{k-1,j-1} & a_{k-1,j+1} & \cdots & a_{k-1,n}\\ a_{k+1,j} & a_{k+1,1} & \cdots & a_{k+1,j-1} & a_{k+1,j+1} & \cdots & a_{k+1,n}\\ \ddots & \vdots & & & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n,j} & a_{n,,1} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & \cdots & a_{n,n} \end{array}\right)\\ & =\left(-1\right)^{k+j}\det\left(\begin{array}{cccccc} a_{1,1} & \cdots & a_{1,j-1} & a_{1,j+1} & \cdots & a_{1,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{k-1,1} & \cdots & a_{k-1,j-1} & a_{k-1,j+1} & \cdots & a_{k-1,n}\\ a_{k+1,1} & \cdots & a_{k+1,j-1} & a_{k+1,j+1} & \cdots & a_{k+1,n}\\ \vdots & & & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n,,1} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & \cdots & a_{n,n} \end{array}\right)\\ & =\left(-1\right)^{k+j}\widetilde{a}_{jk} \end{align*} となるので、
\[ \det A=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}\widetilde{a}_{ik} \] となり与式は成り立つ。

(2)

(1)より、
\[ \sum_{k=1}^{n}a_{ik}\widetilde{a}_{jk} \] は$A$の$j$行を$\left(a_{i,1},a_{i,2},\cdots,a_{i,n}\right)$にしたものとなるので、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{n}a_{ik}\widetilde{a}_{jk} & =\det\left(\begin{array}{cccc} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{j-1,1} & a_{j-1,2} & \cdots & a_{j-1,n}\\ a_{i,1} & a_{i,2} & \cdots & a_{i,n}\\ a_{j+1,1} & a_{j+1,2} & \cdots & a_{j+1,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n,,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \end{array}\right)\\ & =0 \end{align*} となる。
何故なら$i\ne j$なので$i$行目と$j$行目が同じになるからである。
2つ目の式、
\[ 0=\sum_{k=1}^{n}a_{ki}\widetilde{a}_{kj} \] についても行と列を入れ替えて考える、または転置をとればよい。
従って題意は成り立つ。

(3)

(1)より、
\begin{align*} \det A & =\sum_{k=1}^{n}a_{ik}\widetilde{a}_{ik}\\ & =\sum_{k=1}^{n}a_{ik}\left(\widetilde{a}_{ki}\right)^{T}\\ & =\sum_{k=1}^{n}\left(A\right)_{i,k}\left(\adj A\right)_{k,i}\\ & =A\adj A \end{align*} となるので、両辺に左から$\frac{1}{\det A}A^{-1}$を掛けて、
\[ A^{-1}=\frac{\mathrm{\adj}A}{\det A} \] となる。
従って題意は成り立つ。