連続と開基との関係

by nomura · 2024年6月24日

連続と開基との関係
位相空間$\left(X,\mathcal{O}_{X}\right)$から位相空間$\left(Y,\mathcal{O}_{Y}\right)$への写像$f:X\rightarrow Y$があるとき、$f$が連続であることと、$Y$の開基$\mathcal{B}_{Y}$の任意の元$B_{Y}$に対し$f^{\bullet}\left(B_{Y}\right)\in\mathcal{O}_{X}$となることは同値である。

$\Rightarrow$

$B_{Y}\in\mathcal{B}_{Y}\subseteq\mathcal{O}_{Y}$なので、任意の$B_{Y}\in\mathcal{B}_{Y}$に対し、ある$O_{Y}\in\mathcal{O}_{Y}$が存在し、$O_{Y}=B_{Y}$となるので、$f$が連続であるという条件より$f^{\bullet}\left(B_{Y}\right)=f^{\bullet}\left(O_{Y}\right)\in\mathcal{O}_{X}$となる。
故に$\Rightarrow$が成り立つ。

$\Leftarrow$

条件より、$\mathcal{B}_{Y}=\left\{ B_{Y,\lambda};\lambda\in\Lambda\right\} $とすると、任意の$B_{Y,\lambda}\in\mathcal{B}_{Y}$に対し、ある$O_{X,\lambda}\in\mathcal{O}_{X}$が存在し$f^{\bullet}\left(B_{Y,\lambda}\right)=O_{X,\lambda}$となる。
$\mathcal{B}_{Y}$は開基なので、任意の$\mathcal{O}_{Y}$の元$O_{Y}\in\mathcal{O}_{Y}$に対し、ある集合$\Lambda'$が存在し、$O_{Y}=\bigcup\left\{ B_{Y,\lambda};\lambda\in\Lambda'\right\} =\bigcup_{\lambda\in\Lambda'}B_{Y,\lambda}$となる。
これより、$f^{\bullet}\left(O_{Y}\right)=f^{\bullet}\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda'}B_{Y,\lambda}\right)=\bigcup_{\lambda\in\Lambda'}f^{\bullet}\left(B_{Y,\lambda}\right)=\bigcup_{\lambda\in\Lambda'}O_{X,\lambda}\in\mathcal{O}_{X}$となるので、$f$は連続となる。
故に$\Leftarrow$が成り立つ。