連続と開基との関係

連続と開基との関係
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}_{X}\right)\)から位相空間\(\left(Y,\mathcal{O}_{Y}\right)\)への写像\(f:X\rightarrow Y\)があるとき、\(f\)が連続であることと、\(Y\)の開基\(\mathcal{B}_{Y}\)の任意の元\(B_{Y}\)に対し\(f^{\bullet}\left(B_{Y}\right)\in\mathcal{O}_{X}\)となることは同値である。

\(\Rightarrow\)

\(B_{Y}\in\mathcal{B}_{Y}\subseteq\mathcal{O}_{Y}\)なので、任意の\(B_{Y}\in\mathcal{B}_{Y}\)に対し、ある\(O_{Y}\in\mathcal{O}_{Y}\)が存在し、\(O_{Y}=B_{Y}\)となるので、\(f\)が連続であるという条件より\(f^{\bullet}\left(B_{Y}\right)=f^{\bullet}\left(O_{Y}\right)\in\mathcal{O}_{X}\)となる。
故に\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

条件より、\(\mathcal{B}_{Y}=\left\{ B_{Y,\lambda};\lambda\in\Lambda\right\} \)とすると、任意の\(B_{Y,\lambda}\in\mathcal{B}_{Y}\)に対し、ある\(O_{X,\lambda}\in\mathcal{O}_{X}\)が存在し\(f^{\bullet}\left(B_{Y,\lambda}\right)=O_{X,\lambda}\)となる。
\(\mathcal{B}_{Y}\)は開基なので、任意の\(\mathcal{O}_{Y}\)の元\(O_{Y}\in\mathcal{O}_{Y}\)に対し、ある集合\(\Lambda'\)が存在し、\(O_{Y}=\bigcup\left\{ B_{Y,\lambda};\lambda\in\Lambda'\right\} =\bigcup_{\lambda\in\Lambda'}B_{Y,\lambda}\)となる。
これより、\(f^{\bullet}\left(O_{Y}\right)=f^{\bullet}\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda'}B_{Y,\lambda}\right)=\bigcup_{\lambda\in\Lambda'}f^{\bullet}\left(B_{Y,\lambda}\right)=\bigcup_{\lambda\in\Lambda'}O_{X,\lambda}\in\mathcal{O}_{X}\)となるので、\(f\)は連続となる。
故に\(\Leftarrow\)が成り立つ。