対角行列の性質
対角行列の性質
\(n\)次対角行列\(A,B\)を\(A=\diag\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)=\left(a_{i}\delta_{ij}\right),B=\diag\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right)=\left(b_{i}\delta_{ij}\right)\)とする。
すなわち、
\[ \diag\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)+\diag\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right)=\diag\left(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\cdots,a_{n}+b_{n}\right) \] となる。
すなわち、
\[ \diag\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\diag\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right)=\diag\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right)\diag\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right) \] \[ \diag\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\diag\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right)=\diag\left(a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\cdots,a_{n}b_{n}\right) \] となる。
\(n\)次対角行列\(A,B\)を\(A=\diag\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)=\left(a_{i}\delta_{ij}\right),B=\diag\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right)=\left(b_{i}\delta_{ij}\right)\)とする。
(1)
対角行列同士の和は対角行列になる。すなわち、
\[ \diag\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)+\diag\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right)=\diag\left(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\cdots,a_{n}+b_{n}\right) \] となる。
(2)
対角行列同士の積は可換であり、対角行列になる。すなわち、
\[ \diag\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\diag\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right)=\diag\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right)\diag\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right) \] \[ \diag\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\diag\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right)=\diag\left(a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\cdots,a_{n}b_{n}\right) \] となる。
その他次が成り立つ。
(1)
対角行列\(A\)の転置\(A^{T}\)は元の行列\(A\)に等しい、すなわち、\(A^{T}=A\)となる。(2)
対角行列\(A=\diag\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\)の行列式は\(\det A=\prod_{k=1}^{n}a_{k}\)となる。(3)
対角行列\(A=\diag\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\)の逆行列は\(\forall k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} ,a_{k}\ne0\)のとき存在し、\(A^{-1}=\diag\left(a_{1}^{-1},a_{2}^{-1},\cdots,a_{n}^{-1}\right)\)となる。(4)
対角行列\(A=\diag\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\)の固有値は対角成分\(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\)になる。(1)
\begin{align*} \left(A+B\right)_{i,j} & =\left(\diag\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)+\diag\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right)\right)_{i,j}\\ & =\left(a_{i}\delta_{ij}\right)+\left(b_{i}\delta_{ij}\right)\\ & =\left(a_{i}\delta_{ij}+b_{i}\delta_{ij}\right)\\ & =\left(\diag\left(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\cdots,a_{n}+b_{n}\right)\right)_{i,j} \end{align*} となるので題意は成り立つ。(2)
\begin{align*} \left(AB\right)_{i,j} & =\left(\diag\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\diag\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right)\right)_{i,j}\\ & =\left(\sum_{k=1}^{n}a_{i}\delta_{ik}b_{j}\delta_{kj}\right)\\ & =\left(a_{i}b_{j}\delta_{ij}\right)\\ & =\left(\diag\left(a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\cdots,a_{n}b_{n}\right)\right)_{i,j} \end{align*} となるので対角行列同士の積は対角行列になる。また、
\begin{align*} AB & =\diag\left(a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\cdots,a_{n}b_{n}\right)\\ & =\diag\left(b_{1}a_{1},b_{2}a_{2},\cdots,b_{b}a_{n}\right)\\ & =BA \end{align*} となるので対角行列同士の積は可換である。
これらより、題意は成り立つ。
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\[
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\]
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\[
A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}
\]