(1)

\begin{align*} \tr\left(aA\right) & =\sum_{k=1}^{n}\left(aA\right)_{k,k}\\ & =a\sum_{k=1}^{n}\left(A\right)_{k,k}\\ & =a\tr\left(A\right) \end{align*}

(2)

\begin{align*} \tr\left(A+B\right) & =\sum_{k=1}^{n}\left(A+B\right)_{k,k}\\ & =\sum_{k=1}^{n}\left(\left(A\right)_{k,k}+\left(B\right)_{k,k}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{n}\left(A\right)_{k,k}+\sum_{k=1}^{n}\left(B\right)_{k,k}\\ & =\tr\left(A\right)+\tr\left(B\right) \end{align*}

(3)

\begin{align*} \tr\left(A^{T}\right) & =\tr\left(A^{T}\right)_{k,k}\\ & =\tr\left(A\right)_{k,k}\\ & =\tr\left(A\right) \end{align*}

(4)

\begin{align*} \tr\left(\overline{A}\right) & =\sum_{k=1}^{n}\left(\overline{A}\right)_{k,k}\\ & =\sum_{k=1}^{n}\overline{\left(A\right)_{k,k}}\\ & =\overline{\sum_{k=1}^{n}\left(A\right)_{k,k}}\\ & =\overline{\tr\left(A\right)} \end{align*}

(5)

\begin{align*} \tr\left(A^{*}\right) & =\tr\left(\overline{A^{T}}\right)\\ & =\overline{\tr\left(A^{T}\right)}\\ & =\overline{\tr\left(A\right)} \end{align*}

(6)

\begin{align*} \tr\left(AB\right) & =\sum_{k=1}^{m}\left(AB\right)_{k,k}\\ & =\sum_{k=1}^{m}\sum_{l=1}^{n}\left(A\right)_{k,l}\left(B\right)_{l.k}\\ & =\sum_{l=1}^{n}\sum_{k=1}^{m}\left(B\right)_{l.k}\left(A\right)_{k,l}\\ & =\sum_{l=1}^{n}\left(BA\right)_{l.l}\\ & =\tr\left(BA\right) \end{align*}

(7)

\begin{align*} \tr\left(ABC\right) & =\tr\left(A\left(BC\right)\right)\\ & =\tr\left(\left(BC\right)A\right)\\ & =\tr\left(BCA\right) \end{align*} \begin{align*} \tr\left(ABC\right) & =\tr\left(\left(AB\right)C\right)\\ & =\tr\left(C\left(AB\right)\right)\\ & =\tr\left(CAB\right) \end{align*}

(8)

\(A,B\)が相似\(A\sim B\)なのである正則行列\(P\)が存在し\(B=P^{-1}AP\)となる。
\begin{align*} \tr\left(B\right) & =\tr\left(P^{-1}AP\right)\\ & =\tr\left(APP^{-1}\right)\\ & =\tr\left(A\right) \end{align*}

(9)

\begin{align*} \tr\left(\prod_{k=1}^{n}A_{k}\right) & =\tr\left(\left(\prod_{k=1}^{m}A_{k}\right)\left(\prod_{k=m+1}^{n}A_{k}\right)\right)\\ & =\tr\left(\left(\prod_{k=m+1}^{n}A_{k}\right)\left(\prod_{k=1}^{m}A_{k}\right)\right)\cmt{\tr\left(AB\right)=\tr\left(BA\right)} \end{align*}

(10)

\begin{align*} \tr\left(\prod_{k=1}^{n}S_{k}\right) & =\tr\left(\left(\prod_{k=1}^{n}S_{k}\right)^{T}\right)\\ & =\tr\left(\prod_{k=1}^{n}S_{n+1-k}^{T}\right)\\ & =\tr\left(\prod_{k=1}^{n}S_{n+1-k}\right) \end{align*}

(11)

\(A\)はあるユニタリ行列\(U\)で上3角化ができるので、3角化行列を\(B=U^{-1}AU\)とする。
また、上3角行列の対角成分は固有値なのを使うと、
\begin{align*} \tr\left(A\right) & =\tr\left(UBU^{-1}\right)\\ & =\tr\left(U^{-1}UB\right)\\ & =\tr\left(B\right)\\ & =\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k} \end{align*} となり与式は成り立つ。

(12)

\begin{align*} \tr\left(I_{n}\right) & =\sum_{k=1}^{n}\delta_{kk}\\ & =n \end{align*}

(13)

\begin{align*} \tr\left(ST\right) & =\tr\left(\left(ST\right)^{T}\right)\\ & =\tr\left(T^{T}S^{T}\right)\\ & =\tr\left(-TS\right)\\ & =-\tr\left(ST\right) \end{align*} となるので\(2\tr\left(ST\right)=0\)となり\(\tr\left(ST\right)=0\)となる。
また、\(\tr\left(ST\right)=\tr\left(TS\right)\)なので、\(\tr\left(TS\right)=0\)となる。
従って題意は成り立つ。

(14)

べき零行列の固有値は0のみでトレースは全ての固有値の和なので
\[ \tr\left(A\right)=0 \] となる。
また、任意の\(m\in\mathbb{N}\)に対し\(A^{m}\)もべき零行列になるので、
\[ \tr\left(A^{m}\right)=0 \] が成り立つ。

(15)

\(A\)はべき等行列なので正規行列であり、ユニタリ行列\(U\)で対角化ができるので対角行列を\(B=U^{-1}AU\)とする。
\(A\)はべき等行列なので、\(B^{2}=\left(U^{-1}AU\right)^{2}=U^{-1}A^{2}U=U^{-1}AU=B\)となり、\(B^{2}-B=O\)となる。
\(B\)の固有値を\(b\)とすると\(b^{2}-b=0\)となるので\(b\left(b-1\right)=0\)より\(b=0,1\)となる。
ここで、\(B\)は対角行列より3角行列でもあるので対角成分は固有値になり、階数は対角上にある1の個数と等しく、\(\tr\left(B\right)=\rank\left(B\right)\)となる。
また\(A,B\)は相似なので\(\tr\left(A\right)=\tr\left(B\right),\rank\left(A\right)=\rank\left(B\right)\)であるので、\(\tr\left(A\right)=\tr\left(B\right)=\rank\left(B\right)=\rank\left(A\right)\)となる。
従って与式は成り立つ。

(16)

\(A\sim B\)より、\(A\)と\(B\)の固有値は一致し、トレースは固有値の和なのでトレースも一致する。
従って\(A\sim B\)のとき\(\tr\left(A\right)=\tr\left(B\right)\)は成り立つ。

(17)

\begin{align*} \Im\left(\tr\left(H\right)\right) & =\frac{1}{2}\left(\tr\left(H\right)-\overline{\tr\left(H\right)}\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\tr\left(H\right)-\tr\left(\overline{H}\right)\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\tr\left(H\right)-\tr\left(\overline{H}^{T}\right)\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\tr\left(H\right)-\tr\left(H^{*}\right)\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\tr\left(H\right)-\tr\left(H\right)\right)\\ & =0 \end{align*}

(18)

\(\Rightarrow\)

\(A\)は\(n\)次正方行列として列ベクトルを使うと\(A=\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)\)となるので、
\begin{align*} 0 & =\tr\left(A^{*}A\right)\\ & =\tr\left(\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)^{*}\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)\right)\\ & =\sum_{k=1}^{n}\overline{\boldsymbol{a}_{k}}\boldsymbol{a}_{k}\\ & =\sum_{k=1}^{n}\left|\boldsymbol{a}_{k}\right|^{2} \end{align*} となり、これが成り立つには、\(\forall k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} ,\boldsymbol{a}_{k}=\boldsymbol{0}\)となり、\(A=\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)=\left(\boldsymbol{0},\boldsymbol{0},\cdots,\boldsymbol{0}\right)=O\)となる。
従って、\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\(A=O\)のとき、
\begin{align*} \tr\left(A^{*}A\right) & =\tr\left(O^{*}O\right)\\ & =\tr\left(O\right)\\ & =0 \end{align*} となるので\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。