逆数・複素共役の偏角と対数
逆数・複素共役の偏角と対数
\(\delta_{ij}\)はクロネッカーのデルタ
(1)
\[ \Arg z^{-1}=-\Arg z+2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)} \](2)
\[ \Log z^{-1}=-\Log z+2\pi i\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)} \](3)
\[ \Arg\overline{z}=-\Arg z+2\pi\delta_{\pi,\Arg z} \](4)
\[ \Log\overline{z}=\ln\left|z\right|-\Arg z+2\pi\delta_{\pi,\Arg z} \](5)
\[ \Arg z^{-1}=\Arg\overline{z} \](6)
\[ e^{-i\Arg\left(z\right)}=e^{i\Arg\left(z^{-1}\right)} \](7)
\[ e^{-i\Arg\left(z\right)}=e^{i\Arg\left(\overline{z}\right)} \]-
\(\overline{z}\)は複素共役\(\delta_{ij}\)はクロネッカーのデルタ
(1)
\begin{align*} \Arg z^{-1} & =\Arg\left(\left|z\right|e^{i\Arg z}\right)^{-1}\\ & =\Arg e^{-i\Arg z}\\ & =\mod\left(-\Arg z,-2\pi,\pi\right)\\ & =-\mod\left(\Arg z+2\pi,-2\pi,\pi\right)-2\pi\left|\sgn\left\{ \mod\left(\Arg z+2\pi,-2\pi,\pi\right)-\pi\right\} \right|+2\pi\\ & =-\Arg z-2\pi\left|\sgn\left(\Arg z-\pi\right)\right|+2\pi\\ & =-\Arg z+2\pi\left(1-\left|\sgn\left(\Arg z-\pi\right)\right|\right)\\ & =-\Arg z+2\pi\delta_{\pi,\Arg z} \end{align*}(1)-2
\begin{align*} \Arg z^{-1} & =\Arg\left(\left|z\right|e^{i\Arg z}\right)^{-1}\\ & =\Arg e^{-i\Arg z}\\ & =-\Arg e^{i\Arg z}+2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)}\\ & =-\Arg\left(\left|z\right|e^{i\Arg z}\right)+2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)}\\ & =-\Arg z+2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)} \end{align*}(2)
\begin{align*} \Log z^{-1} & =\ln\left|z^{-1}\right|+i\Arg\left(z^{-1}\right)\\ & =-\ln\left|z\right|+i\Arg\left(z^{-1}\right)\\ & =-\ln\left|z\right|+i\left(-\Arg z+2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)}\right)\\ & =-\left(\ln\left|z\right|+i\Arg z\right)+2\pi i\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)}\\ & =-\Log z+2\pi i\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)} \end{align*}(3)
\begin{align*} \Arg\overline{z} & =\Arg\frac{\left|z\right|^{2}}{z}\\ & =\Arg\frac{1}{z}\\ & =-\Arg z+2\pi\delta_{\pi,\Arg z} \end{align*}(4)
\begin{align*} \Log\overline{z} & =\ln\left|\overline{z}\right|+\Arg\overline{z}\\ & =\ln\left|z\right|-\Arg z+2\pi\delta_{\pi,\Arg z} \end{align*}(5)
\begin{align*} \Arg z^{-1} & =-\Arg z+2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)}\\ & =\Arg\overline{z} \end{align*}(5)-2
\begin{align*} \Arg z^{-1} & =\frac{z^{-1}}{\left|z^{-1}\right|}\\ & =\frac{z^{-1}}{\left|z\right|^{-1}}\\ & =\frac{\left|z\right|}{z}\\ & =\frac{\left|z\right|\overline{z}}{z\overline{z}}\\ & =\frac{\left|z\right|\overline{z}}{\left|z\right|^{2}}\\ & =\frac{\overline{z}}{\left|z\right|}\\ & =\Arg\overline{z} \end{align*}(6)
\begin{align*} e^{-i\Arg\left(z\right)} & =e^{i\left(\Arg z^{-1}-2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)}\right)}\cmt{\because\Arg z^{-1}=-\Arg z+2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)}}\\ & =e^{i\Arg z^{-1}}e^{-i2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)}}\\ & =e^{i\Arg\left(z^{-1}\right)} \end{align*}(7)
\begin{align*} e^{-i\Arg\left(z\right)} & =e^{i\left(\Arg\overline{z}-2\pi\delta_{\pi,\Arg z}\right)}\cmt{\because\Arg\overline{z}=-\Arg z+2\pi\delta_{\pi,\Arg z}}\\ & =e^{i\Arg\left(\overline{z}\right)}e^{-i2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)}}\\ & =e^{i\Arg\left(\overline{z}\right)} \end{align*}(7)-2
\begin{align*} e^{-i\Arg\left(z\right)} & =e^{i\Arg\left(z^{-1}\right)}\\ & =e^{i\Arg\left(\overline{z}\right)}\cmt{\because\Arg z^{-1}=\Arg\overline{z}} \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 逆数・複素共役の偏角と対数 |
| URL | https://www.nomuramath.com/u4tmxvjg/ |
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0の極限のべき乗と0の極限乗
\[
\lim_{z\rightarrow0}z^{\alpha}=\begin{cases}
0 & 0<\Re\left(\alpha\right)\\
1 & \alpha=0\\
\text{発散} & \Re\left(\alpha\right)<0\lor\left(\Re\left(\alpha\right)=0\land\Im\left(\alpha\right)\ne0\right)
\end{cases}
\]
積が非負実数のべき乗
\[
\left(\Arg\left(\alpha\right)\ne\pi\lor\Arg\left(\beta\right)\ne\pi\right)\land0\leq a\beta\rightarrow\left(\alpha\beta\right)^{\gamma}=\alpha^{\gamma}\beta^{\gamma}
\]
指数関数の実部と虚部
\[
\left|\alpha^{\beta}\right|=\left|\alpha\right|^{\Re\left(\beta\right)}e^{-\Im\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)}
\]
対数の指数exp(Log(z))と指数の対数Log(exp(z))の違い
\[
\Re\left(z\right)+i\mod\left(\Im\left(z\right),-2\pi,\pi\right)=\Log\left(\exp\left(z\right)\right)
\]