逆数の偏角と対数
逆数の偏角と対数
(1)
\[ \Arg z^{-1}=-\Arg z+2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)} \](2)
\[ \Log z^{-1}=-\Log z+2\pi i\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)} \]-
\(\delta_{ij}\)はクロネッカーのデルタ(1)
\begin{align*} \Arg z^{-1} & =\Arg\left(\left|z\right|e^{i\Arg z}\right)^{-1}\\ & =\Arg e^{-i\Arg z}\\ & =\mod\left(-\Arg z,-2\pi,\pi\right)\\ & =-\mod\left(\Arg z+2\pi,-2\pi,\pi\right)-2\pi\left|\sgn\left\{ \mod\left(\Arg z+2\pi,-2\pi,\pi\right)-\pi\right\} \right|+2\pi\\ & =-\Arg z-2\pi\left|\sgn\left(\Arg z-\pi\right)\right|+2\pi\\ & =-\Arg z+2\pi\left(1-\left|\sgn\left(\Arg z-\pi\right)\right|\right)\\ & =-\Arg z+2\pi\delta_{\pi,\Arg z} \end{align*}(1)-2
\begin{align*} \Arg z^{-1} & =\Arg\left(\left|z\right|e^{i\Arg z}\right)^{-1}\\ & =\Arg e^{-i\Arg z}\\ & =-\Arg e^{i\Arg z}+2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)}\\ & =-\Arg\left(\left|z\right|e^{i\Arg z}\right)+2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)}\\ & =-\Arg z+2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)} \end{align*}(2)
\begin{align*} \Log z^{-1} & =\ln\left|z^{-1}\right|+i\Arg\left(z^{-1}\right)\\ & =-\ln\left|z\right|+i\Arg\left(z^{-1}\right)\\ & =-\ln\left|z\right|+i\left(-\Arg z+2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)}\right)\\ & =-\left(\ln\left|z\right|+i\Arg z\right)+2\pi i\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)}\\ & =-\Log z+2\pi i\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)} \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 逆数の偏角と対数 |
| URL | https://www.nomuramath.com/u4tmxvjg/ |
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冪乗の対数
\[
\Log\alpha^{\beta}=\Re\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|-\Im\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)+\mod\left(\Re\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)+\Im\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|,-2\pi,\pi\right)
\]
絶対値の冪乗
\[
\left(\left|\alpha\right|\beta\right)^{\gamma}=\left|\alpha\right|^{\gamma}\beta^{\gamma}
\]
偏角・対数と絶対値
\[
\Log\left(\left|\alpha\right|\beta\right)=\ln\left|\alpha\right|+\Log\beta
\]
符号関数の偏角・対数
\[
\Log\sgn\alpha=i\Arg\alpha
\]