固有方程式・固有値・固有ベクトルと固有空間

by nomura · 2025年12月18日

固有方程式・固有値・固有ベクトルと固有空間
体$K$上に$n$次正方行列$A$があるとき、
\[ A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x} \] を満たす非自明な$\boldsymbol{x}\in K^{n}\setminus\left\{ \boldsymbol{0}\right\} $を固有ベクトルといい、$\lambda\in K$を固有値という。
$\lambda$が$A$の固有値であることと、$\det\left(\lambda I-A\right)=0$となることは同値である。
この固有多項式が0になる方程式を固有方程式という。
また、固有値$\lambda$に対応する固有ベクトル全体の集合に$\boldsymbol{0}$を加えた$V$の部分集合を$W\left(\lambda\right)$とすると、
\begin{align*} W\left(\lambda\right) & =\left\{ \boldsymbol{x}\in V;A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}\right\} \\ & =\left\{ \boldsymbol{x}\in V;\left(A-\lambda I\right)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\right\} \\ & =\ker\left(A-\lambda I\right) \end{align*} となり、$W\left(\lambda\right)$は$V$の部分空間となる。
$W\left(\lambda\right)$を固有値$\lambda$に対する$A$の固有空間という。

(1)

$\mathbb{C}$上で$A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{array}\right)$の固有値と固有ベクトルを求める。
固有方程式より、
\begin{align*} 0 & =\det\left(\lambda I-A\right)\\ & =\det\left(\lambda\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{array}\right)\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{cc} \lambda-1 & -1\\ -1 & \lambda-1 \end{array}\right)\\ & =\left(\lambda-1\right)^{2}-\left(-1\right)^{2}\\ & =\lambda^{2}-2\lambda\\ & =\lambda\left(\lambda-2\right) \end{align*} となるので固有値は$\lambda=0,2$となる。
$\lambda=0$のときの固有ベクトルは、$A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$より、
\begin{align*} \boldsymbol{0} & =\left(0I-A\right)\boldsymbol{x}\\ & =\left(\begin{array}{cc} -1 & -1\\ 1 & 1 \end{array}\right)\boldsymbol{x} \end{align*} となり拡大係数行列は
\begin{align*} \left(\begin{array}{cc|c} -1 & -1 & 0\\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right) & \rightarrow\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{align*} となるので、固有ベクトルは$c\in\mathbb{C}\setminus\left\{ 0\right\} $として、
\[ \boldsymbol{x}=c\left(\begin{array}{c} 1\\ -1 \end{array}\right) \] となる。
$\lambda=2$のときの固有ベクトルは、$A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$より、
\begin{align*} \boldsymbol{0} & =\left(2I-A\right)\boldsymbol{x}\\ & =\left(\begin{array}{cc} 2-1 & -1\\ -1 & 2-1 \end{array}\right)\boldsymbol{x}\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & -1\\ -1 & 1 \end{array}\right)\boldsymbol{x} \end{align*} となり拡大係数行列は
\begin{align*} \left(\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 0\\ -1 & 1 & 0 \end{array}\right) & \rightarrow\left(\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{align*} となるので、固有ベクトルは$c\in\mathbb{C}\setminus\left\{ 0\right\} $として、
\[ \boldsymbol{x}=c\left(\begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array}\right) \] となる。

(2)

$\mathbb{C}$上で$A=\left(\begin{array}{cc} 4 & 3\\ -2 & -1 \end{array}\right)$の固有値と固有ベクトルを求める。
固有方程式より、
\begin{align*} 0 & =\det\left(\lambda I-A\right)\\ & =\det\left(\lambda\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} 4 & 3\\ -2 & -1 \end{array}\right)\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{cc} \lambda-4 & -3\\ 2 & \lambda+1 \end{array}\right)\\ & =\left(\lambda-4\right)\left(\lambda+1\right)-\left(-3\right)2\\ & =\lambda^{2}-3\lambda+2\\ & =\left(\lambda-1\right)\left(\lambda-2\right) \end{align*} となるので固有値は$\lambda=1,2$となる。
$\lambda=1$のときの固有ベクトルは、$A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$より、
\begin{align*} \boldsymbol{0} & =\left(I-A\right)\boldsymbol{x}\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1-4 & -3\\ 2 & 1-\left(-1\right) \end{array}\right)\boldsymbol{x}\\ & =\left(\begin{array}{cc} -3 & -3\\ 2 & 2 \end{array}\right)\boldsymbol{x} \end{align*} となり拡大係数行列は
\[ \left(\begin{array}{cc|c} -3 & -3 & 0\\ 2 & 2 & 0 \end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \] となるので、固有ベクトルは$c\in\mathbb{C}\setminus\left\{ 0\right\} $として、
\[ \boldsymbol{x}=c\left(\begin{array}{c} 1\\ -1 \end{array}\right) \] となる。
$\lambda=2$のときの固有ベクトルは、$A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$より、
\begin{align*} \boldsymbol{0} & =\left(2I-A\right)\boldsymbol{x}\\ & =\left(\begin{array}{cc} 2-4 & -3\\ 2 & 2-\left(-1\right) \end{array}\right)\boldsymbol{x}\\ & =\left(\begin{array}{cc} -2 & -3\\ 2 & 3 \end{array}\right)\boldsymbol{x} \end{align*} となり拡大係数行列は
\begin{align*} \left(\begin{array}{cc|c} -2 & -3 & 0\\ 2 & 3 & 0 \end{array}\right) & \rightarrow\left(\begin{array}{cc|c} 2 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\\ & \rightarrow\left(\begin{array}{cc|c} \frac{2}{\sqrt{13}} & \frac{3}{\sqrt{13}} & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{align*} となるので、固有ベクトルは$c\in\mathbb{C}\setminus\left\{ 0\right\} $として、
\[ \boldsymbol{x}=c\left(\begin{array}{c} \frac{3}{\sqrt{13}}\\ -\frac{2}{\sqrt{13}} \end{array}\right) \] となる。

(3)

$\mathbb{C}$上で$A=\left(\begin{array}{cc} 2 & 1\\ 0 & 2 \end{array}\right)$の固有値と固有ベクトルを求める。
\begin{align*} 0 & =\det\left(\lambda I-A\right)\\ & =\det\left(\lambda\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} 2 & 1\\ 0 & 2 \end{array}\right)\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{cc} \lambda-2 & -1\\ 0 & \lambda-2 \end{array}\right)\\ & =\left(\lambda-2\right)\left(\lambda-2\right)-\left(-1\right)0\\ & =\left(\lambda-2\right)^{2} \end{align*} となるので固有値は$\lambda=2$となる。
$\lambda=2$のときの固有ベクトルは、$A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$より、
\begin{align*} \boldsymbol{0} & =\left(2I-A\right)\boldsymbol{x}\\ & =\left(\begin{array}{cc} 2-2 & -1\\ 0 & 2-2 \end{array}\right)\boldsymbol{x}\\ & =\left(\begin{array}{cc} 0 & -1\\ 0 & 0 \end{array}\right)\boldsymbol{x} \end{align*} となり拡大係数行列は
\[ \left(\begin{array}{cc|c} 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{cc|c} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \] となるので、固有ベクトルは$c\in\mathbb{C}\setminus\left\{ 0\right\} $として、
\[ \boldsymbol{x}=c\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right) \] となる。

-

$\lambda$が$A$の固有値であることと、$\det\left(\lambda I-A\right)=0$となることは同値であることを証明する。
\begin{align*} \lambda\text{が}A\text{の固有値} & \Leftrightarrow\exists\boldsymbol{x}\in K^{n}\setminus\left\{ \boldsymbol{0}\right\} ,A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}\\ & \Leftrightarrow\exists\boldsymbol{x}\in K^{n}\setminus\left\{ \boldsymbol{0}\right\} ,\left(\lambda I-A\right)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\\ & \Leftrightarrow\left(\lambda I-A\right)\text{は正則行列ではない}\\ & \Leftrightarrow\det\left(\lambda I-A\right)=0 \end{align*} となるので題意は成り立つ。

$W\left(\lambda\right)$は$V$の部分空間になる

$W\left(\lambda\right)$は$V$の部分空間になることの証明
$W\left(\lambda\right)=\ker\left(\lambda I-A\right)$であり、ベクトル空間の核は$V$の部分空間になるので$W\left(\lambda\right)$は$V$の部分空間になる

別証明

直接証明する。
$W\left(\lambda\right)$の定義より明らかに$\boldsymbol{0}\in W\left(\lambda\right)$となる。
$\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in W\left(\lambda\right)$とすると、$A\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right)=A\boldsymbol{x}+A\boldsymbol{y}=\lambda\boldsymbol{x}+\lambda\boldsymbol{y}=\lambda\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right)$となるので、$\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\in W\left(\lambda\right)$となる。
$c\in K,\boldsymbol{x}\in W\left(\lambda\right)$とすると$A\left(c\boldsymbol{x}\right)=cA\left(\boldsymbol{x}\right)=c\lambda\boldsymbol{x}=\lambda\left(c\boldsymbol{x}\right)$となるので$c\boldsymbol{x}\in W\left(\lambda\right)$となる。
これらより、$W\left(\lambda\right)$は$V$の部分空間になる。