行列の簡約化と階数(ランク)の定義
行列の簡約化と階数(ランク)の定義
行列を簡約化した行列は一意的である。
どれも同値な定義である。
(1)行列の簡約化
行列があるとき、行基本変形をして簡約行列にすることを行列の簡約化という。行列を簡約化した行列は一意的である。
(2)行列の階数(ランク)の定義
行列の階数(ランク)は次で定義される。どれも同値な定義である。
(a)
行列を行基本変形をして簡約行列にしたときの主成分の個数(b)
列ベクトルの1次独立なベクトルの最大個数(c)
行ベクトルの1次独立なベクトルの最大個数(d)
線形写像での表現行列の像空間の次元(e)
行列の0でない小行列式の最大サイズ(f)
行列の特異値の数(1)
行列を簡約化すると次のようになる。\[ \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 2 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 10 \end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right) \] \[ \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 4 & 8\\ 1 & 3 & 9 & 27\\ 1 & 4 & 16 & 64 \end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 24\\ 0 & 1 & 0 & -26\\ 0 & 0 & 1 & 9 \end{array}\right) \]
(2)
行列の階数は次のようになる。\[ \rank\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)=2 \] \[ \rank\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)=3 \] \begin{align*} \rank\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 2 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 10 \end{array}\right) & =\rank\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right)\\ & =3 \end{align*} \begin{align*} \rank\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 4 & 8\\ 1 & 3 & 9 & 27\\ 1 & 4 & 16 & 64 \end{array}\right) & =\rank\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 24\\ 0 & 1 & 0 & -26\\ 0 & 0 & 1 & 9 \end{array}\right)\\ & =3 \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 行列の簡約化と階数(ランク)の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/t47ixy3l/ |
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主成分・階段行列・簡約行列の定義
\[
\left(\begin{array}{cccc}
1 & 2 & 0 & 2\\
0 & 0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
\]
クラメルの公式
\[
x_{i}=\frac{\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{i-1},\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}_{i+1},\cdots\boldsymbol{a}_{n}\right)}{\det\left(A\right)}
\]
行基本変形・列基本変形と基本行列
\[
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}
a & b & c & d\\
e & f & g & h\\
i & j & k & l
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
a & b & c & d\\
i & j & k & l\\
e & f & g & h
\end{array}\right)
\]
余因子行列の性質
\[
\adj\left(AB\right)=\adj\left(B\right)\adj\left(A\right)
\]