(1)

\(\Rightarrow\)

\(A\)がべき等行列のとき、
\begin{align*} \left(I-A\right)^{2} & =I^{2}-2A+A^{2}\\ & =I-2A+A\\ & =I-A \end{align*} となるので\(I-A\)もべき等行列となる。

\(\Leftarrow\)

\(\Rightarrow\)より、\(I-A\)がべき等行列であるとき、\(I-\left(I-A\right)=A\)もべき等行列となるので\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(2)

\begin{align*} A\left(I-A\right) & =A-A^{2}\\ & =A-A\\ & =O \end{align*} \begin{align*} \left(I-A\right)A & =A-A^{2}\\ & =A-A\\ & =O \end{align*} 従って与式は成り立つ。

(3)

\(\Rightarrow\)

\begin{align*} \left(\det\left(A\right)\right)^{2} & =\det\left(A^{2}\right)\\ & =\det\left(A\right) \end{align*} となるので移項すると
\begin{align*} 0 & =\left(\det\left(A\right)\right)^{2}-\det\left(A\right)\\ & =\left(\det\left(A\right)-1\right)\det\left(A\right) \end{align*} となるので、\(\det\left(A\right)\)は0または1となる。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す
\[ A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right) \] の固有値\(\lambda\)は\(\det(\lambda I-A)=0\)より、\(\lambda=1\)となるが、
\[ A^{2}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{array}\right)\ne A \] なのでべき等行列ではない。
従って逆は一般的に成り立たない。

(4)

\(\Rightarrow\)

べき等行列\(A\)を\(n\)次正方行列とする。
べき等行列\(A\)は正規行列であるので、あるユニタリ行列\(U\)が存在し、対角化\(B=U^{-1}AU\)ができる。
このとき、\(B\)は対角行列で、対角行列の対角成分は固有値\(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\)であるので、\(B=\diag\)\(\left(\lambda_{1},\lambda_{2,}\cdots,\lambda_{n}\right)\)と表され、条件より\(A\)の行列式は1なので、
\begin{align*} 1 & =\det\left(A\right)\\ & =\det\left(UBU^{-1}\right)\\ & =\det\left(U\right)\det\left(B\right)\det\left(U^{-1}\right)\\ & =\det\left(B\right)\\ & =\det\left(\diag\left(\lambda_{1},\lambda_{2,}\cdots,\lambda_{n}\right)\right)\\ & =\prod_{k=1}^{n}\lambda_{k} \end{align*} となる。
べき等行列の固有値は0または1より、これが成り立つには全ての固有値は1でなければいけないので\(B=\diag\left(1,1,\cdots,1\right)=I\)となり単位行列となる。
従って、
\begin{align*} A & =UBU^{-1}\\ & =UIU^{-1}\\ & =UU^{-1}\\ & =I \end{align*} となり、\(A\)は単位行列になるので\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

単位行列であればべき等行列で行列式が1であるので明らかに\(\Leftarrow\)は成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(5)

単位行列でないべき等行列\(A\)が正則であると仮定する。
べき等行列なので\(A^{2}=A\)となり、両辺に右から\(A^{-1}\)を掛けると、\(A^{2}A^{-1}=AA^{-1}\)となるので\(A=I\)となるが\(A\)は単位行列でないので矛盾。
従って、仮定が間違いで単位行列でないべき等行列は正則でない。
故に題意は成り立つ。

(6)

体\(K\)上で\(A\)を\(n\)次べき等行列とする。
\(A\)はべき等行列なので固有値は0または1となり、\(\boldsymbol{x}=\left(\boldsymbol{x}-A\boldsymbol{x}\right)+A\boldsymbol{x}\)なので、固有値0の固有空間\(W\left(0\right)\)は
\begin{align*} W\left(0\right) & =\left\{ \boldsymbol{x};\boldsymbol{x}\in K^{n},-A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\right\} \\ & =\left\{ \left(\boldsymbol{x}-A\boldsymbol{x}\right)+A\boldsymbol{x};\boldsymbol{x}\in K^{n},-A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\right\} \\ & =\left\{ \boldsymbol{x}-A\boldsymbol{x};\boldsymbol{x}\in K^{n},A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\right\} \\ & =\left\{ \boldsymbol{x}-A\boldsymbol{x};\boldsymbol{x}\in K^{n}\right\} \cmt{\because\left[A\boldsymbol{x}\right]_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x}-A\boldsymbol{x}}=A\left(\boldsymbol{x}-A\boldsymbol{x}\right)=A\boldsymbol{x}-A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}} \end{align*} となり、固有値1の固有空間\(W\left(1\right)\)は
\begin{align*} W\left(1\right) & =\left\{ \boldsymbol{x};\boldsymbol{x}\in K^{n},\boldsymbol{x}-A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\right\} \\ & =\left\{ \left(\boldsymbol{x}-A\boldsymbol{x}\right)+A\boldsymbol{x};\boldsymbol{x}\in K^{n},\boldsymbol{x}-A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\right\} \\ & =\left\{ A\boldsymbol{x};\boldsymbol{x}\in K^{n},\boldsymbol{x}-A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\right\} \\ & =\left\{ A\boldsymbol{x};\boldsymbol{x}\in K^{n}\right\} \cmt{\because\left[x-A\boldsymbol{x}\right]_{\boldsymbol{x}\rightarrow A\boldsymbol{x}}=\left(A\boldsymbol{x}\right)-A\left(A\boldsymbol{x}\right)=A\boldsymbol{x}-Ax=\boldsymbol{0}} \end{align*} となる。
また、異なる固有値の固有ベクトルは1次独立なので\(W\left(0\right)\cap W\left(1\right)=\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)となり、\(\boldsymbol{x}=\left(\boldsymbol{x}-A\boldsymbol{x}\right)+A\boldsymbol{x}=W\left(0\right)\sqcup W\left(1\right)\)となる。
これより、\(\dim\left(W\left(0\right)\right)+\dim\left(W\left(1\right)\right)=n\)となるので対角化が可能である。
故に題意は成り立つ。

(7)

\(\Rightarrow\)

正規行列と対角化可能なのは同値であり、べき等行列は対角化可能なので、べき等行列は正規行列となる。
故に\(\Rightarrow\)は成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(A=2I\)とする。
このとき、\(A^{*}=2I=A\)であり、\(A^{*}A=A^{2}=AA^{*}\)となるので正規行列であるが、\(A^{2}=4I\ne2I=A\)なのでべき等行列ではない。
従って逆は一般的に成り立たない。

(8)

べき零行列なのである自然数\(m\in\mathbb{N}\)が存在し\(A^{m}=O\)となる。
また、べき等行列なので、\(A^{m}=A\)である。
これらより、\(A=A^{m}=O\)となるのでべき零行列かつべき等行列となるのは零行列のみ。
故に題意は成り立つ。

(9)

べき等行列\(A\)は\(A^{2}=A\)を満たすので両辺のエルミート転置をとると、\(\left(A^{2}\right)^{*}=\left(AA\right)^{*}=A^{*}A^{*}=\left(A^{*}\right)^{2}\)より、\(\left(A^{*}\right)^{2}=A^{*}\)となり、エルミート転置もべき等行列となる。
条件より、\(A\)は反エルミート行列なので\(A=-A^{*}\)となるので、
\begin{align*} A & =A^{2}\\ & =\left(-A^{*}\right)^{2}\\ & =\left(A^{*}\right)^{2}\\ & =A^{*}\\ & =-A \end{align*} となり移項すると\(2A=O\)となるので\(A=O\)となる。
従って題意は成り立つ。

(10)

\(\subseteq\)

任意に\(\boldsymbol{x}\in\ker A\)をとると、\(A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)なので、\(\boldsymbol{x}=\left(I-A\right)\boldsymbol{x}\in\im\left(I-A\right)\)となるので、\(\ker A\subseteq\im\left(I-A\right)\)となる。

\(\supseteq\)

\(A\left(I-A\right)=O\)なので\(\im\left(I-A\right)\subseteq\ker A\)となる。

=

これらより、\(\subseteq\)と\(\supseteq\)が成り立つので\(=\)が成り立つ。

-

これより、
\begin{align*} \im A & =\im\left(I-\left(I-A\right)\right)\\ & =\ker\left(I-A\right) \end{align*} が成り立つ。

(11)

\begin{align*} \dim\left(\im A\oplus\im\left(I-A\right)\right) & \geq\dim\left(A\boldsymbol{x}+\left(I-A\right)\boldsymbol{x}\right)\\ & =\dim\left(I\boldsymbol{x}\right)\\ & =\dim\left(\boldsymbol{x}\right)\\ & =n \end{align*} となり、明らかに\(\dim\left(\im A\oplus\im\left(I-A\right)\right)\leq n\)なので、\(\dim\left(\im A\oplus\im\left(I-A\right)\right)=n\)となる。
次に直和となるために\(\im A\cap\im\left(I-A\right)=\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)であることを示す。
\(\boldsymbol{x}\in\im A\cap\im\left(I-A\right)\)とすると、ある\(\boldsymbol{y}_{1}\in A,\boldsymbol{y}_{2}\in I-A\)が存在し、\(A\boldsymbol{y}_{1}=\boldsymbol{x}=\left(I-A\right)\boldsymbol{y}_{2}\)となり、両辺に左から\(A\)を作用させると左辺は\(A^{2}\boldsymbol{y}_{1}=A\boldsymbol{y}_{1}\)右辺は\(A\left(I-A\right)\boldsymbol{y}_{2}=\boldsymbol{0}\)となるので、\(A\boldsymbol{y}_{1}=\boldsymbol{0}\)となるので、\(\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\)となる。
これより、\(\im A\cap\im\left(I-A\right)=\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)となる。
従って、\(\dim\left(A\boldsymbol{x}+\left(I-A\right)\boldsymbol{x}\right)=n\)かつ\(\im A\cap\im\left(I-A\right)=\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)なので\(\dim\left(\im A\oplus\im\left(I-A\right)\right)=n\)となる。

-

\(\ker A=\im\left(I-A\right)\)より、
\begin{align*} n & =\dim\left(\im A\oplus\im\left(I-A\right)\right)\\ & =\dim\left(\im\left(I-\left(I-A\right)\right)\oplus\im\left(I-A\right)\right)\\ & =\dim\left(\ker\left(I-A\right)\oplus\ker A\right) \end{align*} となるので題意は成り立つ。

(12)

\(\subseteq\)

任意の\(\boldsymbol{x}\in K^{n}\)に対し、
\begin{align*} \boldsymbol{x} & =I\boldsymbol{x}\\ & =\left(A+\left(I-A\right)\right)\boldsymbol{x}\\ & =A\boldsymbol{x}+\left(I-A\right)\boldsymbol{x}\\ & \in\im A+\im\left(I-A\right) \end{align*} となるので\(\subseteq\)が成り立つ。

\(\supseteq\)

\(\im A\)の元も\(\im\left(I-A\right)\)の元も共に\(K^{n}\)の元であり、\(K^{n}\)はベクトル空間なので\(K^{n}\)同士の元の和は\(K^{n}\)の元である。
従って\(\supseteq\)が成り立つ。

\(\im A\cap\im\left(I-A\right)=\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)

任意の元\(\boldsymbol{x}\in\im A\cap\im\left(I-A\right)\)に対し、ある\(\boldsymbol{x}_{1}\in\im A,\boldsymbol{x}_{2}\in\im\left(I-A\right)\)が存在し、\(A\boldsymbol{x}_{1}=\boldsymbol{x}=\left(I-A\right)\boldsymbol{x}_{2}\)が成り立つ。
これより、
\begin{align*} \boldsymbol{x} & =A\boldsymbol{x}_{1}\\ & =A^{2}\boldsymbol{x}_{1}\\ & =A\left(A\boldsymbol{x}_{1}\right)\\ & =A\left(I-A\right)\boldsymbol{x}_{2}\\ & =\left(A-A^{2}\right)\boldsymbol{x}_{2}\\ & =\left(A-A\right)\boldsymbol{x}_{2}\\ & =\boldsymbol{0} \end{align*} となり、\(\boldsymbol{x}\)は任意の\(\im A\cap\im\left(I-A\right)\)の元なので、\(\im A\cap\im\left(I-A\right)=\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)となる。

=

これらより、\(\subseteq\)と\(\supseteq\)が成り立つので、\(K^{n}=\im A+\im\left(I-A\right)\)となり、\(\im A\cap\im\left(I-A\right)=\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)なので、\(K^{n}=\im A\oplus\im\left(I-A\right)\)が成り立つ。
従って題意は成り立つ。

-

これより、
\begin{align*} K^{n} & =\im A\oplus\im\left(I-A\right)\\ & =\im\left(I-\left(I-A\right)\right)\oplus\im\left(I-A\right)\\ & =\ker\left(I-A\right)\oplus\ker A \end{align*} となる。

(13)

\(\ker A=\im\left(I-A\right)\)と\(K^{n}=\im A\oplus\im\left(I-A\right)\)が成り立つので、
\begin{align*} K^{n} & =\im A\oplus\im\left(I-A\right)\\ & =\im A\oplus\ker A \end{align*} が成り立つ。
従って題意は成り立つ。