偏角・対数と符号関数の関係
偏角・対数と符号関数の関係
\(z\ne0\)とする。
\(z\ne0\)とする。
(1)
\[ \Arg\left(z\right)=-i\Log\left(\sgn\left(z\right)\right) \](2)
\[ e^{i\Arg\left(z\right)}=\sgn\left(z\right) \](3)
\[ \Log z=\ln\left|z\right|+\Log\sgn\left(z\right) \](1)
\begin{align*} \Arg\left(z\right) & =\frac{1}{i}\left(\Log z-\ln\left|z\right|\right)\\ & =-i\left(\Log z+\ln\left|z\right|^{-1}\right)\\ & =-i\Log\frac{z}{\left|z\right|}\\ & =-i\Log\left(\sgn\left(z\right)\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} e^{i\Arg\left(z\right)} & =e^{\Log\left(\sgn\left(z\right)\right)}\\ & =\sgn\left(z\right) \end{align*}(3)
\begin{align*} \Log z & =\ln\left|z\right|+i\Arg\left(z\right)\\ & =\ln\left|z\right|+\Log\sgn\left(z\right) \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 偏角・対数と符号関数の関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/rz7w7dmg/ |
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0の極限のべき乗と0の極限乗
\[
\lim_{z\rightarrow0}z^{\alpha}=\begin{cases}
0 & 0<\Re\left(\alpha\right)\\
1 & \alpha=0\\
\text{発散} & \Re\left(\alpha\right)<0\lor\left(\Re\left(\alpha\right)=0\land\Im\left(\alpha\right)\ne0\right)
\end{cases}
\]
偏角・対数の和と差
\[
\Arg\alpha+\Arg\beta=\Arg\left(\alpha\beta\right)+2\pi\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta\right)
\]
絶対値の冪乗
\[
\left(\left|\alpha\right|\beta\right)^{\gamma}=\left|\alpha\right|^{\gamma}\beta^{\gamma}
\]
符号関数の偏角・対数
\[
\Log\sgn\alpha=i\Arg\alpha
\]