接弦定理

by nomura · 2025年10月9日

接弦定理
3角形$ABC$の外接円$J$とその中心$J$があり、点$A$で外接円に接する直線を$l$とする。
このとき、直線$l$上に点$C$と直線$AB$が反対側になるように点$P$をとると、
\[ \angle BAP=\angle BCA \] となる。
また、逆も成り立つ。
すなわち、3角形$ABC$があり、点$C$と点$P$が直線$AB$に関して反対側にあり、$\angle BAP=\angle BCA$ならば直線$AP$は3角形$ABC$の外接円の接線となる。

3角形$ABC$を反時計回りにとり、角度は符号も考える。

$\Rightarrow$

直線$AJ$を引き、点$A$とは異なる円$J$との交点を$C'$とする。
このとき、
\begin{align*} \angle BAP & =\frac{\pi}{2}-\angle C'AB\\ & =\frac{\pi}{2}-\left(\pi-\left(\angle ABC'+\angle BC'A\right)\right)\\ & =\frac{\pi}{2}-\left(\pi-\left(\frac{\pi}{2}+\angle BCA\right)\right)\\ & =\angle BCA \end{align*} となるので与式は成り立つ。

$\Leftarrow$

3角形$ABC$に外接円を引き、点$A$での接線上に直線$AB$について点$C$とは反対側に点$P'$をとる。
そうすると、接弦定理より、$\angle BAP'=\angle BCA$となり、条件より、$\angle BAP=\angle BCA$であるので、$\angle BAP=\angle BAP$となり、3点$A,P,P'$は同一直線状にある。
これより、$AP'$は外接円の接線であるので、$AP$も外接円の接線となる。
従って逆が成り立つ。