接弦定理

3角形\(ABC\)を反時計回りにとり、角度は符号も考える。

\(\Rightarrow\)

直線\(AJ\)を引き、点\(A\)とは異なる円\(J\)との交点を\(C'\)とする。
このとき、
\begin{align*} \angle BAP & =\frac{\pi}{2}-\angle C'AB\\ & =\frac{\pi}{2}-\left(\pi-\left(\angle ABC'+\angle BC'A\right)\right)\\ & =\frac{\pi}{2}-\left(\pi-\left(\frac{\pi}{2}+\angle BCA\right)\right)\\ & =\angle BCA \end{align*} となるので与式は成り立つ。

\(\Leftarrow\)

3角形\(ABC\)に外接円を引き、点\(A\)での接線上に直線\(AB\)について点\(C\)とは反対側に点\(P'\)をとる。
そうすると、接弦定理より、\(\angle BAP'=\angle BCA\)となり、条件より、\(\angle BAP=\angle BCA\)であるので、\(\angle BAP=\angle BAP\)となり、3点\(A,P,P'\)は同一直線状にある。
これより、\(AP'\)は外接円の接線であるので、\(AP\)も外接円の接線となる。
従って逆が成り立つ。