ベータ関数と不完全ベータ関数の関係
ベータ関数と不完全ベータ関数の関係
ベータ関数\(B\left(\alpha,\beta\right)\)と不完全ベータ関数\(B\left(z;\alpha,\beta\right)\)には次の関係がある。
\[ B\left(z;\alpha,\beta\right)+B\left(1-z;\beta,\alpha\right)=B\left(\alpha,\beta\right) \]
ベータ関数\(B\left(\alpha,\beta\right)\)と不完全ベータ関数\(B\left(z;\alpha,\beta\right)\)には次の関係がある。
\[ B\left(z;\alpha,\beta\right)+B\left(1-z;\beta,\alpha\right)=B\left(\alpha,\beta\right) \]
\begin{align*}
B\left(\alpha,\beta\right) & =\int_{0}^{1}t^{\alpha-1}\left(1-t\right)^{\beta-1}dt\\
& =\int_{0}^{z}t^{\alpha-1}\left(1-t\right)^{\beta-1}dt+\int_{z}^{1}t^{\alpha-1}\left(1-t\right)^{\beta-1}dt\\
& =\int_{0}^{z}t^{\alpha-1}\left(1-t\right)^{\beta-1}dt+\int_{0}^{1-z}\left(1-t\right)^{\alpha-1}t^{\beta-1}dt\\
& =B\left(z;\alpha,\beta\right)+B\left(1-z;\beta,\alpha\right)
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | ベータ関数と不完全ベータ関数の関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/qvb6q0ct/ |
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ベータ関数になる積分
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{x}t\cos^{y}tdt=\frac{1}{2}B\left(\frac{x+1}{2},\frac{y+1}{2}\right)
\]
ベータ関数の関数等式
\[
xB(x,y+1)=yB(x+1,y)
\]
ベータ関数とガンマ関数の関係
\[
B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
\]
２項係数とベータ関数の関係
\[
B(x,y)=\frac{C(y-1,-x)\pi}{\sin(\pi x)}
\]