基底変換行列と表現行列の関係
基底変換行列と表現行列の関係
\(\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{m}\right\} \)から\(\left\{ \boldsymbol{v}'_{1},\boldsymbol{v}'_{2},\cdots,\boldsymbol{v}'_{m}\right\} \)への基底変換行列を\(P\)として、\(\left\{ \boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\right\} \)から\(\left\{ \boldsymbol{w}'_{1},\boldsymbol{w}'_{2},\cdots,\boldsymbol{w}'_{n}\right\} \)への基底変換行列を\(Q\)とする。
また、\(\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{m}\right\} \)から\(\left\{ \boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\right\} \)への\(f\)の表現行列を\(A\)として、\(\left\{ \boldsymbol{v}'_{1},\boldsymbol{v}'_{2},\cdots,\boldsymbol{v}'_{m}\right\} \)から\(\left\{ \boldsymbol{w}'_{1},\boldsymbol{w}'_{2},\cdots,\boldsymbol{w}'_{n}\right\} \)への\(f\)の表現行列を\(B\)とする。
このとき、
\[ B=Q^{-1}AP \] が成り立つ。
\(\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\right\} \)から\(\left\{ \boldsymbol{v}'_{1},\boldsymbol{v}'_{2},\cdots,\boldsymbol{v}'_{n}\right\} \)への基底変換行列を\(P\)とする。
また、\(\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\right\} \)から\(\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\right\} \)への\(f\)の表現行列を\(A\)として、\(\left\{ \boldsymbol{v}'_{1},\boldsymbol{v}'_{2},\cdots,\boldsymbol{v}'_{n}\right\} \)から\(\left\{ \boldsymbol{v}'_{1},\boldsymbol{v}'_{2},\cdots,\boldsymbol{v}'_{n}\right\} \)への\(f\)の表現行列を\(B\)とする。
このとき、
\[ B=P^{-1}AP \] が成り立つ。
(1)線形写像
\(m\)次元ベクトル空間\(V\)の2つの基底\(\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{m}\right\} ,\left\{ \boldsymbol{v}'_{1},\boldsymbol{v}'_{2},\cdots,\boldsymbol{v}'_{m}\right\} \)と\(n\)次元ベクトル空間\(W\)の2つの基底\(\left\{ \boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\right\} ,\left\{ \boldsymbol{w}'_{1},\boldsymbol{w}'_{2},\cdots,\boldsymbol{w}'_{n}\right\} \)があり、線形写像\(f:V\rightarrow W\)がある。\(\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{m}\right\} \)から\(\left\{ \boldsymbol{v}'_{1},\boldsymbol{v}'_{2},\cdots,\boldsymbol{v}'_{m}\right\} \)への基底変換行列を\(P\)として、\(\left\{ \boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\right\} \)から\(\left\{ \boldsymbol{w}'_{1},\boldsymbol{w}'_{2},\cdots,\boldsymbol{w}'_{n}\right\} \)への基底変換行列を\(Q\)とする。
また、\(\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{m}\right\} \)から\(\left\{ \boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\right\} \)への\(f\)の表現行列を\(A\)として、\(\left\{ \boldsymbol{v}'_{1},\boldsymbol{v}'_{2},\cdots,\boldsymbol{v}'_{m}\right\} \)から\(\left\{ \boldsymbol{w}'_{1},\boldsymbol{w}'_{2},\cdots,\boldsymbol{w}'_{n}\right\} \)への\(f\)の表現行列を\(B\)とする。
このとき、
\[ B=Q^{-1}AP \] が成り立つ。
(2)線形変換
\(n\)次元ベクトル空間\(V\)の2つの基底\(\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\right\} ,\left\{ \boldsymbol{v}'_{1},\boldsymbol{v}'_{2},\cdots,\boldsymbol{v}'_{n}\right\} \)があり、線形変換\(f:V\rightarrow V\)がある。\(\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\right\} \)から\(\left\{ \boldsymbol{v}'_{1},\boldsymbol{v}'_{2},\cdots,\boldsymbol{v}'_{n}\right\} \)への基底変換行列を\(P\)とする。
また、\(\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\right\} \)から\(\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{n}\right\} \)への\(f\)の表現行列を\(A\)として、\(\left\{ \boldsymbol{v}'_{1},\boldsymbol{v}'_{2},\cdots,\boldsymbol{v}'_{n}\right\} \)から\(\left\{ \boldsymbol{v}'_{1},\boldsymbol{v}'_{2},\cdots,\boldsymbol{v}'_{n}\right\} \)への\(f\)の表現行列を\(B\)とする。
このとき、
\[ B=P^{-1}AP \] が成り立つ。
(1)は\(\boldsymbol{v}=\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{m}\right\} ,\boldsymbol{v}'=\left\{ \boldsymbol{v}'_{1},\boldsymbol{v}'_{2},\cdots,\boldsymbol{v}'_{m}\right\} ,\boldsymbol{w}=\left\{ \boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\right\} ,\boldsymbol{w}'=\left\{ \boldsymbol{w}'_{1},\boldsymbol{w}'_{2},\cdots,\boldsymbol{w}'_{n}\right\} \)で表すと、
\[ \begin{array}{ccccc} \boldsymbol{v}' & \overset{f}{\rightarrow} & f\left(\boldsymbol{v}'\right) & \overset{B^{-1}}{\rightarrow} & \boldsymbol{w}'\\ \sideset{P}{}\uparrow & & & & \sideset{Q}{}\uparrow\\ \boldsymbol{v} & \overset{f}{\rightarrow} & f\left(\boldsymbol{v}\right) & \overset{A^{-1}}{\rightarrow} & \boldsymbol{w} \end{array} \] より、\(B=Q^{-1}Af^{\bullet}Pf=Q^{-1}AP\)となる。
\[ \begin{array}{ccccc} \boldsymbol{v}' & \overset{f}{\rightarrow} & f\left(\boldsymbol{v}'\right) & \overset{B^{-1}}{\rightarrow} & \boldsymbol{w}'\\ \sideset{P}{}\uparrow & & & & \sideset{Q}{}\uparrow\\ \boldsymbol{v} & \overset{f}{\rightarrow} & f\left(\boldsymbol{v}\right) & \overset{A^{-1}}{\rightarrow} & \boldsymbol{w} \end{array} \] より、\(B=Q^{-1}Af^{\bullet}Pf=Q^{-1}AP\)となる。
(1)
\(\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{m}\right\} \)から\(\left\{ \boldsymbol{v}'_{1},\boldsymbol{v}'_{2},\cdots,\boldsymbol{v}'_{m}\right\} \)への基底変換行列が\(P\)なので、\[ \left(\boldsymbol{v}'_{1},\boldsymbol{v}'_{2},\cdots,\boldsymbol{v}'_{m}\right)=\left(\boldsymbol{v}{}_{1},\boldsymbol{v}{}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}{}_{m}\right)P \] となり、\(\left\{ \boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\right\} \)から\(\left\{ \boldsymbol{w}'_{1},\boldsymbol{w}'_{2},\cdots,\boldsymbol{w}'_{n}\right\} \)への基底変換行列が\(Q\)なので、
\[ \left(\boldsymbol{w}'_{1},\boldsymbol{w}'_{2},\cdots,\boldsymbol{w}'_{n}\right)=\left(\boldsymbol{w}{}_{1},\boldsymbol{w}{}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\right)Q \] となる。
ここで、\(P\)は基底変換行列なので正則であり、同様に\(Q\)も正則である。
また、\(\left\{ \boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{m}\right\} \)から\(\left\{ \boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\right\} \)への\(f\)の表現行列が\(A\)なので、
\[ \left(f\left(\boldsymbol{v}{}_{1}\right),f\left(\boldsymbol{v}{}_{2}\right),\cdots,f\left(\boldsymbol{v}{}_{m}\right)\right)=\left(\boldsymbol{w}{}_{1},\boldsymbol{w}{}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}{}_{n}\right)A \] となる。
これより、
\begin{align*} \left(f\left(\boldsymbol{v}'_{1}\right),f\left(\boldsymbol{v}'_{2}\right),\cdots,f\left(\boldsymbol{v}'_{m}\right)\right) & =f\left(\left(\boldsymbol{v}'_{1},\boldsymbol{v}'_{2},\cdots,\boldsymbol{v}'_{m}\right)\right)\\ & =f\left(\left(\boldsymbol{v}{}_{1},\boldsymbol{v}{}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}{}_{m}\right)P\right)\cmt{\because\left(\boldsymbol{v}'_{1},\boldsymbol{v}'_{2},\cdots,\boldsymbol{v}'_{m}\right)=\left(\boldsymbol{v}{}_{1},\boldsymbol{v}{}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}{}_{m}\right)P}\\ & =f\left(\left(\boldsymbol{v}{}_{1},\boldsymbol{v}{}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}{}_{m}\right)\right)P\\ & =\left(f\left(\boldsymbol{v}{}_{1}\right),f\left(\boldsymbol{v}{}_{2}\right),\cdots,f\left(\boldsymbol{v}{}_{m}\right)\right)P\\ & =\left(\boldsymbol{w}{}_{1},\boldsymbol{w}{}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}{}_{n}\right)AP\cmt{\therefore\left(f\left(\boldsymbol{v}{}_{1}\right),f\left(\boldsymbol{v}{}_{2}\right),\cdots,f\left(\boldsymbol{v}{}_{m}\right)\right)=\left(\boldsymbol{w}{}_{1},\boldsymbol{w}{}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}{}_{n}\right)A}\\ & =\left(\boldsymbol{w}'_{1},\boldsymbol{w}'_{2},\cdots,\boldsymbol{w}'_{n}\right)Q^{-1}AP\cmt{\because\left(\boldsymbol{w}'_{1},\boldsymbol{w}'_{2},\cdots,\boldsymbol{w}'_{n}\right)=\left(\boldsymbol{w}{}_{1},\boldsymbol{w}{}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\right)Q} \end{align*} となるので、\(\left\{ \boldsymbol{v}'_{1},\boldsymbol{v}'_{2},\cdots,\boldsymbol{v}'_{m}\right\} \)から\(\left\{ \boldsymbol{w}'_{1},\boldsymbol{w}'_{2},\cdots,\boldsymbol{w}'_{n}\right\} \)への\(f\)の表現行列は\(Q^{-1}AP\)となる。
故に題意は成り立つ。
(2)
(1)で\(Q\rightarrow P\)にすればいいので、\(B=P^{-1}AP\)が成り立つ。従って題意は成り立つ。
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| タイトル | 基底変換行列と表現行列の関係 |
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線形写像の合成と表現行列の積
\[
A_{g\circ f}=A_{g}A_{f}
\]
表現行列の定義とベクトルの成分
\[
\left(f\left(\boldsymbol{v}_{1}\right),f\left(\boldsymbol{v}_{2}\right),\cdots,f\left(\boldsymbol{v}_{m}\right)\right)=\left(\boldsymbol{w}_{1},\boldsymbol{w}_{2},\cdots,\boldsymbol{w}_{n}\right)A
\]
線形写像・零写像・線形変換・ 恒等変換の定義と性質
\[
\begin{cases}
f\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right)=f\left(\boldsymbol{x}\right)+f\left(\boldsymbol{y}\right)\\
f\left(c\boldsymbol{x}\right)=cf\left(\boldsymbol{x}\right)
\end{cases}
\]