主成分・階段行列・簡約行列の定義
主成分・階段行列・簡約行列の定義
(1)主成分
行列のそれぞれの行の左から最初の0でない成分をその行の主成分という。(2)階段行列
行列\(A\)が次を満たすとき階段行列という。(a)
(1行目以外の)各行の主成分は上の行の主成分より真に右側にある。(b)
行ベクトルが零ベクトルでない行は行ベクトルが零ベクトルの行よりも上にある。(3)簡約行列
行列\(A\)が次を満たすとき簡約行列という。(a)
階段行列であること。(b)
全ての主成分は1である。(c)
主成分を含む列ではその主成分以外は全て0である。(1)主成分
行列の主成分に{*}印を付けると次のようになる。\[ \left(\begin{array}{cccc} 0 & *1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & *2 & 3\\ *1 & 0 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \]
(2)階段行列
階段行列の例\[ \left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc} 2 & 2 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \] 階段行列でない例
\[ \left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \]
(3)簡約行列
簡約行列の例\[ \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \] 簡約行列でない例
\[ \left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \]
ページ情報
| タイトル | 主成分・階段行列・簡約行列の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/o4urvedm/ |
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行列の簡約化と階数(ランク)の定義
\[
\rank\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0
\end{array}\right)=2
\]
クラメルの公式
\[
x_{i}=\frac{\det\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{i-1},\boldsymbol{b},\boldsymbol{a}_{i+1},\cdots\boldsymbol{a}_{n}\right)}{\det\left(A\right)}
\]
行基本変形・列基本変形と基本行列
\[
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}
a & b & c & d\\
e & f & g & h\\
i & j & k & l
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}
a & b & c & d\\
i & j & k & l\\
e & f & g & h
\end{array}\right)
\]
余因子行列の性質
\[
\adj\left(AB\right)=\adj\left(B\right)\adj\left(A\right)
\]