正接関数・双曲線正接関数の半角公式の別表示
正接関数・双曲線正接関数の半角公式の別表示
(1)
\[ \tan\frac{z}{2}=\frac{\sin z}{1+\cos z} \](2)
\[ \tanh\frac{z}{2}=\frac{\sinh\left(z\right)}{1+\cosh\left(z\right)} \](1)
\begin{align*} \tan\frac{z}{2} & =\frac{2\tan\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}+1-\tan^{2}\frac{z}{2}}\\ & =\frac{\frac{2\tan\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}}}{1+\frac{1-\tan^{2}\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}}}\\ & =\frac{\sin z}{1+\cos z} \end{align*}(2)
\begin{align*} \tanh\frac{z}{2} & =-i\tan\frac{iz}{2}\\ & =-i\frac{\sin\left(iz\right)}{1+\cos\left(iz\right)}\\ & =\frac{\sinh\left(z\right)}{1+\cosh\left(z\right)} \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 正接関数・双曲線正接関数の半角公式の別表示 |
| URL | https://www.nomuramath.com/nmhzqc7h/ |
| SNSボタン |
三角関数・双曲線関数の実部と虚部
\[
\sin z=\sin\left(\Re z\right)\cosh\left(\Im z\right)+i\cos\left(\Re z\right)\sinh\left(\Im z\right)
\]
三角関数の部分分数展開
\[
\pi\tan\pi x =-\sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{1}{x+\frac{1}{2}+k}
\]
三角関数・双曲線関数の一次結合の逆数の積分
\[
\int\frac{1}{\alpha\sin z+\beta\cos z+\gamma}dz=-\frac{2}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}-\gamma^{2}}}\tanh^{\bullet}\frac{\left(\gamma-\beta\right)\tan\frac{z}{2}+\alpha}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}-\gamma^{2}}}+C
\]
ピタゴラスの基本三角関数公式
\[
\cos^{2}x+\sin^{2}x=1
\]