(1)

固有値が\(\lambda_{0}\)である固有空間\(W\left(\lambda_{0}\right)\)は
\[ \left(\lambda I-A\right)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} \] を満たす\(\boldsymbol{x}\)全体であり、拡大係数行列は行基本変形をして、
\[ \left(\begin{array}{cccc|c} \lambda-a_{11} & -a_{21} & \cdots & -a_{n1} & 0\\ -a_{12} & \lambda-a_{22} & \ddots & -a_{n2} & 0\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots\\ -a_{1n} & -a_{2n} & \cdots & \lambda-a_{nn} & 0 \end{array}\right)\rightarrow\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & \cdots & * & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & \cdots & * & 0\\ 0 & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & \cdots & 0 & 0 \end{array}\right) \] となる。
このとき、全体で\(n\)行で主成分のある行は\(\rank\left(\lambda I-A\right)\)行で主成分のない0のみの行は\(n-\rank\left(\lambda I-A\right)\)行となる。
従って、変数は\(n\)個あり、方程式の数は\(\rank\left(\lambda I-A\right)\)個となるので、残りの\(n-\rank\left(\lambda I-A\right)\)個が固有ベクトルの自由度となり、これが固有空間\(W\left(\lambda_{0}\right)\)の次元となる。
故に\(\dim W\left(\lambda_{0}\right)=n-\rank\left(\lambda_{0}I-A\right)\)となり与式は成り立つ。

(2)

\(\lambda_{0}\)の幾何学的重複度を\(r\)、\(\lambda_{0}\)の代数的重複度を\(s\)とおく。
\(\boldsymbol{p}_{1},\boldsymbol{p}_{2},\cdots,\boldsymbol{p}_{r}\)を\(\left(\lambda_{0}I-A\right)\boldsymbol{x}=0\)の解とする。
このとき、\(n-r\)個のベクトル\(\boldsymbol{p}_{r+1},\boldsymbol{p}_{r+2},\cdots,\boldsymbol{p}_{n}\)を追加して、\(\boldsymbol{p}_{1},\boldsymbol{p}_{2},\cdots,\boldsymbol{p}_{r},\boldsymbol{p}_{r+1},\boldsymbol{p}_{r+2},\cdots,\boldsymbol{p}_{n}\)を\(K^{n}\)の基底にすることができる。
ここで、\(P=\left(\boldsymbol{p}_{1},\boldsymbol{p}_{2},\cdots,\boldsymbol{p}_{n}\right)\)とおくと、\(\boldsymbol{p}_{1},\boldsymbol{p}_{2},\cdots,\boldsymbol{p}_{n}\)は基底より1次独立でもあるので\(P\)は正則となり逆行列\(P^{-1}\)が存在する。
このとき、
\begin{align*} P^{-1}AP & =P^{-1}A\left(\boldsymbol{p}_{1},\boldsymbol{p}_{2},\cdots,\boldsymbol{p}_{r},\boldsymbol{p}_{r+1},\boldsymbol{p}_{r+2},\cdots,\boldsymbol{p}_{n}\right)\\ & =P^{-1}\left(A\boldsymbol{p}_{1},A\boldsymbol{p}_{2},\cdots,A\boldsymbol{p}_{r},A\boldsymbol{p}_{r+1},A\boldsymbol{p}_{r+2},\cdots,A\boldsymbol{p}_{n}\right)\\ & =P^{-1}\left(\lambda_{0}\boldsymbol{p}_{1},\lambda_{0}\boldsymbol{p}_{2},\cdots,\lambda_{0}\boldsymbol{p}_{r},A\boldsymbol{p}_{r+1},A\boldsymbol{p}_{r+2},\cdots,A\boldsymbol{p}_{n}\right)\\ & =P^{-1}\left(\boldsymbol{p}_{1},\boldsymbol{p}_{2},\cdots,\boldsymbol{p}_{r},\boldsymbol{p}_{r+1},\boldsymbol{p}_{r+2},\cdots,\boldsymbol{p}_{n}\right)\left(\begin{array}{ccc|cc} \lambda_{0} & & O & & B\\ & \ddots & \\ O & & \lambda_{0}\\ \hline & & \\ O & & & & C \end{array}\right)\\ & =P^{-1}P\left(\begin{array}{ccc|cc} \lambda_{0} & & O & & B\\ & \ddots & \\ O & & \lambda_{0}\\ \hline & & \\ O & & & & C \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc|cc} \lambda_{0} & & O & & B\\ & \ddots & \\ O & & \lambda_{0}\\ \hline & & \\ O & & & & C \end{array}\right) \end{align*} となる。
これより\(A\)の固有多項式\(p_{A}\left(\lambda\right)\)は
\begin{align*} p_{A}\left(\lambda\right) & =p_{P^{-1}AP}\left(\lambda\right)\\ & =\det\left(\lambda I-P^{-1}AP\right)\\ & =\deg\left(\left(\begin{array}{ccc} \lambda & & O\\ & \ddots\\ O & & \lambda \end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc|cc} \lambda_{0} & & O & & B\\ & \ddots & \\ O & & \lambda_{0}\\ \hline & & \\ O & & & & C \end{array}\right)\right)\\ & =\deg\left(\begin{array}{ccc|cc} \lambda-\lambda_{0} & & O & & -B\\ & \ddots & \\ O & & \lambda-\lambda_{0}\\ \hline & & \\ O & & & & \lambda I_{n-r}-C \end{array}\right)\\ & =\left(\lambda-\lambda_{0}\right)^{r}\det\left(\lambda I_{n-r}-C\right) \end{align*} となるので、\(p_{A}\left(\lambda\right)\)での\(\lambda_{0}\)の代数的重複度\(s\)は\(r\)以上となるので\(r\leq s\)となる。
従って、題意は成り立つ。

(3)

固有値\(\lambda_{k}\)の代数的重複度を\(a_{k}\)として、幾何学的重複度を\(\dim W\left(\lambda_{k}\right)\)とすると、\(\dim W\left(\lambda_{k}\right)\leq a_{k}\)なので全ての固有値の代数的重複度は\(n\)となるので、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{m}\dim W\left(\lambda_{k}\right) & \leq\sum_{k=1}^{m}a_{k}\\ & =n \end{align*} となる。
従って題意は成り立つ。