順序対の定義
順序対の定義
\(\left(a_{1},b_{1}\right)=\left(a_{2},b_{2}\right)\)となるのは、\(a_{1}=a_{2}\land b_{1}=b_{2}\)となるときのみ、すなわち\(\left(a_{1},b_{1}\right)=\left(a_{2},b_{2}\right)\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}\land b_{1}=b_{2}\)である。
3つの順序対は\(\left(a,b,c\right)=\left(a,\left(b,c\right)\right)\)や\(\left(a,b,c\right)=\left(\left(a,b\right),c\right)\)とすればいい。
\(\left(a,b\right):=\left\{ \left\{ a,1\right\} ,\left\{ b,2\right\} \right\} \)とする。
クラトフスキーの定義
\(\left(a,b\right):=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \)とする。
このとき、\(\left(a,a\right)=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,a\right\} \right\} =\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a\right\} \right\} =\left\{ \left\{ a\right\} \right\} \)となる。
(1)順序対
2つの対象\(a,b\)を順番も考慮し組にしたものを順序対といい、\(a,b\)の順に指定するなら\(\left(a,b\right)\)と表記する。\(\left(a_{1},b_{1}\right)=\left(a_{2},b_{2}\right)\)となるのは、\(a_{1}=a_{2}\land b_{1}=b_{2}\)となるときのみ、すなわち\(\left(a_{1},b_{1}\right)=\left(a_{2},b_{2}\right)\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}\land b_{1}=b_{2}\)である。
3つの順序対は\(\left(a,b,c\right)=\left(a,\left(b,c\right)\right)\)や\(\left(a,b,c\right)=\left(\left(a,b\right),c\right)\)とすればいい。
(2)順序対の定義
ハウスドルフの定義\(\left(a,b\right):=\left\{ \left\{ a,1\right\} ,\left\{ b,2\right\} \right\} \)とする。
クラトフスキーの定義
\(\left(a,b\right):=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \)とする。
このとき、\(\left(a,a\right)=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,a\right\} \right\} =\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a\right\} \right\} =\left\{ \left\{ a\right\} \right\} \)となる。
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ファウルハーバー公式(冪乗和公式)
\[
\sum_{j=1}^{n}j^{m}=\frac{1}{m+1}\left(B_{m+1}(n+1)-B_{m+1}(1)\right)
\]
オイラーの公式の応用
\[
\cos z\pm i\sin z=e^{\pm iz}
\]
三角関数の積
\[
\prod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n}=\frac{n}{2^{n-1}}
\]
第1可算と第2可算の定義