順序対の定義
\(\left(a_{1},b_{1}\right)=\left(a_{2},b_{2}\right)\)となるのは、\(a_{1}=a_{2}\land b_{1}=b_{2}\)となるときのみ、すなわち\(\left(a_{1},b_{1}\right)=\left(a_{2},b_{2}\right)\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}\land b_{1}=b_{2}\)である。
3つの順序対は\(\left(a,b,c\right)=\left(a,\left(b,c\right)\right)\)や\(\left(a,b,c\right)=\left(\left(a,b\right),c\right)\)とすればいい。
\(\left(a,b\right):=\left\{ \left\{ a,1\right\} ,\left\{ b,2\right\} \right\} \)とする。
クラトフスキーの定義
\(\left(a,b\right):=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \)とする。
このとき、\(\left(a,a\right)=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,a\right\} \right\} =\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a\right\} \right\} =\left\{ \left\{ a\right\} \right\} \)となる。
(1)順序対
2つの対象\(a,b\)を順番も考慮し組にしたものを順序対といい、\(a,b\)の順に指定するなら\(\left(a,b\right)\)と表記する。\(\left(a_{1},b_{1}\right)=\left(a_{2},b_{2}\right)\)となるのは、\(a_{1}=a_{2}\land b_{1}=b_{2}\)となるときのみ、すなわち\(\left(a_{1},b_{1}\right)=\left(a_{2},b_{2}\right)\Leftrightarrow a_{1}=a_{2}\land b_{1}=b_{2}\)である。
3つの順序対は\(\left(a,b,c\right)=\left(a,\left(b,c\right)\right)\)や\(\left(a,b,c\right)=\left(\left(a,b\right),c\right)\)とすればいい。
(2)順序対の定義
ハウスドルフの定義\(\left(a,b\right):=\left\{ \left\{ a,1\right\} ,\left\{ b,2\right\} \right\} \)とする。
クラトフスキーの定義
\(\left(a,b\right):=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \)とする。
このとき、\(\left(a,a\right)=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,a\right\} \right\} =\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a\right\} \right\} =\left\{ \left\{ a\right\} \right\} \)となる。
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写像・対応の相等の定義
\[
f=g
\]
写像と対応の定義
\[
\Def\left(f\right)=\left\{ x\in X;f\left(x\right)\in Y\right\} =X
\]
像・逆像と下極限・上極限・極限の関係
\[
\liminf_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right)\supseteq f\left(\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right)
\]
集合列と像・逆像の極限と存在性
極限$\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}$が存在しても像の極限$\lim_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right)$が存在するとは限らない。