円周角の定理とその逆とタレスの定理

by nomura · 2025年9月9日

円周角の定理とその逆とタレスの定理

(1)円周角の定理

点\(O\)を中心とする円\(C\)があるとき\(C\)上に反時計回りに弧\(AB\)をとり、弧\(AB\)を除く\(C\)上に\(P\)を取ると、
\[ \angle BOA=2\angle BPA \] となる。

(2)円周角の定理

弧\(AB\)を除く\(C\)上に\(P_{1},P_{2}\)を取ると、
\[ \angle BP_{1}A=\angle BP_{2}A \] となる。

(3)円周角の定理の逆

4点\(A,B,C,D\)があり、直線\(A,B\)に対し点\(C,D\)が同じ側にあり、\(\angle BCA=\angle BDA\)が成り立つならば\(A,B,C,D\)は同一円周上にある。

(4)タレスの定理

直径に対する円周角は直角である。

(2)の逆(3)は成り立ちますが(1)の逆は成り立ちません。
(1)の逆が成り立たないのは次のようになります。
4点\(A,B,P,O\)があり、直線\(A,B\)に対し点\(P,O\)が同じ側にあり\(\angle BOA=2\angle BPA\)を満たしても\(\triangle ABP\)の外接円の中心が\(O\)になるとは限りません。
これを証明する。
\(\triangle ABP\)の外接円の中心を\(O\)'とする。
円周角の定理より、\(\triangle ABO'\)の外接円\(C'\)を考え、弧\(AB\)を除く\(C'\)上に\(O'\)とは違うところに点\(O\)を取ると、\(\angle BO'A=\angle BOA\)となる。
これより、\(2\angle BPA=\angle BO'A=\angle BOA\)となるが、\(\triangle ABP\)の外接円の中心は\(O'\)であり、\(O\)'と\(O\)は異なる点で外接円の中心は1つなので、\(O\)は\(\triangle ABP\)の外接円の中心ではない。
従って題意は成り立つ。

(1)

\begin{align*} \angle BOA & =2\pi-\angle AOB\\ & =\pi-\angle POB+\pi-\angle AOP\\ & =\angle OBP+\angle BPO+\angle OPA+\angle PAO\\ & =2\angle BPO+2\angle OPA\cmt{\because2\text{等\text{辺3角形}}}\\ & =2\angle BPA \end{align*} 符号を含めて考えているので、点\(O\)が\(\triangle APB\)の外側にあっても成り立ちます。

(2)

(1)より、
\begin{align*} \angle BP_{1}A & =\frac{1}{2}\angle BOA\\ & =\angle BP_{2}A \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(3)

\(\triangle ABC\)の外接円の内部に点\(D\)があると仮定する。
直線\(AD\)の外接円の交点で点\(A\)でないほうを\(E\)とすると、
\begin{align*} \angle BDA & =\angle BEA+\angle DBE\\ & >\angle BEA\\ & =\angle BCA \end{align*} となるので矛盾。
また、\(\triangle ABC\)の外接円の外部に点\(D\)があると仮定する。
直線\(AD\)の外接円の交点で点\(A\)でないほうを\(E\)とすると、
\begin{align*} \angle BDA & =\angle BEA-\angle EBD\\ & <\angle BEA\\ & =\angle BCA \end{align*} となるので矛盾。
従って、背理法より点Dは\(\triangle ABC\)の外接円上にあるので\(A,B,C,D\)は同一円周上にある。