(1)

\(n=-2\)のとき、

\begin{align*} 2\uparrow^{-2}2 & =2+1\\ & =3 \end{align*}

\(n=-1\)のとき、

\begin{align*} 2\uparrow^{-1}2 & =2+2\\ & =4 \end{align*}

\(n\in\mathbb{N}_{0}\)のとき、

\begin{align*} 2\uparrow^{n}2 & =2\uparrow^{n-1}\left(2\uparrow^{n}1\right)\\ & =2\uparrow^{n-1}2\\ & =2\uparrow^{-1}2\\ & =4 \end{align*}

-

これより、
\[ 2\uparrow^{n}2=4-\delta_{-2,n} \] となる。

(2)

\(n=0\)のとき、

\begin{align*} H_{0}\left(2,2\right) & =3\\ & =4-\delta_{0,0} \end{align*}

\(n=1\)のとき、

\begin{align*} H_{1}\left(2,2\right) & =2+2\\ & =4 \end{align*}

\(n=2,3,\cdots\)のとき、

\begin{align*} H_{n}\left(2,2\right) & =2\uparrow^{n-2}2\\ & =4 \end{align*} となる。

-

これらより、与式は成り立つ。