(1)

\[ A^{-1}\left(A^{-1}\right)^{-1}=I \] なので両辺に左から\(A\)を掛けると、
\[ \left(A^{-1}\right)^{-1}=A \] となるので与式は成り立つ。

(2)

\[ AB\left(AB\right)^{-1}=I \] なので両辺に左から\(B^{-1}A^{-1}\)を掛けると、
\[ \left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1} \] となるので与式は成り立つ。

(3)

\[ e^{-A}\left(e^{-A}\right)^{-1}=I \] なので両辺に左から\(e^{A}\)を掛けると、
\[ \left(e^{-A}\right)^{-1}=e^{A} \] となるので与式は成り立つ。

(4)

\[ A^{T}\left(A^{T}\right)^{-1}=I \] なので両辺に左から\(\left(A^{-1}\right)^{T}\)を掛けると、
\begin{align*} \left(A^{-1}\right)^{T} & =\left(A^{-1}\right)^{T}A^{T}\left(A^{T}\right)^{-1}\\ & =\left(AA^{-1}\right)^{T}\left(A^{T}\right)^{-1}\\ & =\left(A^{T}\right)^{-1} \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(5)

\[ \overline{A}\left(\overline{A}\right)^{-1}=I \] なので両辺に左から\(\overline{A^{-1}}\)を掛けると、
\begin{align*} \overline{A^{-1}} & =\overline{A^{-1}}\overline{A}\left(\overline{A}\right)^{-1}\\ & =\overline{A^{-1}A}\left(\overline{A}\right)^{-1}\\ & =\left(\overline{A}\right)^{-1} \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(6)

\begin{align*} \left(A^{*}\right)^{-1} & =\left(\overline{A^{T}}\right)^{-1}\\ & =\overline{\left(A^{T}\right)^{-1}}\\ & =\overline{\left(A^{-1}\right)^{T}}\\ & =\left(A^{-1}\right)^{*} \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(7)

ユニタリ行列の定義より、\(UU^{*}=U^{*}U=I\)なので\(U^{-1}=U^{*}\)となる。
従って題意は成り立つ。

(8)

上3角行列の逆行列は上3角行列

上3角行列の逆行列は上3角行列となるとなることを示す。
\(n\)次正方行列\(A=\left(a_{ij}\right)\)が上3角行列とする。
逆行列\(A^{-1}\)が存在するためには、行列式\(\det\left(A\right)\ne0\)でなければいけない。
3角行列の行列式は全ての対角成分の積なので、\(\forall k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} ,a_{kk}\ne0\)のとき存在する。
行列\(A\)は
\[ A=\left(\begin{array}{ccccccc} a_{11} & \cdots & a_{1,j-1} & a_{1,j} & a_{1,j+1} & \cdots & a_{1,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j} & a_{i-1,j+1} & \cdots & a_{i-1,n}\\ a_{i,1} & \cdots & a_{i,j-1} & a_{i,j} & a_{i,j+1} & \cdots & a_{i,n}\\ a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1,j-1} & a_{i+1,j} & a_{i+1,j+1} & \cdots & a_{i+1,n}\\ \vdots & \ddots & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j} & a_{n,j+1} & \cdots & a_{n,n} \end{array}\right) \] のようになっている。
\(A\)の小行列\(M_{i,j}\)は
\[ \left(M_{i,j}\right)_{k,l}=\begin{cases} a_{k,l} & k<i,l<j\\ a_{k+1,l} & i\leq k,l<j\\ a_{k,l+1} & k<i,j\leq l\\ a_{k+1,l+1} & i\leq k,j\leq l \end{cases} \] となる。
\(A\)は上3角行列なので、\(j<i\)ならば\(a_{i,j}=0\)となる。
また、\(i<j\) を満たすとき、\(i\leq k<j\) を満たす\(k\)が存在し、\(\left(M_{i,j}\right)_{k,k}=a_{k+1,k}=0\)となり、\(\left(M_{i,j}\right)\)の対角上に0があるので、\(i<j\rightarrow\left|M_{i,j}\right|=0\)となる。
従って\(A\)の余因子\(\widetilde{a}_{i,j}\)は\(\widetilde{a}_{i,j}=\left(-1\right)^{i+j}\left|M_{i,j}\right|\)となり余因子行列\(\widetilde{A}\)は\(\widetilde{A}=\left(\widetilde{a}_{i,j}\right)^{T}=\widetilde{a}_{j,i}=\left(-1\right)^{i+j}\left|M_{j,i}\right|\)なので\(i<j\rightarrow\widetilde{a}_{j,i}=0\)となり余因子行列は上3角行列となる。

対角成分は逆数

逆行列の対角成分は元の対角成分の逆数となることを示す。
3角行列の固有値は対角成分であり、逆行列の固有値は逆数となる。
また、逆行列は3角行列であるので、逆行列の対角成分は元の対角成分の逆数となる。

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これらより、上3角行列について題意が成り立ち、下3角行列についていも同様にすれば成り立つ。
故に題意は成り立つ。

(9)

3角行列の逆行列については、上(下)3角行列の逆行列は上(下)3角行列となり、対角成分は元の対角成分の逆数になる。
これより、対角行列は上3角行列かつ下3角行列なので逆行列は上3角行列かつ下3角行列になるので対角行列となり、対角成分は元の対角成分の逆数になる。
従って、\(A^{-1}=\diag\left(a_{1}^{-1},a_{2}^{-1},\cdots,a_{n}^{-1}\right)\)となり与式は成り立つ。

(10)

\(A\)の逆行列が存在し、\(A_{1}^{-1},A_{2}^{-1}\)の2つ存在すると仮定する。
このとき、
\begin{align*} A_{1}^{-1} & =A_{1}^{-1}\left(AA_{2}^{-1}\right)\\ & =\left(A_{1}^{-1}A\right)A_{2}^{-1}\\ & =A_{2}^{-1} \end{align*} となるので矛盾。
従って背理法より、仮定が間違いで、逆行列は存在しても唯1つである。