固有ベクトルの性質

\(\Rightarrow\)

固有ベクトル\(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{m}\)が1次独立であることを示すには、\(c_{1},c_{2},\cdots,c_{m}\in K\text{として}\)
\[ \sum_{j=1}^{m}c_{j}\boldsymbol{v}_{j}=\boldsymbol{0} \] が成り立つには\(c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{m}=0\)しかないことを示せばいい。
両辺に\(A^{k},k\in\left\{ 0,1,\cdots,m-1\right\} \)を掛けると、
\begin{align*} \boldsymbol{0} & =A^{k}\sum_{j=1}^{m}c_{j}\boldsymbol{v}_{j}\\ & =\sum_{j=1}^{m}c_{j}\lambda_{j}^{k}\boldsymbol{v}_{j} \end{align*} となるので、\(j\)について0から\(m-1\)までまとめて行列を用いて表すと、
\[ \left(\begin{array}{cccc} \lambda_{1}^{0} & \lambda_{2}^{0} & \cdots & \lambda_{m}^{0}\\ \lambda_{1} & \lambda_{2} & \cdots & \lambda_{m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \lambda_{1}^{m-1} & \lambda_{2}^{m-1} & \cdots & \lambda_{m}^{m-1} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} c_{1}\boldsymbol{v}_{1}\\ c_{2}\boldsymbol{v}_{2}\\ \vdots\\ c_{m}\boldsymbol{v}_{m} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \boldsymbol{0}\\ \boldsymbol{0}\\ \vdots\\ \boldsymbol{0} \end{array}\right) \] となる。
ここで左の行列はヴァンデルモンド行列であり、固有値は異なるので、
\begin{align*} \det\left(\begin{array}{cccc} \lambda_{1}^{0} & \lambda_{2}^{0} & \cdots & \lambda_{m}^{0}\\ \lambda_{1} & \lambda_{2} & \cdots & \lambda_{m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \lambda_{1}^{m-1} & \lambda_{2}^{m-1} & \cdots & \lambda_{m}^{m-1} \end{array}\right) & =\prod_{1\leq i\leq j\leq m}\left(\lambda_{j}-\lambda_{i}\right)\\ & \ne0 \end{align*} となるので逆行列が存在する。
従って、
\begin{align*} \left(\begin{array}{c} c_{1}\boldsymbol{v}_{1}\\ c_{2}\boldsymbol{v}_{2}\\ \vdots\\ c_{m}\boldsymbol{v}_{m} \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cccc} \lambda_{1}^{0} & \lambda_{2}^{0} & \cdots & \lambda_{m}^{0}\\ \lambda_{1} & \lambda_{2} & \cdots & \lambda_{m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \lambda_{1}^{m-1} & \lambda_{2}^{m-1} & \cdots & \lambda_{m}^{m-1} \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{c} \boldsymbol{0}\\ \boldsymbol{0}\\ \vdots\\ \boldsymbol{0} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c} \boldsymbol{0}\\ \boldsymbol{0}\\ \vdots\\ \boldsymbol{0} \end{array}\right) \end{align*} となり、各固有ベクトル\(\boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2},\cdots,\boldsymbol{v}_{m}\)は\(\boldsymbol{0}\)ではないので、\(c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{m}=0\)となる。
これより、固有ベクトル\(\left\{ \boldsymbol{v}_{j}\right\} _{j\in\left\{ 1,2,\cdots,m\right\} }\)は1次独立となる。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
単位行列\(I_{2}\)の固有多項式は\(p\left(\lambda\right)=\det\left(\lambda I_{2}-I_{2}\right)=\left(\lambda-1\right)^{2}\)となり固有方程式は\(\left(\lambda-1\right)^{2}=0\)となる。
これより、固有値は\(1,1\)の2重解となり、固有ベクトルは\(\left(1,0\right),\left(0,1\right)\)ととれる。
この固有ベクトルは直交しているので1次独立であるが、固有値は1なので同じである。
従って逆は一般的に成り立たない。