線形包の定義
線形包の定義
体\(K\)上のベクトル空間\(V\)とその部分集合\(S\subseteq V\)があるとき、
\[ \left\langle S\right\rangle =\left\{ \sum_{i=1}^{r}c_{i}\boldsymbol{v}_{i};r<\infty,\left\{ \boldsymbol{v}_{i}\right\} _{i\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }\subseteq S,\left\{ c_{i}\right\} _{i\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }\subseteq K\right\} \] は\(V\)の部分空間となる。
\(\left\langle S\right\rangle \)は\(\left\langle S\right\rangle _{K}\)や\(\mathrm{span}\left(S\right)\)で表されることもある。
この部分空間\(\left\langle S\right\rangle \)は\(S\)によって生成される部分空間となり、この\(\left\langle S\right\rangle \)を\(S\)の線形包(せんけいほう)といいます。
\(S\)が無限集合のときは\(S\)から有限個を選んだ1次結合全体の集合になります。
体\(K\)上のベクトル空間\(V\)とその部分集合\(S\subseteq V\)があるとき、
\[ \left\langle S\right\rangle =\left\{ \sum_{i=1}^{r}c_{i}\boldsymbol{v}_{i};r<\infty,\left\{ \boldsymbol{v}_{i}\right\} _{i\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }\subseteq S,\left\{ c_{i}\right\} _{i\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }\subseteq K\right\} \] は\(V\)の部分空間となる。
\(\left\langle S\right\rangle \)は\(\left\langle S\right\rangle _{K}\)や\(\mathrm{span}\left(S\right)\)で表されることもある。
この部分空間\(\left\langle S\right\rangle \)は\(S\)によって生成される部分空間となり、この\(\left\langle S\right\rangle \)を\(S\)の線形包(せんけいほう)といいます。
\(S\)が無限集合のときは\(S\)から有限個を選んだ1次結合全体の集合になります。
線形包は次の性質がある。
\[ S\subseteq\left\langle S\right\rangle \] \[ S_{1}\subseteq S_{2}\Rightarrow\left\langle S_{1}\right\rangle \subseteq\left\langle S_{2}\right\rangle \] \[ \left\langle S\right\rangle =\left\langle \left\langle S\right\rangle \right\rangle \]
\[ S\subseteq\left\langle S\right\rangle \] \[ S_{1}\subseteq S_{2}\Rightarrow\left\langle S_{1}\right\rangle \subseteq\left\langle S_{2}\right\rangle \] \[ \left\langle S\right\rangle =\left\langle \left\langle S\right\rangle \right\rangle \]
ベクトル空間\(\mathbb{R}^{2}\)で\(\boldsymbol{v}_{1}=\left(1,0\right)^{T},\boldsymbol{v}_{2}=\left(0,1\right)^{T}\)とすると、
\begin{align*} \left\langle \boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\right\rangle & =\left\{ c_{1}\boldsymbol{v}_{1}+c_{2}\boldsymbol{v}_{2};c_{1},c_{2}\in\mathbb{R}\right\} \\ & =\left\{ c_{1}\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)+c_{2}\left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right);c_{1},c_{2}\in\mathbb{R}\right\} \end{align*} となる。
\begin{align*} \left\langle \boldsymbol{v}_{1},\boldsymbol{v}_{2}\right\rangle & =\left\{ c_{1}\boldsymbol{v}_{1}+c_{2}\boldsymbol{v}_{2};c_{1},c_{2}\in\mathbb{R}\right\} \\ & =\left\{ c_{1}\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)+c_{2}\left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right);c_{1},c_{2}\in\mathbb{R}\right\} \end{align*} となる。
ページ情報
| タイトル | 線形包の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/m1epwkun/ |
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ケーリー・ハミルトンの定理
\[
p_{A}\left(A\right)=O
\]
正方行列は3角行列と相似
エルミート行列(対称行列)と反エルミート行列(反対称行列)に分解
\[
A=S+T
\]
正規行列の性質
正規行列であることと、ユニタリ行列で対角化できることは同値である。