(1)

\begin{align*} 0 & =\det O\\ & =\det N^{m}\\ & =\left(\det N\right)^{m} \end{align*} となるので\(\det N=0\)となり逆行列が存在しないので正則でない。

(2)

\(\Rightarrow\)

3角行列の対角成分は固有値であり、対角成分が全て0なので固有値も全て0になる。
また、べき零行列であることと、行列の全ての固有値が0であることは同値である。
これより、3角行列の対角成分が全て0ならば、べき零行列である。
故に\(\Rightarrow\)が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
行列\(N\)を
\[ N=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ -1 & -1 \end{array}\right) \] とすると\(N^{2}=O\)となるのでべき零行列であるが、3角行列でもなく、対角成分も全て0ではない。
従って、逆は一般的に成り立たない。

(3)

べき零行列\(N\)は固有値が0のみであるので、固有多項式は\(p_{N}\left(\lambda\right)=\lambda^{n}\)となり、ケーリー・ハミルトンの定理より、\(p_{N}\left(N\right)=N^{n}=0\)となる。
これより、\(m\leq n\)となる\(m\)で\(N^{m}=O\)となる。
従って題意は成り立つ。

(4)

べき零行列\(N\)が対角化可能であるとき、ある正則行列\(P\)が存在し、対角行列\(B=P^{-1}NP\)ができる。
べき零行列の固有値は0のみで、3角行列の対角成分は固有値なので、\(B\)の対角成分は全て0になる。
これより、\(B\)は対角成分が全て0な対角行列なので零行列となる。
従って\(N=PBP^{-1}=POP^{-1}=O\)となり零行列になるので題意は成り立つ。

(5)

行列が対角化できることと行列が正規行列であることは同値である。
また、べき零行列\(N\)が対角化可能であれば\(N\)は零行列であるので、対偶をとると、\(N\)が零行列でなければ、対角化は不可能であるとなる。
これより、べき零行列\(N\)が\(N\ne O\)ならば正規行列ではないとなるので題意は成り立つ。

(6)

べき零行列の固有値は全て0なので、固有多項式は\(\det\left(\lambda I-N\right)=\lambda^{n}\)となる。
これより、\(\lambda\ne0\)ならば\(\det\left(\lambda I-N\right)\ne0\)なので\(\lambda I-N\)は正則となる。
また、\(\lambda I-N=-\left(-\lambda I+N\right)\)なので、\(-1\)倍をしても正則性は変わらず、\(\lambda\rightarrow-\lambda\)とすれば\(\lambda I+N\)は正則となる。
逆行列については、
\begin{align*} \left(\lambda I+N\right)\sum_{k=0}^{m-1}\frac{\left(-1\right)^{k}}{\lambda^{k+1}}N^{k} & =\lambda I\sum_{k=0}^{m-1}\frac{\left(-1\right)^{k}}{\lambda^{k+1}}N^{k}+N\sum_{k=0}^{m-1}\frac{\left(-1\right)^{k}}{\lambda^{k+1}}N^{k}\\ & =\sum_{k=0}^{m-1}\frac{\left(-1\right)^{k}}{\lambda^{k}}N^{k}+\sum_{k=0}^{m-1}\frac{\left(-1\right)^{k}}{\lambda^{k+1}}N^{k+1}\\ & =\sum_{k=0}^{m-1}\frac{\left(-1\right)^{k}}{\lambda^{k}}N^{k}-\sum_{k=1}^{m}\frac{\left(-1\right)^{k}}{\lambda^{k}}N^{k}\\ & =N^{0}+\sum_{k=1}^{m-1}\frac{\left(-1\right)^{k}}{\lambda^{k}}N^{k}-\sum_{k=1}^{m-1}\frac{\left(-1\right)^{k}}{\lambda^{k}}N^{k}-\frac{\left(-1\right)^{m}}{\lambda^{m}}N^{m}\\ & =I-\frac{\left(-1\right)^{m}}{\lambda^{m}}O\\ & =I \end{align*} となるので、\(\lambda I+N\)の逆行列は\(\sum_{k=0}^{m-1}\frac{\left(-1\right)^{k}}{\lambda^{k+1}}N^{k}\)となる。
故に題意は成り立つ。

(7)

\(A^{n}=B^{n}=0\)なので
\begin{align*} \left(AB\right)^{n} & =A^{n}B^{n}\\ & =O^{2}\\ & =O \end{align*} \begin{align*} \left(A+B\right)^{2n} & =\sum_{k=0}^{2n}C\left(2n,k\right)A^{2n-k}B^{k}\\ & =\sum_{k=0}^{n-1}C\left(2n,k\right)A^{2n-k}B^{k}+C\left(2n,n\right)A^{2n-n}B^{n}+\sum_{k=n+1}^{2n}C\left(2n,k\right)A^{2n-k}B^{k}\\ & =\sum_{k=0}^{n-1}C\left(2n,k\right)A^{2n-k}B^{k}+C\left(2n,n\right)A^{n}B^{n}+\sum_{k=0}^{n-1}C\left(2n,2n-k\right)A^{2n-\left(2n-k\right)}B^{2n-k}\\ & =\sum_{k=0}^{n-1}C\left(2n,k\right)A^{2n-k}B^{k}+C\left(2n,n\right)A^{n}B^{n}+\sum_{k=0}^{n-1}C\left(2n,k\right)A^{k}B^{2n-k}\\ & =\sum_{k=0}^{n-1}C\left(2n,k\right)OB^{k}+C\left(2n,n\right)O^{2}+\sum_{k=0}^{n-1}C\left(2n,k\right)A^{k}O\\ & =O \end{align*} となるので\(AB,A+B\)はべき零行列となり、題意は成り立つ。

(8)

\[ \sum_{k=0}^{m}c_{k}N^{k}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} \] を満たす\(c_{k}\)が\(c_{0}=c_{1}=\cdots=c_{m-1}=0\)のみとなれば\(\boldsymbol{x},N\boldsymbol{x},N^{2}\boldsymbol{x},\cdots,N^{m-1}\boldsymbol{x}\text{は}\)1次独立となる。
両辺に\(N^{m-\left(j+1\right)}\)を掛けると、
\begin{align*} \boldsymbol{0} & =\sum_{k=0}^{m}c_{k}N^{m+k-j-1}\boldsymbol{x}\\ & =\sum_{k=0}^{j}c_{k}N^{m+k-j-1}\boldsymbol{x} \end{align*} となる。
最初に\(j=0\)を代入すると\(c_{0}=0\)となり、次に\(j=1\)を代入すると\(c_{1}=0\)となり、これを繰り返すと\(c_{0}=c_{1}=\cdots=c_{m-1}=0\)となる。
従って、\(\boldsymbol{x},N\boldsymbol{x},N^{2}\boldsymbol{x},\cdots,N^{m-1}\boldsymbol{x}\text{は}\)1次独立となり、題意は成り立つ。