(1)

階数は1次独立な列ベクトルの最大個数または1次独立な行ベクトルの最大個数なので、
\begin{align*} \rank\left(A\right) & =A\text{の1次独立な行ベクトルの最大個数}\\ & =A^{T}\text{の1次独立な列ベクトルの最大個数}\\ & =\rank\left(A^{T}\right) \end{align*} となるので\(\rank\left(A\right)=\rank\left(A^{T}\right)\)となる。

(2)

1次ベクトルな数ベクトルの複素共役をとっても1次独立なベクトルの数は変わらないので明らかに成り立つ。

(3)

\begin{align*} \rank\left(A^{*}\right) & =\rank\left(\overline{A}^{T}\right)\\ & =\rank\left(\overline{A}\right)\\ & =\rank\left(A\right) \end{align*}

(4)

\(A\)が零行列であるとき、明らかに\(\rank\left(A\right)=0\)となる。
また\(A\)が零行列でないとき、どこかの行に主成分が含まれるので、\(\rank\left(A\right)\ne0\)となる。
従って、\(A\)が零行列であることと、\(\rank\left(A\right)=0\)となることは同値であるので題意は成り立つ。

(5)

\(\Rightarrow\)

単位行列\(I_{n}\)は既に簡約化されている行列で明らかに\(\rank\left(I_{n}\right)=n\)となる。

逆は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(1\times1\)行列\(\left(2\right)\)は\(\rank\left(2\right)=1\)であるが単位行列ではない。
従って逆は一般的に成り立たない。

(6)

線形写像\(f:V^{m}\rightarrow V^{n}\)があるとき、単射であることと、\(\rank\left(f\right)=\dim\left(V^{m}\right)\)であることは同値なので、\(A\)が単射であることと、\(\rank\left(A\right)=n\)となることは同値である。
従って題意は成り立つ。

(7)

線形写像\(f:V^{m}\rightarrow V^{n}\)があるとき、全射であることと、\(\rank\left(f\right)=\dim\left(V^{n}\right)\)であることは同値なので、\(A\)が全射であることと、\(\rank\left(A\right)=m\)となることは同値である。
従って題意は成り立つ。

(8)

\(A\)が正方行列であるとき、\(\rank\left(A\right)=m=n\)であることと、\(A\)が全単射であることとは同値であり、\(A\)が全単射であることと\(A\)が逆行列をもつことは同値であるので\(A\)は正則であることと同値となる。
従って題意は成り立つ。

(9)

\(\Rightarrow\)

体\(K\)上で考え、行列\(A\)を\(m\times n\)行列とする。
条件より\(B\)が単射なので
\begin{align*} \rank\left(BA\right) & =\dim\im\left(BA\right)\\ & =\dim\left\{ \left(BA\right)\boldsymbol{x};\boldsymbol{x}\in K^{n}\right\} \\ & =\dim\left\{ B\left(A\boldsymbol{x}\right);\boldsymbol{x}\in K^{n}\right\} \\ & =\dim\left\{ A\boldsymbol{x};\boldsymbol{x}\in K^{n}\right\} \\ & =\dim\im\left(A\right)\\ & =\rank\left(A\right) \end{align*} となるので、\(\rank\left(BA\right)=\rank\left(A\right)\)が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\[ A=O_{1} \] \[ B=O_{1} \] とすると、
\begin{align*} \rank\left(BA\right) & =\rank\left(O_{1}O_{1}\right)\\ & =\rank\left(O_{1}\right)\\ & =0 \end{align*} \begin{align*} \rank\left(A\right) & =\rank\left(O_{1}\right)\\ & =0 \end{align*} なので、\(\rank\left(BA\right)=\rank\left(A\right)\)となるが、\(B\)は単射ではない。
従って逆は一般的に成り立たない。

(10)

\(\Rightarrow\)

体\(K\)上で考える。
\(A\)を\(m\times n\)行列、\(B\)を\(n\times k\)行列として、条件よりが\(B\)が全射なので、
\begin{align*} \rank\left(AB\right) & =\dim\im\left(AB\right)\\ & =\dim\left\{ \left(AB\right)\boldsymbol{x};\boldsymbol{x}\in K^{k}\right\} \\ & =\dim\left\{ A\left(B\boldsymbol{x}\right);\boldsymbol{x}\in K^{k}\right\} \\ & =\dim\left\{ A\boldsymbol{x}';\boldsymbol{x}'\in K^{n}\right\} \\ & =\dim\im\left(A\right)\\ & =\rank\left(A\right) \end{align*} となるので、\(\rank\left(AB\right)=\rank\left(A\right)\)が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\[ A=O_{1} \] \[ B=O_{1} \] とすると、
\begin{align*} \rank\left(AB\right) & =\rank\left(O_{1}O_{1}\right)\\ & =\rank\left(O_{1}\right)\\ & =0 \end{align*} \begin{align*} \rank\left(A\right) & =\rank\left(O_{1}\right)\\ & =0 \end{align*} なので、\(\rank\left(AB\right)=\rank\left(B\right)\)となるが、\(B\)は全射ではない。
従って逆は一般的に成り立たない。

(11)

\(\Rightarrow\)

\(B\)は正則なので全単射である。
従って、\(\rank\left(AB\right)=\rank\left(A\right)\)となる。
同様に\(C\)は正則なので全単射である。
従って、\(\rank\left(CA\right)=\rank\left(A\right)\)となる。
故に\(\Rightarrow\)が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\[ A=O_{1} \] \[ B=O_{1} \] \[ C=O_{1} \] とすると、
\begin{align*} \rank\left(AB\right) & =\rank\left(O_{1}O_{1}\right)\\ & =\rank\left(O_{1}\right)\\ & =0 \end{align*} \begin{align*} \rank\left(A\right) & =\rank\left(O_{1}\right)\\ & =0 \end{align*} \begin{align*} \rank\left(CA\right) & =\rank\left(O_{1}O_{1}\right)\\ & =\rank\left(O_{1}\right)\\ & =0 \end{align*} なので、\(\rank\left(AB\right)=\rank\left(A\right)\)となるが、\(B\)は正則ではない。
また、\(\rank\left(CA\right)=\rank\left(A\right)\)となるが、\(C\)は正則ではない。
従って逆は一般的に成り立たない。

(11)-2

\(\Rightarrow\)

(13)より、
\begin{align*} \rank\left(AB\right) & \leq\min\left(\rank\left(A\right),\rank\left(B\right)\right)\\ & \leq\rank\left(A\right) \end{align*} が成り立つ。
また、\(B\)は正則なので、
\begin{align*} \rank\left(A\right) & =\rank\left(AI\right)\\ & =\rank\left(ABB^{-1}\right)\\ & \leq\min\left(\rank\left(AB\right),\rank\left(B^{-1}\right)\right)\\ & \leq\rank\left(AB\right) \end{align*} となるので、
\[ \rank\left(AB\right)\leq\rank\left(A\right)\leq\rank\left(AB\right) \] となり
\[ \rank\left(AB\right)=\rank\left(A\right) \] が成り立つ。
同様に、\(C\)は正則なので、
\begin{align*} \rank\left(CA\right) & \leq\min\left(\rank\left(C\right),\rank\left(A\right)\right)\\ & \leq\rank\left(A\right)\\ & =\rank\left(IA\right)\\ & =\rank\left(C^{-1}CA\right)\\ & \leq\min\left(\rank\left(C^{-1}\right),\rank\left(CA\right)\right)\\ & \leq\rank\left(CA\right) \end{align*} となるので、
\[ \rank\left(CA\right)\leq\rank\left(A\right)\leq\rank\left(CA\right) \] となり
\[ \rank\left(CA\right)=\rank\left(A\right) \] が成り立つ。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

(12)

\(A\sim B\)より、ある正則行列\(P\)が存在し\(B=P^{-1}AP\)となるので\(\rank\left(B\right)=\rank\left(P^{-1}AP\right)\)となり、正則な行列を掛けても階数は変わらないので\(\rank\left(B\right)=\rank\left(P^{-1}AP\right)=\rank\left(A\right)\)となる。
従って与式は成り立つ。

(13)

階数は負の整数にはならないので非負整数となる。
\(\rank\left(A\right)\)は\(A\)の1次独立な行ベクトルの最大個数であり、行ベクトルは\(m\)個あるので\(\rank\left(A\right)\leq m\)となる。
同様に\(\rank\left(A\right)\)は\(A\)の1次独立な列ベクトルの最大個数であり、列ベクトルは\(n\)個あるので\(\rank\left(A\right)\leq n\)となる。
これらより、階数は非負整数であり、\(\rank\left(A\right)\leq\min\left(m,n\right)\)となるので題意は成り立つ。

(14)

\(A\)は\(m\times n\)行列、\(B\)は\(n\times k\)行列として、\(A=\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right),B=\left(\boldsymbol{b}_{1},\boldsymbol{b}_{2},\cdots,\boldsymbol{b}_{k}\right)\)と列ベクトルを使って表す。
また\(AB=C\)とおくと、\(C\)は\(m\times k\)行列となり\(C=\left(\boldsymbol{c}_{1},\boldsymbol{c}_{2},\cdots,\boldsymbol{c}_{k}\right)\)と列ベクトルを使って表す。
このとき、
\begin{align*} \left(C\right)_{ij} & =\left(AB\right)_{ij}\\ & =\sum_{l=1}^{n}\left(A\right)_{il}\left(B\right)_{lj}\\ & =\sum_{l=1}^{n}\boldsymbol{a}_{l,i}\boldsymbol{b}_{l,j} \end{align*} となり、これより、
\begin{align*} \rank\left(AB\right) & =\rank\left(C\right)\\ & =\rank\left(\boldsymbol{c}_{1},\boldsymbol{c}_{2},\cdots,\boldsymbol{c}_{k}\right)\\ & =\rank\left(\sum_{l=1}^{n}\boldsymbol{b}_{l,1}\boldsymbol{a}_{l},\sum_{l=1}^{n}\boldsymbol{b}_{l,2}\boldsymbol{a}_{l},\cdots,\sum_{l=1}^{n}\boldsymbol{b}_{l,k}\boldsymbol{a}_{l}\right)\\ & \leq\rank\left(\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right)\\ & =\rank\left(A\right) \end{align*} となる。
これを使うと、
\begin{align*} \rank\left(AB\right) & =\rank\left(\left(AB\right)^{T}\right)\\ & =\rank\left(B^{T}A^{T}\right)\\ & \leq\rank\left(B^{T}\right)\\ & =\rank\left(B\right) \end{align*} となる。
これらより、
\[ \rank\left(AB\right)\leq\min\left(\rank\left(A\right),\rank\left(B\right)\right) \] が成り立つ。

(15)

\begin{align*} \rank ABC & \leq\rank AB\\ & \leq\rank B \end{align*} \begin{align*} \rank ABC & \leq\rank BC\\ & \leq\rank B \end{align*} が成り立つ。
行列\(A,C\)は正則行列なので逆行列\(A^{-1},C^{-1}\)が存在するので、
\begin{align*} \rank B & =\rank A^{-1}ABCC^{-1}\\ & \leq\rank ABCC^{-1}\\ & \leq\rank ABC \end{align*} となる。
これより、
\[ \rank ABC\leq\rank B\leq\rank ABC \] が成り立つので、\(\rank ABC=\rank B\)が成り立ち、このとき、\(\rank ABC=\rank AB\)と\(\rank ABC=\rank BC\)も成り立つ。
従って、\(\rank ABC=\rank AB=\rank BC=\rank B\)が成り立つので題意は成り立つ。

(16)

\(\rank\left(A\right)=n-1\)のとき、\(A\)のある小行列は0ではないので\(\adj A\ne O\)となり、\(1\leq\rank\left(\adj\left(A\right)\right)\)となる。
また、\(\rank\left(A\right)=n-1\)より、\(\det A=0\)となるので、\(\left(\adj A\right)A=\det A=0\)となる。
このとき、\(\rank\left(A\right)=n-1\)なので独立な\(n-1\)個のベクトル\(\left\{ \boldsymbol{v}_{k}\right\} _{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n-1\right\} }\)に対し、\(\left(\adj A\right)\boldsymbol{v}_{k}=\boldsymbol{0}\)となるので、\(\ker\left(\adj A\right)\)の次元は\(n-1\leq\dim\ker\left(\adj A\right)\)となる。
従って、行列における次元定理より、
\begin{align*} \rank\left(\adj A\right) & =n-\dim\ker\adj A\\ & \leq n-\left(n-1\right)\\ & =1 \end{align*} となり、\(1\leq\rank\left(\adj\left(A\right)\right)\land\rank\left(\adj A\right)\leq1\)となるので\(\rank\left(\adj\left(A\right)\right)=1\)となる。
故に題意は成り立つ。

(17)

\(\Rightarrow\)

行列\(A\)を行基本変形により簡易化することは行基本変形の操作1つにつき正則な行列を左から掛けることと同値である。
簡易化した行列には主成分を含む列ベクトルには主成分しかないので、列基本変形により、主成分を含む行ベクトルには主成分しかないようにできる。
そうすると、元の行列\(A\)には主成分しか残らないので、列基本変形により列を入れ替えて対角成分の左上から順番に1がくるようにできる。
このとき、元の行列Aは
\[ \left(\begin{array}{cc} I_{r} & O\\ O & O \end{array}\right) \] の形になり、また、列基本変形をすることは操作1つにつき正則な行列を右から掛けていることと同値である。
これより、行基本変形により左から掛けた行列を順に\(X_{1},X_{2},\cdots,X_{p}\)として、\(X=X_{p}\cdots X_{2}X_{1}\)とすると、\(X\)は正則な行列となる。
同様に列基本変形により、右から掛けた行列を順に\(Y_{1},Y_{2},\cdots,Y_{q}\)として、\(Y=Y_{1}Y_{2}\cdots Y_{q}\)とすると、\(Y\)は正則な行列となる。
そうすると、
\begin{align*} XAY & =X_{p}\cdots X_{2}X_{1}AY_{1}Y_{2}\cdots Y_{q}\\ & =\left(\begin{array}{cc} I_{r} & O\\ O & O \end{array}\right) \end{align*} となるので\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

条件より、\(X,Y\)が正則で
\[ XAY=\left(\begin{array}{cc} I_{r} & O\\ O & O \end{array}\right) \] が成り立っているので、
\begin{align*} r & =\rank\left(\begin{array}{cc} I_{r} & O\\ O & O \end{array}\right)\\ & =\rank\left(XAY\right)\\ & =\rank\left(A\right) \end{align*} となるので\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので、\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(18)

略

(19)

略

(20)

略