(1)

\(n\)次対角行列\(\diag\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right),\diag\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right)\)について考える。
和については、
\begin{align*} \left(\diag\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)+\diag\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right)\right)_{i,j} & =a_{i}\delta_{i,j}+b_{i}\delta_{i,j}\\ & =\left(\diag\left(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\cdots,a_{n}+b_{n}\right)\right)_{i,j} \end{align*} となり、積については、
\begin{align*} \left(\diag\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\diag\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right)\right)_{i,j} & =\sum_{k=1}^{n}a_{i}\delta_{i,k}b_{k}\delta_{k,j}\\ & =a_{i}b_{i}\delta_{i,j}\\ & =\left(\diag\left(a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\cdots,a_{n}b_{n}\right)\right)_{i,j} \end{align*} となる。
従って題意は成り立つ。

(2)

\(A=\diag\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right),B=\diag\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right)\)を\(n\)次対角行列とする。
\begin{align*} \left(AB\right)_{i,j} & =\left(\diag\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\diag\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right)\right)_{i,j}\\ & =\sum_{k=1}^{n}a_{i}\delta_{i,k}b_{k}\delta_{k,j}\\ & =a_{i}b_{i}\delta_{i,j}\\ & =b_{i}a_{i}\delta_{i,j}\\ & =\sum_{k=1}^{n}b_{i}\delta_{i,k}a_{k}\delta_{k,j}\\ & =\left(\diag\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\diag\left(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right)\right)_{i,j}\\ & =\left(BA\right)_{i,j} \end{align*} 従って題意は成り立つ。

(3)

\(\Rightarrow\)

\[ \left(\diag\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\right)_{i,j}=\left(\diag\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\right)_{j,i} \] となるので明らか。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\[ \left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array}\right) \] は対称行列であるが対角行列ではない。
従って逆は一般的に成り立たない。

(4)

\(\Rightarrow\)

\(A\)を対角行列とすると、\(A^{*}\)も対角行列で対角行列同士の積は可換なので、\(AA^{*}-A^{*}A=AA^{*}-AA^{*}=O\)となるので正規行列になる。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\[ \left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array}\right) \] は正規行列であるが対角行列ではない。
従って逆は一般的に成り立たない。

(5)

\(\Rightarrow\)

\(A\)を\(n\)次対角行列とする。
\[ i<j\Rightarrow\left(\diag\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\right)_{i,j}=0 \] \[ j<i\Rightarrow\left(\diag\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\right)_{i,j}=0 \] となるので上3角行列かつ下3角行列となる。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\[ \left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right) \] は上3角行列であるが対角行列ではない。
また、
\[ \left(\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{array}\right) \] は下3角行列であるが対角行列ではない。
従って逆は一般的に成り立たない。

(6)

\(\Rightarrow\)

\(n\)次実対角行列について、
\begin{align*} \left(\diag\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\right)^{*} & =\overline{\left(\diag\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\right)^{T}}\\ & =\overline{\left(\diag\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right)\right)}\\ & =\diag\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right) \end{align*} となるのでエルミート行列となる。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\[ \left(\begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array}\right) \] はエルミート行列であるが実対角行列ではない。
従って逆は一般的に成り立たない。