(1)

\(\Rightarrow\)

正方行列\(A\)はユニタリ行列によって3角化可能なので、あるユニタリ行列が存在し\(U^{-1}AU\)を3角行列にできる。
このとき、
\begin{align*} U^{-1}AU\left(U^{-1}AU\right)^{*} & =U^{*}AU\left(U^{*}AU\right)^{*}\\ & =U^{*}AUU^{*}A^{*}U\\ & =U^{*}AA^{*}U\\ & =U^{*}A^{*}AU\\ & =U^{*}A^{*}UU^{*}AU\\ & =\left(U^{*}AU\right)^{*}U^{*}AU\\ & =\left(U^{-1}AU\right)^{*}U^{*}AU \end{align*} となるので、\(U^{-1}AU\)も正規行列となる。
これより、\(U^{-1}AU\)は正規行列で3角行列であるので対角行列となる。
従って正規行列はユニタリ行列で対角化できるので\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

条件より、ユニタリ行列で対角化できるので行列\(A\)をユニタリ行列\(U\)で対角化して\(B=U^{-1}AU\)となるとする。
このとき、\(A=UBU^{-1}\)となり、\(B\)は対角行列なので\(BB^{*}=B^{*}B\)となるので、
\begin{align*} AA^{*} & =UBU^{-1}\left(UBU^{-1}\right)^{*}\\ & =UBU^{*}\left(UBU^{*}\right)^{*}\\ & =UBU^{*}UB^{*}U^{*}\\ & =UBB^{*}U^{*}\\ & =UB^{*}BU^{*}\\ & =UB^{*}U^{*}UBU^{*}\\ & =\left(UBU^{*}\right)^{*}UBU^{*}\\ & =A^{*}A \end{align*} となり、\(A\)は正規行列となる。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(2)

\(A\)を正規行列で上3角行列ととる。
上3角行列なので\(j<i\rightarrow A_{ij}=0\)となり正規行列なので\(AA^{*}=A^{*}A\)となる。
\begin{align*} \left(AA^{*}\right)_{ii} & =\sum_{k=1}^{n}A_{ik}\left(A^{*}\right)_{ki}\\ & =\sum_{k=1}^{n}A_{ik}\overline{A}_{ik}\\ & =\sum_{k=1}^{n}\left|A_{ik}\right|^{2}\\ & =\sum_{k=i}^{n}\left|A_{ik}\right|^{2} \end{align*} \begin{align*} \left(A^{*}A\right)_{ii} & =\sum_{k=1}^{n}\left(A^{*}\right)_{ik}A_{ki}\\ & =\sum_{k=1}^{n}\overline{A}_{ki}A_{ki}\\ & =\sum_{k=1}^{n}\left|A_{ki}\right|^{2}\\ & =\sum_{k=1}^{i}\left|A_{ki}\right|^{2} \end{align*} となるので、
\[ \sum_{k=i}^{n}\left|A_{ik}\right|^{2}=\sum_{k=1}^{i}\left|A_{ki}\right|^{2} \] となるので、
\[ \sum_{k=i+1}^{n}\left|A_{ik}\right|^{2}=\sum_{k=1}^{i-1}\left|A_{ki}\right|^{2} \] となる。
\(i=1\)を代入すると、
\[ \sum_{k=2}^{n}\left|A_{1k}\right|^{2}=0 \] となるので
\[ k\in\left\{ 2,3,\cdots n\right\} \rightarrow A_{1k}=0 \] となる。
\(i=2\)を代入すると、
\begin{align*} \sum_{k=3}^{n}\left|A_{2,k}\right|^{2} & =\left|A_{1,2}\right|^{2}\\ & =0 \end{align*} となるので
\[ k\in\left\{ 3,4,\cdots n\right\} \rightarrow A_{2,k}=0 \] となる。
同様に
\[ k\in\left\{ j+1,j+2,\cdots,n\right\} \rightarrow A_{j,k}=0 \] となるので下3角行列となる。
これより、上3角行列かつ下3角行列なので対角行列となる。
同様に\(A\)を正規行列で下3角行列ととった場合も下3角行列かつ上3角行列なので対角行列となる。
従って正規行列が3角行列ならば対角行列となり題意は成り立つ。

(3)

\(\Rightarrow\)

条件より\(A\)は正規行列であるので、あるユニタリ行列\(U\)が存在し、\(U^{-1}AU\)は対角行列にとれる。
また3角行列の対角成分は固有値であるので、\(U^{-1}AU=\diag\left(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\right)\)となる。
これより、
\begin{align*} \tr\left(A^{*}A\right) & =\tr\left(U^{-1}A^{*}UU^{-1}AU\right)\\ & =\tr\left(\left(U^{-1}AU\right)^{*}U^{-1}AU\right)\\ & =\tr\left(\diag\left(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\right)^{*}\diag\left(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\right)\right)\\ & =\tr\left(\diag\left(\overline{\lambda_{1}},\overline{\lambda_{2}},\cdots,\overline{\lambda_{n}}\right)\diag\left(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\right)\right)\\ & =\tr\left(\diag\left(\left|\lambda_{1}\right|^{2},\left|\lambda_{2}\right|^{2},\cdots,\left|\lambda_{n}\right|^{2}\right)\right)\\ & =\sum_{k=1}^{n}\left|\lambda_{k}\right|^{2} \end{align*} となるので与式は成り立つ。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

対偶で示す。
すなわち、\(n\)次正方行列が正規行列\(A\)でないならば、\(\tr\left(A^{*}A\right)\ne\sum_{k=1}^{n}\left|\lambda_{k}\right|^{2}\)となることを示せばいい。
任意の行列はあるユニタリ行列が存在し、3角行列と相似である。
これより、\(A\)は正規行列でないので、あるユニタリ行列\(U\)が存在し、\(B=U^{-1}AU\)は対角行列ではない上3角行列にとれる。
このとき、\(B=\left(b_{i,j}\right)\)とおくと、\(b_{k,k}=\lambda_{k}\)となり、\(B\)は対角行列ではない上3角行列なので、ある\(i<j\)が存在し、\(b_{i,j}\ne0\)なので、
\begin{align*} \tr\left(A^{*}A\right) & =\tr\left(U^{-1}A^{*}UU^{-1}AU\right)\\ & =\tr\left(\left(U^{-1}AU\right)^{*}U^{-1}AU\right)\\ & =\tr\left(B^{*}B\right)\\ & =\tr\left(\left(\begin{array}{cccc} \overline{b_{1,1}} & 0 & \cdots & 0\\ \overline{b_{1,2}} & \overline{b_{2,2}} & \ddots & 0\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots\\ \overline{b_{1,n}} & \overline{b_{2,n}} & \cdots & \overline{b_{n,n}} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc} b_{1,1} & b_{1,2} & \cdots & b_{1,n}\\ 0 & b_{2,2} & \ddots & b_{2,n}\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \ddots & b_{n,n} \end{array}\right)\right)\\ & =\tr\left(\left(\begin{array}{cccc} \left|b_{1,1}\right|^{2} & * & \cdots & *\\ * & \left|b_{1,2}\right|^{2}+\left|b_{2,2}\right|^{2} & \ddots & *\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots\\ * & * & \cdots & \sum_{k=1}^{n}\left|b_{k,n}\right|^{2} \end{array}\right)\right)\\ & =\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{j}\left|b_{k,j}\right|^{2}\\ & =\sum_{j=1}^{n}\left(\sum_{k=1}^{j-1}\left|b_{k,j}\right|^{2}+\left|b_{j,j}\right|^{2}\right)\\ & =\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{j-1}\left|b_{k,j}\right|^{2}+\sum_{j=1}^{n}\left|\lambda_{j}\right|^{2}\\ & >\sum_{j=1}^{n}\left|\lambda_{j}\right|^{2}\cmt{\exists i<j,b_{i,j}\ne0} \end{align*} となる。
これより、\(\tr\left(A^{*}A\right)\ne\sum_{k=1}^{n}\left|\lambda_{k}\right|^{2}\)となる。
従って、対偶が示され\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので、\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(4)

\(\Rightarrow\)

正規行列を\(A\)とする。
正規行列はユニタリ行列\(U\)で対角化できるので\(B=U^{-1}AU\)と対角化をする。
このとき、相似な行列の固有値は等しく、3角行列の固有値は対角成分と等しいので、\(B\)の対角成分は\(A\)の固有値であり条件より固有値の絶対値は1なので\(BB^{*}=B^{*}B=I\)となる。
これより、
\begin{align*} AA^{*} & =UBU^{-1}\left(UBU^{-1}\right)^{*}\\ & =UBU^{*}\left(UBU^{*}\right)^{*}\\ & =UBU^{*}\left(UB^{*}U^{*}\right)\\ & =UBB^{*}U^{*}\\ & =UU^{*}\\ & =I \end{align*} 同様に
\begin{align*} A^{*}A & =\left(UBU^{-1}\right)^{*}UBU^{-1}\\ & =\left(UBU^{*}\right)^{*}UBU^{*}\\ & =UB^{*}U^{*}UBU^{*}\\ & =UB^{*}BU^{*}\\ & =UU^{*}\\ & =I \end{align*} となる。
これより、\(AA^{*}=A^{*}A=I\)となるので\(A\)はユニタリ行列となる。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

ユニタリ行列\(U\)の固有値を\(\lambda\)固有ベクトルを\(\boldsymbol{x}\)とする。
\begin{align*} \left\langle U\boldsymbol{x},U\boldsymbol{x}\right\rangle & =\left\langle \lambda\boldsymbol{x},\lambda\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & =\lambda\overline{\lambda}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & =\left|\lambda\right|^{2}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \end{align*} \begin{align*} \left\langle U\boldsymbol{x},U\boldsymbol{x}\right\rangle & =\left\langle \boldsymbol{x},U^{*}U\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \end{align*} となるので、
\[ \left(\left|\lambda\right|^{2}-1\right)\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle =0 \] となり、\(\boldsymbol{x}\)は固有ベクトルなので\(\boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{0}\)であり、正値性より\(0\leq\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \)なので\(\left|\lambda\right|^{2}-1=0\)、すなわち\(\left|\lambda\right|^{2}=1\)となる。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(5)

\(\Rightarrow\)

正規行列\(A\)の異なる固有値を\(\lambda_{1},\lambda_{2}\)としてそれぞれの固有ベクトルを\(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}\)とする。
このとき、正規行列なので、\(A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}\Leftrightarrow A^{*}\boldsymbol{x}=\overline{\lambda}\boldsymbol{x}\)となるので、
\begin{align*} \lambda_{1}\left\langle \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}\right\rangle & =\left\langle \lambda_{1}\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}\right\rangle \\ & =\left\langle A\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{x}_{1},A^{*}\boldsymbol{x}_{2}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{x}_{1},\overline{\lambda_{2}}\boldsymbol{x}_{2}\right\rangle \\ & =\lambda_{2}\left\langle \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}\right\rangle \end{align*} となる。
これより、
\[ \left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right)\left\langle \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}\right\rangle =0 \] となり、\(\lambda_{1}\ne\lambda_{2}\)なので、\(\left\langle \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}\right\rangle =0\)となり、\(\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2}\)は直交する。
従って題意は成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\[ A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ -1 & 3 \end{array}\right) \] とすると固有多項式は
\begin{align*} \det\left(\lambda I-A\right) & =\left(\begin{array}{cc} \lambda-1 & -1\\ 1 & \lambda-3 \end{array}\right)\\ & =\left(\lambda-1\right)\left(\lambda-3\right)-\left(-1\right)1\\ & =\lambda^{2}-4\lambda+4\\ & =\left(\lambda-2\right)^{2} \end{align*} となるので、固有値は2のみとなるので、異なる固有値は直交している。
しかし
\begin{align*} A^{*}A-AA^{*} & =\left(\begin{array}{cc} 1 & -1\\ 1 & 3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ -1 & 3 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ -1 & 3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & -1\\ 1 & 3 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 2 & -2\\ -2 & 10 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc} 2 & 2\\ 2 & 10 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 0 & -4\\ -4 & 0 \end{array}\right)\\ & \ne0 \end{align*} となるので正規行列でない。
従って逆は一般的に成り立たない。

(6)

\(\Rightarrow\)

\(A\)が正規行列であるとき、\(A^{*}A=AA^{*}\)なので、
\begin{align*} \left(A+\alpha I\right)^{*}\left(A+\alpha I\right) & =\left(A^{*}+\overline{\alpha}I\right)\left(A+\alpha I\right)\\ & =A^{*}A+\alpha A^{*}+\overline{\alpha}A+\overline{\alpha}\alpha I\\ & =AA^{*}+\overline{\alpha}A+\alpha A^{*}+\alpha\overline{\alpha}I\\ & =A\left(A^{*}+\overline{\alpha}\right)+\alpha I\left(A^{*}+\overline{\alpha}I\right)\\ & =\left(A+\alpha I\right)\left(A^{*}+\overline{\alpha}I\right) \end{align*} となるので、\(A+\alpha I\)は正規行列となる。

\(\Leftarrow\)

\(\Rightarrow\)と同様にすればいい。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(7)

\(\Rightarrow\)

\(A\)を正規行列とする。
エルミート成分は\(\frac{1}{2}\left(A+A^{*}\right)\)で反エルミート成分は\(\frac{1}{2}\left(A-A^{*}\right)\)であるので、
\begin{align*} \left[\frac{1}{2}\left(A+A^{*}\right),\frac{1}{2}\left(A-A^{*}\right)\right] & =\frac{1}{4}\left[A+A^{*},A-A^{*}\right]\\ & =\frac{1}{4}\left(\left[A,A\right]+\left[A,-A^{*}\right]+\left[A^{*},A\right]+\left[A^{*},-A^{*}\right]\right)\\ & =\frac{1}{4}\left(-\left[A,A^{*}\right]+\left[A^{*},A\right]\right)\\ & =\frac{1}{4}\left(\left[A^{*},A\right]+\left[A^{*},A\right]\right)\\ & =\frac{1}{2}\left[A^{*},A\right]\\ & =\frac{1}{2}\left(A^{*}A-AA^{*}\right)\\ & =0 \end{align*} となるので、\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

条件より、エルミート成分と反エルミート成分は交換可能であるので、\(\Rightarrow\)と同じようにして、
\begin{align*} 0 & =\left[\frac{1}{2}\left(A+A^{*}\right),\frac{1}{2}\left(A-A^{*}\right)\right]\\ & =\frac{1}{2}\left(AA^{*}-AA^{*}\right) \end{align*} となるので、\(AA^{*}-AA^{*}=0\)となり、\(AA^{*}=AA^{*}\)となるので\(A\)は正規行列となる。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(8)

\(\Rightarrow\)

正規行列を\(A\)とする。
正規行列はユニタリ行列\(U\)で対角化できるので\(B=U^{-1}AU\)と対角化する。
このとき、相似な行列の固有値は等しく、3角行列の固有値は対角成分と等しいので、固有値が実数という条件より、\(B=B^{*}\)となる。
これより、
\begin{align*} A^{*} & =\left(UBU^{-1}\right)^{*}\\ & =\left(UBU^{*}\right)^{*}\\ & =UB^{*}U^{*}\\ & =UBU^{*}\\ & =A \end{align*} となるので\(A\)はエルミート行列となる。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

エルミート行列ならば固有値が全て実数であり、エルミート行列ならば正規行列である。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので、\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(9)

\(\Rightarrow\)

正規行列を\(A\)とする。
正規行列はユニタリ行列\(U\)で対角化できるので\(B=U^{-1}AU\)と対角化する。
このとき、相似な行列の固有値は等しく、3角行列の固有値は対角成分と等しいので、固有値が純虚数という条件より、\(B=-B^{*}\)となる。
これより、
\begin{align*} A^{*} & =\left(UBU^{-1}\right)^{*}\\ & =\left(UBU^{*}\right)^{*}\\ & =UB^{*}U^{*}\\ & =-UBU^{*}\\ & =A \end{align*} となるので\(A\)は反エルミート行列となる。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

反エルミート行列の固有値は全て純虚数であり、反エルミート行列ならば正規行列である。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので、\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(10)

\(\Rightarrow\)

次の2つを使う。
\(A\)が正規行列であることと、\(A+\alpha I\)が正規行列であることは同値である。
\(A\)が正規行列であることと、\(\left\Vert A\boldsymbol{x}\right\Vert =\left\Vert A^{*}\boldsymbol{x}\right\Vert \)となることは同値である。
まず、\(A\)が正規行列ならば\(A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}\Rightarrow A^{*}\boldsymbol{x}=\overline{\lambda}\boldsymbol{x}\)が成り立つことを証明する。
\(A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}\)のとき、
\begin{align*} 0 & =\left\Vert \left(A-\lambda I\right)\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}\\ & =\left\Vert \left(A-\lambda I\right)^{*}\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}\cmt{\because A-\lambda I\text{は正規行列}}\\ & =\left\Vert \left(A^{*}-\overline{\lambda}I\right)\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2} \end{align*} となる。
これより、\(\left(A^{*}-\overline{\lambda}I\right)\boldsymbol{x}=0\)となり、\(A^{*}\boldsymbol{x}=\overline{\lambda}\boldsymbol{x}\)となるので、\(A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}\Rightarrow A^{*}\boldsymbol{x}=\overline{\lambda}\boldsymbol{x}\)が成り立つ。
\(A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}\Leftarrow A^{*}\boldsymbol{x}=\overline{\lambda}\boldsymbol{x}\)も同様である。
これより、\(A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}\Leftrightarrow A^{*}\boldsymbol{x}=\overline{\lambda}\boldsymbol{x}\)が成り立つ。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\(A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}\Leftrightarrow A^{*}\boldsymbol{x}=\overline{\lambda}\boldsymbol{x}\)であるとき、\(\left\Vert A\boldsymbol{x}\right\Vert =\)\(\left\Vert \lambda\boldsymbol{x}\right\Vert =\left|\lambda\right|\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert =\left|\overline{\lambda}\right|\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert =\left\Vert \overline{\lambda}\boldsymbol{x}\right\Vert =\left\Vert A^{*}\boldsymbol{x}\right\Vert \)となる。
また、\(A\)が正規行列であることと、\(\left\Vert A\boldsymbol{x}\right\Vert =\left\Vert A^{*}\boldsymbol{x}\right\Vert \)となることは同値であるので、\(A\)は正規行列となる。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(11)

\(\Rightarrow\)

条件より\(A\)は正規行列であるので\(AA^{*}=A^{*}A\)となり、
\begin{align*} \left\langle A\boldsymbol{x},A\boldsymbol{x}\right\rangle & =\left\langle \boldsymbol{x},A^{*}A\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{x},AA^{*}\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & =\left\langle A^{*}\boldsymbol{x},A^{*}\boldsymbol{x}\right\rangle \end{align*} となる。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\begin{align*} \left\langle \boldsymbol{x},AA^{*}\boldsymbol{y}\right\rangle & =\left\langle A^{*}\boldsymbol{x},A^{*}\boldsymbol{y}\right\rangle \\ & =\left\langle A\boldsymbol{x},A\boldsymbol{y}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{x},A^{*}A\boldsymbol{y}\right\rangle \end{align*} となり、任意の\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\)に対し成り立つので\(AA^{*}=AA^{*}\)となるので\(A\)は正規行列となる。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(12)

\(\Rightarrow\)

条件より\(A\)は正規行列であるので\(AA^{*}=A^{*}A\)となり、
\begin{align*} \left\Vert A\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2} & =\left\langle A\boldsymbol{x},A\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{x},A^{*}A\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{x},AA^{*}\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & =\left\langle A^{*}\boldsymbol{x},A^{*}\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & =\left\Vert A^{*}\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2} \end{align*} となる。
\(0\leq\left\Vert A\boldsymbol{x}\right\Vert ,0\leq\left\Vert A^{*}\boldsymbol{x}\right\Vert \)なので\(\left\Vert A\boldsymbol{x}\right\Vert =\left\Vert A^{*}\boldsymbol{x}\right\Vert \)となる。
故に\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

条件より、\(\left\Vert A\boldsymbol{x}\right\Vert =\left\Vert A^{*}\boldsymbol{x}\right\Vert \)なので左辺の2乗は
\begin{align*} \left\Vert A\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2} & =\left\langle A\boldsymbol{x},A\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{x},A^{*}A\boldsymbol{x}\right\rangle \end{align*} となり、右辺の2乗は
\begin{align*} \left\Vert A^{*}\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2} & =\left\langle A^{*}\boldsymbol{x},A^{*}\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{x},AA^{*}\boldsymbol{x}\right\rangle \end{align*} となる。
これより、
\[ \left\langle \boldsymbol{x},A^{*}A\boldsymbol{x}\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{x},AA^{*}\boldsymbol{x}\right\rangle \] となり、移項すると、
\begin{align*} 0 & =\left\langle \boldsymbol{x},A^{*}A\boldsymbol{x}\right\rangle -\left\langle \boldsymbol{x},AA^{*}\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{x},\left(A^{*}A-AA^{*}\right)\boldsymbol{x}\right\rangle \end{align*} となり、任意の\(x\)に対し成り立つには\(A^{*}A-AA^{*}=O\)なので、\(A^{*}A=AA^{*}\)となるので\(A\)は正規行列となる。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(12)-2

\(\mathbb{C}\)上での証明をする。
\(A\)を\(n\times n\)行列とする。
このとき、
\begin{align*} A^{*}A=AA^{*} & \Leftrightarrow A^{*}A-AA^{*}=O\\ & \Leftrightarrow\forall\boldsymbol{x}\in K^{n},\left\langle \left(A^{*}A-AA^{*}\right)\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle =0\cmt{\because\mathbb{C}\text{上では}A=O\Leftrightarrow\forall\boldsymbol{x}\in\mathbb{C}^{n},\left\langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle =0}\\ & \Leftrightarrow\forall\boldsymbol{x}\in K^{n},\left\langle A^{*}A\boldsymbol{x}-AA^{*}\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle =0\\ & \Leftrightarrow\forall\boldsymbol{x}\in K^{n},\left\langle A^{*}A\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle =\left\langle AA^{*}\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & \Leftrightarrow\forall\boldsymbol{x}\in K^{n},\left\langle A\boldsymbol{x},A\boldsymbol{x}\right\rangle =\left\langle A^{*}\boldsymbol{x},A^{*}\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & \Leftrightarrow\forall\boldsymbol{x}\in K^{n},\left\Vert A\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}=\left\Vert A^{*}\boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}\\ & \Leftrightarrow\forall\boldsymbol{x}\in K^{n},\left\Vert A\boldsymbol{x}\right\Vert =\left\Vert A^{*}\boldsymbol{x}\right\Vert \end{align*} となるので、題意は成り立つ。