集合族の和集合と積集合の定義と性質

集合族の和集合と積集合の定義
集合族\(\mathcal{A}=\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)が与えられているとする。
このとき、集合族の和集合と積集合を以下で定義する。

(1)集合族の和集合

\[ \bigcup\mathcal{A}=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\left\{ x;\exists\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\right\} \]

(2)集合族の積集合

\[ \bigcap\mathcal{A}=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\left\{ x;\forall\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\right\} \]
集合族の和集合と積集合の性質

(1)

集合族\(\mathcal{A}\)があるとき、任意の集合\(A\in\mathcal{A}\)と元\(a\in A\)について、\(a\in\bigcup\mathcal{A}\)が成り立つ。

(2)

集合族\(\mathcal{A}\)があるとき、任意の集合\(A\in\mathcal{A}\)について、\(A\subseteq\bigcup\mathcal{A}\)が成り立つ。

(3)

集合族\(\mathcal{A}\)があるとき、任意の元\(a\in\bigcup\mathcal{A}\)について、ある集合\(A\in\mathcal{A}\)が存在し、\(a\in A\)となる。

(4)

\(a\in A\in\mathcal{A}\)ならば\(a\in\bigcup\mathcal{A}\)となる。
逆は一般的に成り立たない。

(1)

\(\mathcal{A}=\left\{ \left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,c\right\} ,\left\{ a,d\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \)とすると、
\[ \bigcup\mathcal{A}=\left\{ a,b\right\} \cup\left\{ a,c\right\} \cup\left\{ a,d\right\} \cup\left\{ a,b,c\right\} =\left\{ a,b,c,d\right\} \] \[ \bigcap\mathcal{A}=\left\{ a,b\right\} \cap\left\{ a,c\right\} \cap\left\{ a,d\right\} \cap\left\{ a,b,c\right\} =\left\{ a\right\} \] となる。

(1)

集合族\(\mathcal{A}\)の和集合と積集合は次のように表すこともできる。
\[ \bigcup\mathcal{A}=\left\{ x;\exists A\in\mathcal{A},x\in A\right\} \] \[ \bigcap\mathcal{A}=\left\{ x;\forall A\in\mathcal{A},x\in A\right\} \]

(1)

任意の集合\(A\in\mathcal{A}\)と元\(a\in A\)を選ぶ。
このとき、
\begin{align*} \bigcup\mathcal{A} & =\left\{ x;\exists A\in\mathcal{A},x\in A\right\} \\ & \ni a\cmt{\because A\in\mathcal{A}\text{かつ}a\in A} \end{align*} となる。
これより、任意の集合\(A\in\mathcal{A}\)と元\(a\in A\)について、\(a\in\bigcup\mathcal{A}\)が成り立つ。
従って、題意は成り立つ。

(2)

任意の集合\(A\in\mathcal{A}\)を選ぶ。
このとき、任意の元\(a\in A\)について、\(a\in A\)かつ\(A\in\mathcal{A}\)であるので、\(a\in\bigcup\mathcal{A}\)が成り立つ。
従って、\(A\subseteq\bigcup\mathcal{A}\)が成り立つ。
故に題意は成り立つ。

(3)

任意の元\(a\in\bigcup\mathcal{A}\)を選ぶ。
このとき、
\begin{align*} a & \in\bigcup\mathcal{A}\\ & =\left\{ x;\exists A\in\mathcal{A},x\in A\right\} \end{align*} となるので、ある集合\(A\in\mathcal{A}\)が存在し、\(a\in A\)となる。
従って、題意は成り立つ。

(4)

\(\Rightarrow\)

\(a\in A\in\mathcal{A}\)であるとき、\(a\in A\)かつ\(A\in\mathcal{A}\)であるので、
\begin{align*} \bigcup\mathcal{A} & =\left\{ x;\exists A\in\mathcal{A},x\in A\right\} \\ & \ni a\cmt{\because A\in\mathcal{A}\text{かつ}a\in A} \end{align*} となる。
従って、\(\Rightarrow\)が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(a\in\bigcup\mathcal{A}\)が成り立っていても\(a\notin\emptyset\)なので\(a\in\emptyset\in\mathcal{A}\)は成り立たない。
従って逆は一般的に成り立たない。