集合族の和集合と積集合の定義
集合族の和集合と積集合の定義
集合族\(\mathcal{A}=\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)が与えられているとする。
このとき、集合族の和集合と積集合を以下で定義する。
集合族\(\mathcal{A}=\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)が与えられているとする。
このとき、集合族の和集合と積集合を以下で定義する。
(1)集合族の和集合
\[ \bigcup\mathcal{A}=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\left\{ x;\exists\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\right\} \](2)集合族の積集合
\[ \bigcap\mathcal{A}=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\left\{ x;\forall\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\right\} \]\(\mathcal{A}=\left\{ \left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,c\right\} ,\left\{ a,d\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \)とすると、
\[ \bigcup\mathcal{A}=\left\{ a,b\right\} \cup\left\{ a,c\right\} \cup\left\{ a,d\right\} \cup\left\{ a,b,c\right\} =\left\{ a,b,c,d\right\} \] \[ \bigcap\mathcal{A}=\left\{ a,b\right\} \cap\left\{ a,c\right\} \cap\left\{ a,d\right\} \cap\left\{ a,b,c\right\} =\left\{ a\right\} \] となる。
\[ \bigcup\mathcal{A}=\left\{ a,b\right\} \cup\left\{ a,c\right\} \cup\left\{ a,d\right\} \cup\left\{ a,b,c\right\} =\left\{ a,b,c,d\right\} \] \[ \bigcap\mathcal{A}=\left\{ a,b\right\} \cap\left\{ a,c\right\} \cap\left\{ a,d\right\} \cap\left\{ a,b,c\right\} =\left\{ a\right\} \] となる。
ページ情報
| タイトル | 集合族の和集合と積集合の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/jz5cse2b/ |
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0ベクトルとの内積
\[
\left\langle \boldsymbol{0},\boldsymbol{x}\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{0}\right\rangle =0
\]
パーセバルの等式
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \right|^{2}=\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}
\]
ベッセルの不等式
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \right|^{2}\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}
\]
(*)完全正規直交系と同値な条件
\[
\forall\boldsymbol{x}\in H,\boldsymbol{x}=\sum_{k}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \boldsymbol{e}_{k}
\]