(1)

\(t\)が実数全体を動くとき、直線\(y=2tx-t^{2}\)の通過領域を求める。

順像法

\(x\)を固定すると、
\begin{align*} y & =2tx-t^{2}\\ & =-\left(t-x\right)^{2}+x^{2}\\ & \leq x^{2} \end{align*} となるので\(y\leq x^{2}\)が通過領域となる。

逆像法

求める通過領域を\(\left(X,Y\right)\)とする。
このとき、
\[ t^{2}-2Xt+Y=0 \] となるので実数\(t\)が存在するには判別式\(D\)が\(0\leq D\)であればいいので
\begin{align*} 0 & \leq D\\ & =4X^{2}-4Y\\ & =4\left(X^{2}-Y\right) \end{align*} となり、
\[ Y\leq X^{2} \] となる。
従って、求める通過領域は\(y\leq x^{2}\)となる。

(2)

\(t\)が\(-2\leq t\leq2\)を動くとき、直線\(y=2tx-t^{2}\)の通過領域を求める。

順像法

\(x\)を固定して\(y=f\left(t\right)\)とおくと、
\begin{align*} f\left(t\right) & =y\\ & =2tx-t^{2}\\ & =-\left(t-x\right)^{2}+x^{2} \end{align*} となる。

\(x<-2\)のとき

\(t=-2\)で最大値、\(t=2\)で最小値になるので
\[ f\left(2\right)\leq y\leq f\left(-2\right)\Leftrightarrow-4+4x\leq y\leq-4-4x \] となる。

\(-2\leq x<0\)のとき

\(t=x\)で最大値、\(t=2\)で最小値になるので
\[ f\left(2\right)\leq y\leq f\left(x\right)\Leftrightarrow-4+4x\leq y\leq x^{2} \] となる。

\(0\leq x<2\)のとき

\(t=x\)で最大値、\(t=-2\)で最小値になるので
\[ f\left(-2\right)\leq y\leq f\left(x\right)\Leftrightarrow-4-4x\leq y\leq x^{2} \] となる。

\(2\leq x\)のとき

\(t=2\)で最大値、\(t=-2\)で最小値になるので
\[ f\left(-2\right)\leq y\leq f\left(2\right)\Leftrightarrow-4-4x\leq y\leq-4+4x \] となる。

-

これらより、
\[ \begin{cases} -4+4x\leq y\leq-4-4x & x<-2\\ -4+4x\leq y\leq x^{2} & -2\leq x<0\\ -4-4x\leq y\leq x^{2} & 0\leq x<2\\ -4-4x\leq y\leq-4+4x & 2\leq x \end{cases} \] となる。

逆像法

求める通過領域を\(\left(X,Y\right)\)として、\(f\left(t\right)=Y+t^{2}-2tX\)とおく。
このとき、
\begin{align*} 0 & =f\left(t\right)\\ & =Y+t^{2}-2tX\\ & =\left(t-X\right)^{2}-X^{2}+Y \end{align*} となる\(t\)が存在する\(X,Y\)を求めればいい。
これより、\(f\left(t\right)\)の最大値が0以上で\(f\left(t\right)\)が0以下なら\(f\left(t\right)=0\)となる\(t\)が存在する。

\(X<-2\)のとき、

\(t=-2\)で最小値、\(t=2\)で最大値になるので、
\begin{align*} f\left(-2\right)\leq0\land0\leq f\left(2\right) & \Leftrightarrow Y+4+4X\leq0\land0\leq Y+4-4X\\ & \Leftrightarrow Y\leq-4-4X\land-4+4X\leq Y\\ & \Leftrightarrow-4+4X\leq Y\leq-4-4X \end{align*} となる。

\(-2\leq X<0\)のとき、

\(t=X\)で最小値、\(t=2\)で最大値になるので、
\begin{align*} f\left(X\right)\leq0\land0\leq f\left(2\right) & \Leftrightarrow Y+X^{2}-2X^{2}\leq0\land0\leq Y+4-4X\\ & \Leftrightarrow Y\leq X^{2}\land-4+4X\leq Y\\ & \Leftrightarrow-4+4X\leq Y\leq X^{2} \end{align*} となる。

\(0\leq X<2\)のとき、

\(t=X\)で最小値、\(t=-2\)で最大値になるので、
\begin{align*} f\left(X\right)\leq0\land0\leq f\left(-2\right) & \Leftrightarrow Y+X^{2}-2X^{2}\leq0\land0\leq Y+4+4X\\ & \Leftrightarrow Y\leq X^{2}\land-4-4X\leq Y\\ & \Leftrightarrow-4-4X\leq Y\leq X^{2} \end{align*} となる。

\(2\leq X\)のとき、

\(t=2\)で最小値、\(t=-2\)で最大値になるので、
\begin{align*} f\left(2\right)\leq0\land0\leq f\left(-2\right) & \Leftrightarrow Y+4-4X^{2}\leq0\land0\leq Y+4+4X\\ & \Leftrightarrow Y\leq-4+4X\land-4-4X\leq Y\\ & \Leftrightarrow-4-4X\leq Y\leq-4+4X \end{align*} となる。

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これらより、\(X\rightarrow x,Y\rightarrow y\)と置きなおすと、
\[ \begin{cases} -4+4x\leq y\leq-4-4x & x<-2\\ -4+4x\leq y\leq x^{2} & -2\leq x<0\\ -4-4x\leq y\leq x^{2} & 0\leq x<2\\ -4-4x\leq y\leq-4+4x & 2\leq x \end{cases} \] となる。