ブロック3角行列の行列式
ブロック3角行列の行列式
ブロック3角行列の行列式は次のようになる。
\[ \det\left(\begin{array}{cccc} A_{1,1} & O & \cdots & O\\ A_{1,2} & A_{2,2} & \ddots & O\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ A_{1,p} & A_{2,p} & \cdots & A_{p,p} \end{array}\right)=\prod_{k=1}^{p}\det\left(A_{k,k}\right) \] \[ \det\left(\begin{array}{cccc} A_{1,1} & A_{2,1} & \cdots & A_{p,1}\\ O & A_{2,2} & \ddots & A_{p,1}\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ O & O & \cdots & A_{p,p} \end{array}\right)=\prod_{k=1}^{p}\det\left(A_{k,k}\right) \]
ブロック3角行列の行列式は次のようになる。
\[ \det\left(\begin{array}{cccc} A_{1,1} & O & \cdots & O\\ A_{1,2} & A_{2,2} & \ddots & O\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ A_{1,p} & A_{2,p} & \cdots & A_{p,p} \end{array}\right)=\prod_{k=1}^{p}\det\left(A_{k,k}\right) \] \[ \det\left(\begin{array}{cccc} A_{1,1} & A_{2,1} & \cdots & A_{p,1}\\ O & A_{2,2} & \ddots & A_{p,1}\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ O & O & \cdots & A_{p,p} \end{array}\right)=\prod_{k=1}^{p}\det\left(A_{k,k}\right) \]
(1)
\[ \det\left(\begin{array}{cc} A & O\\ C & D \end{array}\right)=\det\left(A\right)\det\left(D\right) \](2)
\[ \det\left(\begin{array}{ccc} A_{1,1} & O & O\\ A_{2,1} & A_{2,2} & O\\ A_{3,1} & A_{3,2} & A_{3,3} \end{array}\right)=\det\left(A_{1,1}\right)\det\left(A_{2,2}\right)\det\left(A_{3,3}\right) \](3)
\begin{align*} \det\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{array}\right)= & \det\left(\begin{array}{c|cc} 1 & 0 & 0\\ \hline 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{array}\right)\\ & =\det\left(1\right)\det\left(\begin{array}{cc} 5 & 6\\ 8 & 9 \end{array}\right)\\ & =1\cdot\left(45-48\right)\\ & =-3 \end{align*}\(A\)を\(n\)次正方行列として、ブロック行列の型を\(\left(n_{1},n_{2},\cdots,n_{p};n_{1},n_{2},\cdots,n_{p}\right)\)としてブロック下3角行列とする。
\[ s_{j}=\sum_{k=1}^{j-1}n_{k}\cmt{j\in\left\{ 1,2,\cdots,p\right\} } \] としておくと、\(s_{1}=0,s_{2}=n_{1},s_{3}=n_{1}+n_{2},\cdots,s_{p}=n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{p-1}\)となる。
\(\forall j\in\left\{ 1,2,\cdots,p\right\} ,\forall i\in\left\{ s_{j}+1,s_{j}+2,\cdots,s_{j}+n_{j}\right\} ,\exists k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} ,\sigma\left(i\right)\notin\left\{ s_{j}+1,s_{j}+2,\cdots,s_{j}+n_{j}\right\} \rightarrow a_{k,\sigma\left(k\right)}=0\)となり、対偶をとると、\(\forall j\in\left\{ 1,2,\cdots,p\right\} ,\forall i\in\left\{ s_{j}+1,s_{j}+2,\cdots,s_{j}+n_{j}\right\} ,\exists k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} ,a_{k,\sigma\left(k\right)}\ne0\rightarrow\sigma\left(i\right)\in\left\{ s_{j}+1,s_{j}+2,\cdots,s_{j}+n_{j}\right\} \)となる。
これより、\(\left\{ \sigma\left(s_{j}+1\right),\sigma\left(s_{j}+2\right),\cdots,\sigma\left(s_{j}+n_{j}\right)\right\} =\left\{ s_{j}+1,s_{j}+2,\cdots,s_{j}+n_{j}\right\} \)となる。
ここで、
\begin{align*} \sigma_{1} & =\left(\begin{array}{cccc} s_{1}+1 & s_{1}+2 & \cdots & s_{1}+n_{1}\\ \sigma\left(s_{1}+1\right) & \sigma\left(s_{1}+2\right) & \cdots & \sigma\left(s_{1}+n_{1}\right) \end{array}\right)\\ \sigma_{2} & =\left(\begin{array}{cccc} s_{2}+1 & s_{2}+2 & \cdots & s_{2}+n_{2}\\ \sigma\left(s_{2}+1\right) & \sigma\left(s_{2}+2\right) & \cdots & \sigma\left(s_{2}+n_{2}\right) \end{array}\right)\\ & \vdots\\ \sigma_{k} & =\left(\begin{array}{cccc} s_{k}+1 & s_{k}+2 & \cdots & s_{k}+n_{k}\\ \sigma\left(s_{k}+1\right) & \sigma\left(s_{k}+2\right) & \cdots & \sigma\left(s_{k}+n_{k}\right) \end{array}\right)\\ & \vdots\\ \sigma_{p} & =\left(\begin{array}{cccc} s_{p}+1 & s_{p}+2 & \cdots & s_{p}+n_{p}\\ \sigma\left(s_{p}+1\right) & \sigma\left(s_{p}+2\right) & \cdots & \sigma\left(s_{p}+n_{p}\right) \end{array}\right) \end{align*} とすると、\(\sigma=\sigma_{p}\cdots\sigma_{2}\sigma_{1}\)と表され、
\begin{align*} \det\left(A\right) & =\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn\left(\sigma\right)x_{1,\sigma\left(1\right)}x_{2,\sigma\left(2\right)}\cdots x_{n,\sigma\left(n\right)}\\ & =\sum_{\sigma_{p}\cdots\sigma_{2}\sigma_{1}\in S_{n}}\sgn\left(\sigma_{p}\cdots\sigma_{2}\sigma_{1}\right)x_{s_{1}+1,\sigma_{1}\left(s_{1}+1\right)}x_{s_{1}+2,\sigma_{1}\left(s_{1}+2\right)}\cdots x_{s_{1}+n_{1},\sigma_{1}\left(s_{1}+n_{1}\right)}x_{s_{2}+1,\sigma_{2}\left(s_{2}+1\right)}x_{s_{2}+2,\sigma_{2}\left(s_{2}+2\right)}\cdots\\ & =\sum_{\sigma_{1}}\sgn\left(\sigma_{1}\right)x_{s_{1}+1,\sigma_{1}\left(s_{1}+1\right)}x_{s_{1}+2,\sigma_{1}\left(s_{1}+2\right)}\cdots x_{s_{1}+n_{1},\sigma_{1}\left(s_{1}+n_{1}\right)}\sum_{\sigma_{2}}\sgn\left(\sigma_{2}\right)x_{s_{2}+1,\sigma_{2}\left(s_{2}+1\right)}x_{s_{2}+2,\sigma_{2}\left(s_{2}+2\right)}\cdots x_{s_{2}+n_{2},\sigma_{2}\left(s_{2}+n_{2}\right)}\cdots\\ & =\det\left(A_{11}\right)\det\left(A_{22}\right)\cdots\det\left(A_{pp}\right)\\ & =\prod_{k=1}^{p}\det\left(A_{k,k}\right) \end{align*} となる。
従って与式は成り立つ。
上3角行列についても同様である。
\[ s_{j}=\sum_{k=1}^{j-1}n_{k}\cmt{j\in\left\{ 1,2,\cdots,p\right\} } \] としておくと、\(s_{1}=0,s_{2}=n_{1},s_{3}=n_{1}+n_{2},\cdots,s_{p}=n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{p-1}\)となる。
\(\forall j\in\left\{ 1,2,\cdots,p\right\} ,\forall i\in\left\{ s_{j}+1,s_{j}+2,\cdots,s_{j}+n_{j}\right\} ,\exists k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} ,\sigma\left(i\right)\notin\left\{ s_{j}+1,s_{j}+2,\cdots,s_{j}+n_{j}\right\} \rightarrow a_{k,\sigma\left(k\right)}=0\)となり、対偶をとると、\(\forall j\in\left\{ 1,2,\cdots,p\right\} ,\forall i\in\left\{ s_{j}+1,s_{j}+2,\cdots,s_{j}+n_{j}\right\} ,\exists k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} ,a_{k,\sigma\left(k\right)}\ne0\rightarrow\sigma\left(i\right)\in\left\{ s_{j}+1,s_{j}+2,\cdots,s_{j}+n_{j}\right\} \)となる。
これより、\(\left\{ \sigma\left(s_{j}+1\right),\sigma\left(s_{j}+2\right),\cdots,\sigma\left(s_{j}+n_{j}\right)\right\} =\left\{ s_{j}+1,s_{j}+2,\cdots,s_{j}+n_{j}\right\} \)となる。
ここで、
\begin{align*} \sigma_{1} & =\left(\begin{array}{cccc} s_{1}+1 & s_{1}+2 & \cdots & s_{1}+n_{1}\\ \sigma\left(s_{1}+1\right) & \sigma\left(s_{1}+2\right) & \cdots & \sigma\left(s_{1}+n_{1}\right) \end{array}\right)\\ \sigma_{2} & =\left(\begin{array}{cccc} s_{2}+1 & s_{2}+2 & \cdots & s_{2}+n_{2}\\ \sigma\left(s_{2}+1\right) & \sigma\left(s_{2}+2\right) & \cdots & \sigma\left(s_{2}+n_{2}\right) \end{array}\right)\\ & \vdots\\ \sigma_{k} & =\left(\begin{array}{cccc} s_{k}+1 & s_{k}+2 & \cdots & s_{k}+n_{k}\\ \sigma\left(s_{k}+1\right) & \sigma\left(s_{k}+2\right) & \cdots & \sigma\left(s_{k}+n_{k}\right) \end{array}\right)\\ & \vdots\\ \sigma_{p} & =\left(\begin{array}{cccc} s_{p}+1 & s_{p}+2 & \cdots & s_{p}+n_{p}\\ \sigma\left(s_{p}+1\right) & \sigma\left(s_{p}+2\right) & \cdots & \sigma\left(s_{p}+n_{p}\right) \end{array}\right) \end{align*} とすると、\(\sigma=\sigma_{p}\cdots\sigma_{2}\sigma_{1}\)と表され、
\begin{align*} \det\left(A\right) & =\sum_{\sigma\in S_{n}}\sgn\left(\sigma\right)x_{1,\sigma\left(1\right)}x_{2,\sigma\left(2\right)}\cdots x_{n,\sigma\left(n\right)}\\ & =\sum_{\sigma_{p}\cdots\sigma_{2}\sigma_{1}\in S_{n}}\sgn\left(\sigma_{p}\cdots\sigma_{2}\sigma_{1}\right)x_{s_{1}+1,\sigma_{1}\left(s_{1}+1\right)}x_{s_{1}+2,\sigma_{1}\left(s_{1}+2\right)}\cdots x_{s_{1}+n_{1},\sigma_{1}\left(s_{1}+n_{1}\right)}x_{s_{2}+1,\sigma_{2}\left(s_{2}+1\right)}x_{s_{2}+2,\sigma_{2}\left(s_{2}+2\right)}\cdots\\ & =\sum_{\sigma_{1}}\sgn\left(\sigma_{1}\right)x_{s_{1}+1,\sigma_{1}\left(s_{1}+1\right)}x_{s_{1}+2,\sigma_{1}\left(s_{1}+2\right)}\cdots x_{s_{1}+n_{1},\sigma_{1}\left(s_{1}+n_{1}\right)}\sum_{\sigma_{2}}\sgn\left(\sigma_{2}\right)x_{s_{2}+1,\sigma_{2}\left(s_{2}+1\right)}x_{s_{2}+2,\sigma_{2}\left(s_{2}+2\right)}\cdots x_{s_{2}+n_{2},\sigma_{2}\left(s_{2}+n_{2}\right)}\cdots\\ & =\det\left(A_{11}\right)\det\left(A_{22}\right)\cdots\det\left(A_{pp}\right)\\ & =\prod_{k=1}^{p}\det\left(A_{k,k}\right) \end{align*} となる。
従って与式は成り立つ。
上3角行列についても同様である。
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2×2ブロック行列の逆行列
\[
\left(\begin{array}{cc}
A & B\\
O & D
\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc}
A^{-1} & -A^{-1}BD^{-1}\\
O & D^{-1}
\end{array}\right)
\]
2×2ブロック行列の行列式
\[
\det\left(\begin{array}{cc}
A & O\\
C & D
\end{array}\right)=\det\left(A\right)\det\left(D\right)
\]
2×2ブロック対称分けの積の分割
\[
\left(\begin{array}{cc}
A & B\\
C & D
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
I & O\\
CA^{-1} & I
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
A & O\\
O & D-CA^{-1}B
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
I & A^{-1}B\\
O & I
\end{array}\right)
\]
ブロック行列同士の積
\[
\left[AB\right]_{i,j}=\sum_{k=1}^{q}A_{i,k}B_{k,j}
\]