ベクトル空間の基底の定義

by nomura · 2026年3月2日

ベクトル空間の基底の定義

(1)有限次元

体$K$上のベクトル空間$V$があり、$\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\in V$とする。
このとき次の2条件を満たすとき$\left\{ \boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right\} $を$V$の基底といい、$V$は有限次元となる。

(a)1次独立性

$\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}$は1次独立。

(b)全域性

$V$は$\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}$で生成される。
すなわち
\[ V=\left\langle \boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right\rangle _{K} \] となる。

別表現

体$K$上のベクトル空間$V$で、$\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\in V$が基底であることと、任意の$\boldsymbol{x}\in V$に対し、$\boldsymbol{x}$は$\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}$の1次結合で一意的に表すことができることは同値である。

(2)無限次元

体$K$上のベクトル空間$V$があり、$B\subseteq V$とする。
このとき次の2条件を満たすとき$B$を$V$の基底またはハメル基底といい、$V$は無限次元となる。

(a)1次独立性

任意の相異なる有限集合$B_{0}\subseteq B$が1次独立である。

(b)全域性

任意の$\boldsymbol{x}\in V$は有限個の$B_{0}\subseteq B$の1次結合で表される。

(1)

体$K$上のベクトル空間$V$があるとき、無限次元での基底の1次独立性は基底$B$の任意の相異なる有限集合$B_{0}\subseteq B$が1次独立となることで定義されます。
また、無限次元での全域性は、任意の$\boldsymbol{x}\in V$が有限個の$B_{0}\subseteq B$の1次結合で表されることで定義されます。

(2)

無限次元の基底にはハメル基底とシャウダー基底が存在します。
\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline & \text{ハメル基底} & \text{シャウダー基底}\\ \hline \text{存在性} & \text{必ず存在する} & \text{存在するとは限らない}\\ \hline \text{依存} & \text{線形構造} & \text{位相構造}\\ \hline \text{和} & \text{有限和} & \text{無限和} \\\hline \end{array} \] シャウダー基底が存在すると、ハメル基底とシャウダー基底は異なるものになります。

(3)

無限次元では、例えば$\mathbb{R}^{\infty}$で$e_{n}$を標準基底として、$\left(1,1,1,\cdots\right)=\sum_{k\in\mathbb{N}}e_{n}$は位相により収束しているかどうかが変わってくるので、任意のベクトルは有限個の基底の1次結合で表されるかどうかで考えます。
$\mathbb{R}^{\infty}$ではハメル基底$B$は$\left(e_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$だけでなく他の基底も存在し、$\left|B\right|=\aleph$となります。

$\mathbb{R}$上のベクトル$\mathbb{R}^{2}=\left\{ \left(x,y\right);x,y\in\mathbb{R}\right\} $で通常のベクトルの演算としたベクトル空間を考える。
$\left(1,0\right),\left(0,1\right)$は基底となる。
$\left(1,0\right),\left(1,1\right)$は基底となる。
$\left(1,0\right),\left(2,0\right)$は基底とならない。
$\left(1,0\right),\left(0,1\right),\left(1,1\right)$は基底とならない。
$\left(0,0\right),\left(1,0\right)$は基底とならない。
$\left(0,0\right),\left(1,0\right),\left(0,1\right)$は基底とならない。
$\left(1,0\right),\left(1,1\right)$は基底となることを示す。
$\left(1,0\right),\left(1,1\right)$は
\begin{align*} \det\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right) & =1-0\\ & =1\\ & \ne0 \end{align*} なので1次独立である。
また任意の$\left(x_{1},x_{2}\right)^{T}\in\mathbb{R}^{2}$に対し、
\begin{align*} \left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2} \end{array}\right) & =c_{1}\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)+c_{2}\left(\begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} c_{1}\\ c_{2} \end{array}\right) \end{align*} 両辺に左から$\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right)^{-1}$を掛けて、
\begin{align*} \left(\begin{array}{c} c_{1}\\ c_{2} \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & -1\\ 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2} \end{array}\right) \end{align*} となる。
これより、
\[ \left(\begin{array}{c} x_{1}\\ x_{2} \end{array}\right)=\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right)+x_{2}\left(\begin{array}{c} 1\\ 1 \end{array}\right) \] と表されるので$\left(1,0\right),\left(1,1\right)$は基底となる。

基底の別表現についての証明をする。

$\Rightarrow$

全域性より、$V=\left\langle \boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right\rangle _{K}$なので、任意の$\boldsymbol{x}\in V$は$\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}$の1次結合で表すことができる。
次に一意的であることを示す。
一意的でないと仮定すると、ある$\boldsymbol{v}\in V$が存在し、
\begin{align*} v & =\sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{a}_{k}\\ & =\sum_{k=1}^{n}d_{k}\boldsymbol{a}_{k} \end{align*} と2通りで表される。
このとき、
\[ \sum_{k=1}^{n}\left(c_{k}-d_{k}\right)\boldsymbol{a}_{k}=\boldsymbol{0} \] となるが、条件より$\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}$は基底であるので、$c_{1}-d_{1}=c_{2}-d_{2}=\cdots=c_{n}-d_{n}=0$となり、$c_{1}=d_{1},c_{2}=d_{2},\cdots,c_{n}=d_{n}$となり、一意的でないという仮定に矛盾。
従って、一意的である。
これらより、$\Rightarrow$が成り立つ。

$\Leftarrow$

$\boldsymbol{0}\in V$を$\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}$の1次結合で表すと、
\[ \sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{a}_{k}=\boldsymbol{0} \] となる$c_{1},c_{2},\cdots,c_{n}$は$c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0$はこれを満たし、一意的なのでこれ以外にはない。
従って、$\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}$は1次独立となる。
また、任意の$\boldsymbol{x}\in V$は$\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}$の1次結合で表せるので、$V=\left\langle \boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\right\rangle _{K}$となり全域性を満たす。
これより、1次独立性と全域性を満たすので$\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{n}\in V$は基底となる。