(0)

\(x<0\)のとき、

\begin{align*} \lim_{\epsilon\rightarrow0+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{z-i\epsilon}e^{ixz}dz & =\lim_{R\rightarrow\infty}\lim_{\epsilon\rightarrow0+}\left\{ \int_{-R}^{R}\frac{1}{z-i\epsilon}e^{ixz}dz+\int_{C\left(0,R,0\rightarrow\pi\right)}\frac{1}{z-i\epsilon}e^{ixz}dz\right\} \\ & =2\pi i\lim_{\epsilon\rightarrow0+}\Res\left(z=i\epsilon,\frac{1}{z-i\epsilon}e^{ixz}\right)\\ & =2\pi i \end{align*}

\(x=0\)のとき、

\begin{align*} \left[\lim_{\epsilon\rightarrow0+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{z-i\epsilon}e^{ixz}dz\right]_{x=0} & =\lim_{\epsilon\rightarrow0+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{z-i\epsilon}dz\\ & =i\pi \end{align*}

\(0<x\)のとき、

\begin{align*} \lim_{\epsilon\rightarrow0+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{z-i\epsilon}e^{ixz}dz & =\lim_{R\rightarrow\infty}\lim_{\epsilon\rightarrow0+}\left\{ \int_{-R}^{R}\frac{1}{z-i\epsilon}e^{ixz}dz+\int_{C\left(0,R,0\rightarrow-\pi\right)}\frac{1}{z-i\epsilon}e^{ixz}dz\right\} \\ & =0 \end{align*}

-

これより、
\begin{align*} \lim_{\epsilon\rightarrow0+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{z-i\epsilon}e^{ixz}dz & =\begin{cases} 0 & x<0\\ \pi i & x=0\\ 2\pi i & 0<x \end{cases} \end{align*} となるので、
\[ H_{\frac{1}{2}}\left(x\right)=\frac{1}{2\pi i}\lim_{\epsilon\rightarrow0+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{z-i\epsilon}e^{ixz}dz \] 下の式の証明をする。
\begin{align*} \lim_{\epsilon\rightarrow0+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{z+i\epsilon}e^{-ixz}dz & =\lim_{\epsilon\rightarrow0+}\int_{\infty}^{-\infty}\frac{1}{-z+i\epsilon}e^{-ix\left(-z\right)}d\left(-z\right)\\ & =-\lim_{\epsilon\rightarrow0+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{z-i\epsilon}e^{ixz}dz\\ & =-2\pi iH_{\frac{1}{2}\left(x\right)} \end{align*} より、
\[ H_{\frac{1}{2}}\left(x\right)=-\frac{1}{2\pi i}\lim_{\epsilon\rightarrow0+}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{z+i\epsilon}e^{-ixz}dz \]