角の2等分線の性質
角の2等分線の性質
3角形\(ABC\)があり、角\(A\)の2等分線と\(BC\)の交点を\(P\)とする。
\[ \frac{\left|AB\right|}{\left|AC\right|}=\frac{\left|BP\right|}{\left|CP\right|} \] となる。
この逆も成り立つ。
すなわち、3角形\(ABC\)があり、辺\(BC\)上に点\(P\)があり、
\[ \frac{\left|AB\right|}{\left|AC\right|}=\frac{\left|BP\right|}{\left|CP\right|} \] が成り立つならば、\(\angle CAB\)の内角の2等分線は直線\(AP\)となる。
同様に3角形\(ABC\)があり、辺\(BC\)上ではない直線\(BC\)上に点\(P\)があり、
\[ \frac{\left|AB\right|}{\left|AC\right|}=\frac{\left|BP\right|}{\left|CP\right|} \] が成り立つならば、\(\angle CAB\)の外角の2等分線は直線\(AP\)となる。
\[ \left|AP\right|^{2}=\left|AB\right|\left|AC\right|-\left|BP\right|\left|CP\right| \] 外角のとき、
\[ \left|AP\right|^{2}=\left|BP\right|\left|CP\right|-\left|AB\right|\left|AC\right| \] となる。
\[ \left|AP\right|\left(\left|CA\right|+\left|AB\right|\right)=2\left|CA\right|\left|AB\right|\cos\left(\angle PAB\right) \] 外角のとき、
\[ \left|AP\right|\left(\left|CA\right|-\left|AB\right|\right)=2\left|CA\right|\left|AB\right|\cos\left(\angle PAB\right) \] となる。
3角形\(ABC\)があり、角\(A\)の2等分線と\(BC\)の交点を\(P\)とする。
(1)
このとき、角\(A\)の2等分線が内角であっても外角であっても、\[ \frac{\left|AB\right|}{\left|AC\right|}=\frac{\left|BP\right|}{\left|CP\right|} \] となる。
この逆も成り立つ。
すなわち、3角形\(ABC\)があり、辺\(BC\)上に点\(P\)があり、
\[ \frac{\left|AB\right|}{\left|AC\right|}=\frac{\left|BP\right|}{\left|CP\right|} \] が成り立つならば、\(\angle CAB\)の内角の2等分線は直線\(AP\)となる。
同様に3角形\(ABC\)があり、辺\(BC\)上ではない直線\(BC\)上に点\(P\)があり、
\[ \frac{\left|AB\right|}{\left|AC\right|}=\frac{\left|BP\right|}{\left|CP\right|} \] が成り立つならば、\(\angle CAB\)の外角の2等分線は直線\(AP\)となる。
(2)
角\(A\)の2等分線が内角のとき、\[ \left|AP\right|^{2}=\left|AB\right|\left|AC\right|-\left|BP\right|\left|CP\right| \] 外角のとき、
\[ \left|AP\right|^{2}=\left|BP\right|\left|CP\right|-\left|AB\right|\left|AC\right| \] となる。
(3)
角\(A\)の2等分線が内角のとき、\[ \left|AP\right|\left(\left|CA\right|+\left|AB\right|\right)=2\left|CA\right|\left|AB\right|\cos\left(\angle PAB\right) \] 外角のとき、
\[ \left|AP\right|\left(\left|CA\right|-\left|AB\right|\right)=2\left|CA\right|\left|AB\right|\cos\left(\angle PAB\right) \] となる。
3角形\(ABC\)を反時計回りにとるとする。
\[ \frac{\left|AB\right|}{\left|AC\right|}=\frac{\left|BP'\right|}{\left|CP'\right|} \] が成り立つ。
また条件より、
\[ \frac{\left|AB\right|}{\left|AC\right|}=\frac{\left|BP\right|}{\left|CP\right|} \] となるので、
\begin{align*} \frac{\left|BP'\right|}{\left|CP'\right|} & =\left|AB\right|\\ & =\frac{\left|BP\right|}{\left|CP\right|} \end{align*} となる。
\(P,P'\)は共に辺\(BC\)上の点なので\(P,P'\)は同じ場所の点となる。
\(\angle CAB\)の外角の2等分線についても同様である。
従って逆は成り立つ。
\[ \left|CP\right|\left|AB\right|^{2}+\left|BP\right|\left|AC\right|^{2}=\left(\left|BP\right|+\left|CP\right|\right)\left(\left|AP\right|^{2}+\left|BP\right|\left|CP\right|\right) \] となり、(1)より、
\[ \frac{\left|AB\right|}{\left|AC\right|}=\frac{\left|BP\right|}{\left|CP\right|} \] であるので、
\[ \left|CP`\right|\left|AB\right|^{2}+\frac{\left|AB\right|}{\left|AC\right|}\left|CP\right|\left|AC\right|^{2}=\left(\frac{\left|AB\right|}{\left|AC\right|}\left|CP\right|+\left|CP\right|\right)\left(\left|AP\right|^{2}+\left|BP\right|\left|CP\right|\right) \] 整理をすると、
\[ \left|CP`\right|\left|AB\right|\left(\left|AB\right|+\left|AC\right|\right)=\frac{\left|CP\right|}{\left|AC\right|}\left(\left|AB\right|+\left|AC\right|\right)\left(\left|AP\right|^{2}+\left|BP\right|\left|CP\right|\right) \] となるので、両辺\(\left|CP`\right|\left(\left|AB\right|+\left|AC\right|\right)\)で割ると、
\[ \left|AB\right|=\frac{1}{\left|AC\right|}\left(\left|AP\right|^{2}+\left|BP\right|\left|CP\right|\right) \] となる。
これを\(\left|AP\right|^{2}\)について解くと、
\[ \left|AP\right|^{2}=\left|AB\right|\left|AC\right|-\left|BP\right|\left|CP\right| \] となり与式は成り立つ。
\[ -\left|CP\right|\left|AB\right|^{2}+\left|BP\right|\left|AC\right|^{2}=\left(\left|BP\right|-\left|CP\right|\right)\left(\left|AP\right|^{2}-\left|BP\right|\left|CP\right|\right) \] となり、\(B\)側に\(P\)があるときは、
\[ \left|CP\right|\left|AB\right|^{2}-\left|BP\right|\left|AC\right|^{2}=\left(-\left|BP\right|+\left|CP\right|\right)\left(\left|AP\right|^{2}-\left|BP\right|\left|CP\right|\right) \] となるのでどちらでも同じになる。
これと(1)より、
\[ \frac{\left|AB\right|}{\left|AC\right|}=\frac{\left|BP\right|}{\left|CP\right|} \] となるので内角のときと同様にすれば、
\[ \left|AP\right|^{2}=\left|BP\right|\left|CP\right|-\left|AB\right|\left|AC\right| \] となり与式は成り立つ。
\begin{align*} \left|AP\right|\left(\left|CA\right|+\left|AB\right|\right) & =2\left|CA\right|\left|AB\right|\cos\left(\angle PAB\right)\\ & =2\left|CA\right|\left|AB\right|\frac{\left|AB\right|^{2}+\left|AP\right|^{2}-\left|BP\right|^{2}}{2\left|AB\right|\left|AP\right|}\\ & =\left|CA\right|\frac{\left|AB\right|^{2}+\left|AP\right|^{2}-\left|BP\right|^{2}}{\left|AP\right|} \end{align*} 両辺に\(\left|AP\right|\)を掛けて、
\[ \left|AP\right|^{2}\left(\left|CA\right|+\left|AB\right|\right)=\left|CA\right|\left(\left|AB\right|^{2}+\left|AP\right|^{2}-\left|BP\right|^{2}\right) \] \(\left|AP\right|\)を左辺に移項すると、
\[ \left|AP\right|^{2}\left|AB\right|=\left|CA\right|\left(\left|AB\right|^{2}-\left|BP\right|^{2}\right) \] 両辺を\(-\left|AB\right|\)で割ると、
\begin{align*} \left|AP\right|^{2} & =\frac{\left|CA\right|}{\left|AB\right|}\left(\left|AB\right|^{2}-\left|BP\right|^{2}\right)\\ & =\frac{\left|CP\right|}{\left|BP\right|}\left(\left|AB\right|\left|AC\right|\frac{\left|BP\right|}{\left|CP\right|}-\left|BP\right|^{2}\right)\\ & =\left|AB\right|\left|AC\right|-\left|CP\right|\left|BP\right| \end{align*} となり与式は成り立つ。
\[ \left|AP\right|^{2}\left(\left|CA\right|-\left|AB\right|\right)=\left|CA\right|\left(\left|AB\right|^{2}+\left|AP\right|^{2}-\left|BP\right|^{2}\right) \] \(\left|AP\right|\)を左辺に移項すると、
\[ -\left|AP\right|^{2}\left|AB\right|=\left|CA\right|\left(\left|AB\right|^{2}-\left|BP\right|^{2}\right) \] 両辺を\(-\left|AB\right|\)で割ると、
\begin{align*} \left|AP\right|^{2} & =\frac{\left|CA\right|}{\left|AB\right|}\left(\left|BP\right|^{2}-\left|AB\right|^{2}\right)\\ & =\frac{\left|CP\right|}{\left|BP\right|}\left(\left|BP\right|^{2}-\left|AB\right|\left|AC\right|\frac{\left|BP\right|}{\left|CP\right|}\right)\\ & =\left|CP\right|\left|BP\right|-\left|AB\right|\left|AC\right| \end{align*} となり与式は成り立つ。
\begin{align*} \left|CA\right|\left|AB\right|\sin\left(\angle PAB\right)\cos\left(\angle PAB\right) & =\triangle ABC\\ & =\frac{1}{2}\left|AP\right|\sin\left(\angle PAB\right)\left(\left|CA\right|+\left|AB\right|\right) \end{align*} となる。
これより、
\[ \left|AP\right|\left(\left|CA\right|+\left|AB\right|\right)=2\left|CA\right|\left|AB\right|\cos\left(\angle PAB\right) \] となる。
\begin{align*} -\left|CA\right|\left|AB\right|\sin\left(\angle PAB\right)\cos\left(\angle PAB\right) & =\triangle ABC\\ & =-\frac{1}{2}\left|AP\right|\sin\left(\angle PAB\right)\left(\left|CA\right|-\left|AB\right|\right) \end{align*} となる。
これより、
\[ \left|AP\right|\left(\left|CA\right|-\left|AB\right|\right)=2\left|CA\right|\left|AB\right|\cos\left(\angle PAB\right) \] となる。
(1)
\(\Rightarrow\)
内角
\begin{align*} \frac{\left|BP\right|}{\left|CP\right|} & =\frac{\left|BP\right|\left|AP\right|\sin\left(\angle BPA\right)}{\left|CP\right|\left|AP\right|\sin\left(\angle BPA\right)}\\ & =\frac{\left|BP\right|\left|AP\right|\sin\left(\angle BPA\right)}{\left|CP\right|\left|AP\right|\sin\left(\pi-\angle APC\right)}\\ & =\frac{\left|BP\right|\left|AP\right|\sin\left(\angle BPA\right)}{\left|CP\right|\left|AP\right|\sin\left(\angle APC\right)}\\ & =\frac{\left|\triangle ABP\right|}{\left|\triangle PCA\right|}\\ & =\frac{\left|PA\right|\left|AB\right|\sin\left(\angle PAB\right)}{\left|CA\right|\left|AP\right|\sin\left(\angle CAP\right)}\\ & =\frac{\left|AB\right|}{\left|CA\right|} \end{align*} となるので与式は成り立つ。外角
\begin{align*} \frac{\left|BP\right|}{\left|CP\right|} & =\frac{\left|\triangle ABP\right|}{\left|\triangle ACP\right|}\\ & =\frac{\left|PA\right|\left|AB\right|\sin\angle PAB}{\left|PA\right|\left|AC\right|\sin\angle PAC}\\ & =\frac{\left|AB\right|\sin\left(\pi-\angle PAB\right)}{\left|AC\right|\sin\left(\angle PAC\right)}\\ & =\frac{\left|AB\right|\sin\left(\angle PAC\right)}{\left|AC\right|\sin\left(\angle PAC\right)}\\ & =\frac{\left|AB\right|}{\left|AC\right|} \end{align*}\(\Leftarrow\)
\(\angle CAB\)の内角の2等分線と辺\(BC\)との交点を\(P'\)とすると、\[ \frac{\left|AB\right|}{\left|AC\right|}=\frac{\left|BP'\right|}{\left|CP'\right|} \] が成り立つ。
また条件より、
\[ \frac{\left|AB\right|}{\left|AC\right|}=\frac{\left|BP\right|}{\left|CP\right|} \] となるので、
\begin{align*} \frac{\left|BP'\right|}{\left|CP'\right|} & =\left|AB\right|\\ & =\frac{\left|BP\right|}{\left|CP\right|} \end{align*} となる。
\(P,P'\)は共に辺\(BC\)上の点なので\(P,P'\)は同じ場所の点となる。
\(\angle CAB\)の外角の2等分線についても同様である。
従って逆は成り立つ。
(2)
内角のとき
スチュワートの定理より、\[ \left|CP\right|\left|AB\right|^{2}+\left|BP\right|\left|AC\right|^{2}=\left(\left|BP\right|+\left|CP\right|\right)\left(\left|AP\right|^{2}+\left|BP\right|\left|CP\right|\right) \] となり、(1)より、
\[ \frac{\left|AB\right|}{\left|AC\right|}=\frac{\left|BP\right|}{\left|CP\right|} \] であるので、
\[ \left|CP`\right|\left|AB\right|^{2}+\frac{\left|AB\right|}{\left|AC\right|}\left|CP\right|\left|AC\right|^{2}=\left(\frac{\left|AB\right|}{\left|AC\right|}\left|CP\right|+\left|CP\right|\right)\left(\left|AP\right|^{2}+\left|BP\right|\left|CP\right|\right) \] 整理をすると、
\[ \left|CP`\right|\left|AB\right|\left(\left|AB\right|+\left|AC\right|\right)=\frac{\left|CP\right|}{\left|AC\right|}\left(\left|AB\right|+\left|AC\right|\right)\left(\left|AP\right|^{2}+\left|BP\right|\left|CP\right|\right) \] となるので、両辺\(\left|CP`\right|\left(\left|AB\right|+\left|AC\right|\right)\)で割ると、
\[ \left|AB\right|=\frac{1}{\left|AC\right|}\left(\left|AP\right|^{2}+\left|BP\right|\left|CP\right|\right) \] となる。
これを\(\left|AP\right|^{2}\)について解くと、
\[ \left|AP\right|^{2}=\left|AB\right|\left|AC\right|-\left|BP\right|\left|CP\right| \] となり与式は成り立つ。
外角のとき
スチュワートの定理より、\(C\)側に\(P\)があるときは、\[ -\left|CP\right|\left|AB\right|^{2}+\left|BP\right|\left|AC\right|^{2}=\left(\left|BP\right|-\left|CP\right|\right)\left(\left|AP\right|^{2}-\left|BP\right|\left|CP\right|\right) \] となり、\(B\)側に\(P\)があるときは、
\[ \left|CP\right|\left|AB\right|^{2}-\left|BP\right|\left|AC\right|^{2}=\left(-\left|BP\right|+\left|CP\right|\right)\left(\left|AP\right|^{2}-\left|BP\right|\left|CP\right|\right) \] となるのでどちらでも同じになる。
これと(1)より、
\[ \frac{\left|AB\right|}{\left|AC\right|}=\frac{\left|BP\right|}{\left|CP\right|} \] となるので内角のときと同様にすれば、
\[ \left|AP\right|^{2}=\left|BP\right|\left|CP\right|-\left|AB\right|\left|AC\right| \] となり与式は成り立つ。
(2)-2
内角のとき
(3)より、\begin{align*} \left|AP\right|\left(\left|CA\right|+\left|AB\right|\right) & =2\left|CA\right|\left|AB\right|\cos\left(\angle PAB\right)\\ & =2\left|CA\right|\left|AB\right|\frac{\left|AB\right|^{2}+\left|AP\right|^{2}-\left|BP\right|^{2}}{2\left|AB\right|\left|AP\right|}\\ & =\left|CA\right|\frac{\left|AB\right|^{2}+\left|AP\right|^{2}-\left|BP\right|^{2}}{\left|AP\right|} \end{align*} 両辺に\(\left|AP\right|\)を掛けて、
\[ \left|AP\right|^{2}\left(\left|CA\right|+\left|AB\right|\right)=\left|CA\right|\left(\left|AB\right|^{2}+\left|AP\right|^{2}-\left|BP\right|^{2}\right) \] \(\left|AP\right|\)を左辺に移項すると、
\[ \left|AP\right|^{2}\left|AB\right|=\left|CA\right|\left(\left|AB\right|^{2}-\left|BP\right|^{2}\right) \] 両辺を\(-\left|AB\right|\)で割ると、
\begin{align*} \left|AP\right|^{2} & =\frac{\left|CA\right|}{\left|AB\right|}\left(\left|AB\right|^{2}-\left|BP\right|^{2}\right)\\ & =\frac{\left|CP\right|}{\left|BP\right|}\left(\left|AB\right|\left|AC\right|\frac{\left|BP\right|}{\left|CP\right|}-\left|BP\right|^{2}\right)\\ & =\left|AB\right|\left|AC\right|-\left|CP\right|\left|BP\right| \end{align*} となり与式は成り立つ。
外角のとき
\begin{align*} \left|AP\right|\left(\left|CA\right|-\left|AB\right|\right) & =2\left|CA\right|\left|AB\right|\cos\left(\angle PAB\right)\\ & =2\left|CA\right|\left|AB\right|\frac{\left|AB\right|^{2}+\left|AP\right|^{2}-\left|BP\right|^{2}}{2\left|AB\right|\left|AP\right|}\\ & =\left|CA\right|\frac{\left|AB\right|^{2}+\left|AP\right|^{2}-\left|BP\right|^{2}}{\left|AP\right|} \end{align*} 両辺に\(\left|AP\right|\)を掛けて、\[ \left|AP\right|^{2}\left(\left|CA\right|-\left|AB\right|\right)=\left|CA\right|\left(\left|AB\right|^{2}+\left|AP\right|^{2}-\left|BP\right|^{2}\right) \] \(\left|AP\right|\)を左辺に移項すると、
\[ -\left|AP\right|^{2}\left|AB\right|=\left|CA\right|\left(\left|AB\right|^{2}-\left|BP\right|^{2}\right) \] 両辺を\(-\left|AB\right|\)で割ると、
\begin{align*} \left|AP\right|^{2} & =\frac{\left|CA\right|}{\left|AB\right|}\left(\left|BP\right|^{2}-\left|AB\right|^{2}\right)\\ & =\frac{\left|CP\right|}{\left|BP\right|}\left(\left|BP\right|^{2}-\left|AB\right|\left|AC\right|\frac{\left|BP\right|}{\left|CP\right|}\right)\\ & =\left|CP\right|\left|BP\right|-\left|AB\right|\left|AC\right| \end{align*} となり与式は成り立つ。
(3)
内角のとき
\begin{align*} \triangle ABC & =\frac{1}{2}\left|CA\right|\left|AB\right|\sin\left(\angle CAB\right)\\ & =\frac{1}{2}\left|CA\right|\left|AB\right|\sin\left(2\angle PAB\right)\\ & =\left|CA\right|\left|AB\right|\sin\left(\angle PAB\right)\cos\left(\angle PAB\right) \end{align*} \begin{align*} \triangle ABC & =\triangle CAP+\triangle PAB\\ & =\frac{1}{2}\left|CA\right|\left|AP\right|\sin\left(\angle CAP\right)+\frac{1}{2}\left|PA\right|\left|AB\right|\sin\left(\angle PAB\right)\\ & =\frac{1}{2}\left|CA\right|\left|AP\right|\sin\left(\angle PAB\right)+\frac{1}{2}\left|PA\right|\left|AB\right|\sin\left(\angle PAB\right)\\ & =\frac{1}{2}\left|AP\right|\sin\left(\angle PAB\right)\left(\left|CA\right|+\left|AB\right|\right) \end{align*} となるので、\begin{align*} \left|CA\right|\left|AB\right|\sin\left(\angle PAB\right)\cos\left(\angle PAB\right) & =\triangle ABC\\ & =\frac{1}{2}\left|AP\right|\sin\left(\angle PAB\right)\left(\left|CA\right|+\left|AB\right|\right) \end{align*} となる。
これより、
\[ \left|AP\right|\left(\left|CA\right|+\left|AB\right|\right)=2\left|CA\right|\left|AB\right|\cos\left(\angle PAB\right) \] となる。
外角のとき
\begin{align*} \triangle ABC & =\frac{1}{2}\left|CA\right|\left|AB\right|\sin\left(\angle CAB\right)\\ & =\frac{1}{2}\left|CA\right|\left|AB\right|\sin\left(\pi+2\angle PAB\right)\\ & =-\frac{1}{2}\left|CA\right|\left|AB\right|\sin\left(2\angle PAB\right)\\ & =-\left|CA\right|\left|AB\right|\sin\left(\angle PAB\right)\cos\left(\angle PAB\right) \end{align*} \begin{align*} \triangle ABC & =\triangle CAP+\triangle PAB\\ & =\frac{1}{2}\left|CA\right|\left|AP\right|\sin\left(\angle CAP\right)+\frac{1}{2}\left|PA\right|\left|AB\right|\sin\left(\angle PAB\right)\\ & =\frac{1}{2}\left|CA\right|\left|AP\right|\sin\left(\angle PAB-\pi\right)+\frac{1}{2}\left|PA\right|\left|AB\right|\sin\left(\angle PAB\right)\\ & =-\frac{1}{2}\left|CA\right|\left|AP\right|\sin\left(\angle PAB\right)+\frac{1}{2}\left|PA\right|\left|AB\right|\sin\left(\angle PAB\right)\\ & =-\frac{1}{2}\left|AP\right|\sin\left(\angle PAB\right)\left(\left|CA\right|-\left|AB\right|\right) \end{align*} となるので、\begin{align*} -\left|CA\right|\left|AB\right|\sin\left(\angle PAB\right)\cos\left(\angle PAB\right) & =\triangle ABC\\ & =-\frac{1}{2}\left|AP\right|\sin\left(\angle PAB\right)\left(\left|CA\right|-\left|AB\right|\right) \end{align*} となる。
これより、
\[ \left|AP\right|\left(\left|CA\right|-\left|AB\right|\right)=2\left|CA\right|\left|AB\right|\cos\left(\angle PAB\right) \] となる。
ページ情報
| タイトル | 角の2等分線の性質 |
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双心4角形の作図方法
ヘロンの公式
\[
S=\sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}
\]
円周角の定理とその逆とタレスの定理
\[
\angle BOA=2\angle BPA
\]
円に外接する4角形の面積
\[
S=\sqrt{abcd}\sin\frac{A+C}{2}
\]