(1)

固有多項式\(p_{A}\left(\lambda\right)\)を最小多項式\(q_{A}\left(\lambda\right)\)で割った商を\(s_{A}\left(\lambda\right)\)、余りを\(r_{A}\left(\lambda\right)\)とする。
このとき、
\[ p_{A}\left(\lambda\right)=q_{A}\left(\lambda\right)s_{A}\left(\lambda\right)+r_{A}\left(\lambda\right) \] となり\(\lambda\)に\(A\)を代入するとケーリー・ハミルトンの定理より、\(p_{A}\left(A\right)=O\)となり、最小多項式の定義より、\(q_{A}\left(A\right)=O\)なので\(r_{A}\left(A\right)=O\)となる。
ここで、\(r_{A}\left(\lambda\right)\ne0\)と仮定すると、\(r_{A}\left(A\right)=O\)なので、\(r_{A}\left(\lambda\right)\)の最高次数を1にしたものは\(q_{A}\left(\lambda\right)\)より次数が少ないので最小多項式となり、\(q_{A}\left(\lambda\right)\)が最小多項式であることに矛盾。
従って、\(r_{A}\left(\lambda\right)=0\)となるので、\(p_{A}\left(\lambda\right)=q_{A}\left(\lambda\right)s_{A}\left(\lambda\right)\)となり固有多項式は最小多項式で割り切れる。
故に題意は成り立つ。

(2)

固有多項式\(p_{A}\left(\lambda\right)=\det\left(\lambda I-A\right)\)はケーリー・ハミルトンの定理より、固有値\(\lambda_{0}\)を代入すると\(p_{A}\left(\lambda_{0}\right)=\det\left(\lambda_{0}I-A\right)=0\)を満たすので、固有多項式に固有値\(\lambda_{0}\)を代入すると0になる。
固有値を\(\lambda_{0}\)としてその固有ベクトルを\(\boldsymbol{x}_{0}\)とする。
このとき、
\begin{align*} q_{A}\left(\lambda_{0}\right)\boldsymbol{x}_{0} & =q_{A}\left(A\right)\boldsymbol{x}_{0}\cmt{\because\lambda_{0}^{k}\boldsymbol{x}_{0}=A^{k}\boldsymbol{x}_{0}}\\ & =O\boldsymbol{x}_{0}\\ & =\boldsymbol{0} \end{align*} となるので\(q_{A}\left(\lambda_{0}\right)=0\)となる。
従って、最小多項式に固有値を代入すると0になる
これらより題意は成り立つ。

(3)

\(A\sim B\)より、ある正則行列\(P\)が存在し\(B=P^{-1}AP\)となる。
\(B\)の固有多項式は
\begin{align*} \det\left(\lambda I-B\right) & =\det\left(\lambda I-P^{-1}AP\right)\\ & =\det\left(P^{-1}\left(\lambda I-A\right)P\right)\\ & =\det\left(P^{-1}\right)\det\left(\lambda I-A\right)\det\left(P\right)\\ & =\det\left(P\right)^{-1}\det\left(\lambda I-A\right)\det\left(P\right)\\ & =\det\left(\lambda I-A\right) \end{align*} となりAの固有多項式と一致する。
従って題意は成り立つ。

(4)

\(A,B\)の最小多項式を\(q_{A}\left(\lambda\right),q_{B}\left(\lambda\right)\)とする。
\begin{align*} q_{A}\left(B\right) & =q_{A}\left(P^{-1}AP\right)\\ & =P^{-1}q_{A}\left(A\right)P\\ & =O \end{align*} となるので\(q_{B}\left(\lambda\right)\)は\(q_{A}\left(\lambda\right)\)より次数が少なくなる又は同じ次数である。
また、
\begin{align*} q_{B}\left(A\right) & =q_{B}\left(PBP^{-1}\right)\\ & =Pq_{B}\left(B\right)P^{-1}\\ & =O \end{align*} となるので\(q_{A}\left(\lambda\right)\)は\(q_{B}\left(\lambda\right)\)より次数が少なくなる又は同じ次数である。
これらより、\(q_{A}\left(\lambda\right)\)と\(q_{B}\left(\lambda\right)\)は同じ次数となり、最小多項式の定義より最高次数の係数は1であるので\(q_{A}\left(\lambda\right)=q_{B}\left(\lambda\right)\)となる。
従って題意は成り立つ。

(5)

\(A\)の固有多項式\(p_{A}\left(x\right)\)は
\[ p_{A}\left(x\right)=\det\left(xI-A\right) \] であり、固有値は固有多項式の根である。
ここで、\(p_{A}\left(x\right)\)は
\begin{align*} p_{A}\left(x\right) & =\det\left(xI-A\right)\\ & =\det\left(\left(\begin{array}{cccc} x & 0 & \cdots & 0\\ 0 & x & \ddots & 0\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & x \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cccc} \left(A\right)_{1,1} & \left(A\right)_{1,2} & \cdots & \left(A\right)_{1,n}\\ \left(A\right)_{2,1} & \left(A\right)_{2,2} & \ddots & \left(A\right)_{2,n}\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ \left(A\right)_{n,1} & \left(A\right)_{n,2} & \cdots & \left(A\right)_{n,n} \end{array}\right)\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{cccc} x-\left(A\right)_{1,1} & -\left(A\right)_{1,2} & \cdots & -\left(A\right)_{1,n}\\ -\left(A\right)_{2,1} & x-\left(A\right)_{2,2} & \ddots & -\left(A\right)_{2,n}\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ -\left(A\right)_{n,1} & -\left(A\right)_{n,2} & \cdots & x-\left(A\right)_{n,n} \end{array}\right) \end{align*} となり、\(x\)の最高次の係数は1となるので\(n\)次のモニック多項式となる。
これより、重複も許して固有多項式の根は\(n\)個\(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots\lambda_{n}\)あり、モニック多項式なので、
\[ p_{A}\left(x\right)=\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\left(x-\lambda_{k}\right) \] となる。
従って題意は成り立つ。

(6)

最小多項式\(q_{A}\left(x\right)\)は任意の\(k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} \)について、\(q_{A}\left(\alpha_{k}\right)=0\)を満たすので\(x-\alpha_{k}\mid q_{A}\left(x\right)\)を満たす。
また、\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r}\)は相異なるので、
\[ \left(\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }\left(x-\alpha_{k}\right)\right)\mid q_{A}\left(x\right) \] を満たす。
従って題意は成り立つ。

(7)

固有多項式\(p\left(x\right)\)は
\begin{align*} p\left(x\right) & =\det\left(xI-D\right)\\ & =\det\left(\diag\left(x,x,\cdots,x\right)-\diag\left(d_{1},d_{2},\cdots,d_{n}\right)\right)\\ & =\det\left(\diag\left(x-d_{1},x-d_{2},\cdots,x-d_{n}\right)\right)\\ & =\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\left(x-d_{k}\right) \end{align*} となる。
従って、題意は成り立つ。

(8)

対角行列\(D=\diag\left(d_{1},d_{2},\cdots,d_{n}\right)\)は\(n\)次対角行列なので\(D\)の固有値は\(d_{1},d_{2},\cdots,d_{n}\)となる。
このとき、\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r}\)を\(d_{1},d_{2},\cdots,d_{n}\)の相異なるものの集合とすると\(r\leq n\)である。
ここで、
\[ m\left(x\right)=\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }\left(x-\alpha_{k}\right) \] とおく。
このとき、
\begin{align*} m\left(D\right) & =\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }\left(D-\alpha_{k}I\right)\\ & =\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }\left(\diag\left(d_{1},d_{2},\cdots,d_{n}\right)-\alpha_{k}\diag\left(1,1,\cdots,1\right)\right)\\ & =\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }\diag\left(d_{1}-\alpha_{k},d_{2}-\alpha_{k},\cdots,d_{n}-\alpha_{k}\right)\\ & =\diag\left(\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }\left(d_{1}-\alpha_{k}\right),\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }\left(d_{2}-\alpha_{k}\right),\cdots,\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }\left(d_{n}-\alpha_{k}\right)\right)\\ & =\diag\left(0,0,\cdots,0\right)\\ & =O_{n} \end{align*} となる。
また、最小多項式\(q\left(x\right)\)は\(q\left(D\right)=O_{n}\)となるので、固有値\(\alpha_{k}\)の固有ベクトルを\(\boldsymbol{v}_{k}\)とすると、\(D\boldsymbol{v}_{k}=\alpha_{k}\boldsymbol{v}_{k}\)となるので、
\begin{align*} q\left(\alpha_{k}\right)\boldsymbol{v}_{k} & =q\left(D\right)\boldsymbol{v}_{k}\\ & =O_{n}\boldsymbol{v}_{k}\\ & =\boldsymbol{0} \end{align*} となり、\(\boldsymbol{v}_{k}\ne\boldsymbol{0}\)なので、\(q\left(\alpha_{k}\right)=0\)となる。
これより、\(q\left(x\right)\)は\(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{r}\)を根とするので、
\[ \prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }\left(x-\alpha_{k}\right)\mid q\left(x\right)\Leftrightarrow m\left(x\right)\mid q\left(x\right) \] となる。
また、最小多項式\(q\left(x\right)\)は\(q\left(D\right)=0\)となる最小次数のモニック多項式であり、\(m\left(D\right)=O_{n}\)であるので、\(q\left(x\right)\mid m\left(x\right)\)となる。
これより、\(m\left(x\right)\mid q\left(x\right)\)かつ\(q\left(x\right)\mid m\left(x\right)\)となり、\(q\left(x\right)\)も\(m\left(x\right)\)もモニック多項式であるので、\(q\left(x\right)=m\left(x\right)\)となる。
従って、最小多項式\(q\left(x\right)\)は
\begin{align*} q\left(x\right) & =m\left(x\right)\\ & =\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }\left(x-\alpha_{k}\right) \end{align*} となる。
故に題意は成り立つ。

(9）

固有多項式\(p\left(x\right)\)は
\begin{align*} p\left(x\right) & =\det\left(xI-J_{n}\left(\lambda\right)\right)\\ & =\det\left(\left(\begin{array}{ccccc} x & 0 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & x & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & x & \ddots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x \end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccccc} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & \lambda & \ddots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda \end{array}\right)\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{ccccc} x-\lambda & -1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & x-\lambda & -1 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & x-\lambda & \ddots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x-\lambda \end{array}\right)\\ & =\left(x-\lambda\right)^{n}\cmt{\because\text{上3角行列}} \end{align*} となる。
従って題意は成り立つ。

(10）

\(n\)次ジョルダン細胞\(J_{n}\left(\lambda\right)\)の固有多項式は\(p\left(x\right)=\left(x-\lambda\right)^{n}\)であり、固有多項式\(p\left(x\right)\)は最小多項式\(q\left(x\right)\)で割り切れるので、\(q\left(x\right)\mid p\left(x\right)\)となる。
これより、最小多項式\(q\left(x\right)\)は\(1\leq m\leq n\)として、\(q\left(x\right)=\left(x-\lambda\right)^{m}\)となる。
また、最小多項式は\(q\left(J_{n}\left(\lambda\right)\right)=O_{n}\)を満たす最小次数のモニック多項式であるので、\(\left(J_{n}\left(\lambda\right)-\lambda\right)^{m}=q\left(J_{n}\left(\lambda\right)\right)=O_{n}\)を満たす最小の\(m\)を見つければよい。
このとき、
\begin{align*} O_{n} & =\left(J_{n}\left(\lambda\right)-\lambda\right)^{m}\\ & =\left(\left(\begin{array}{ccccc} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & \lambda & \ddots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda \end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccccc} \lambda & 0 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & \lambda & \ddots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda \end{array}\right)\right)^{m}\\ & =\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & 0 & \ddots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{array}\right)^{m}\\ & =\left(\left(\delta_{i+1,j}\right)_{i,j}\right)^{m}\\ & =\left(\left(\delta_{i+1,j}\right)_{i,j}\right)^{m-1}\left(\left(\delta_{i+1,j}\right)_{i,j}\right)\mrk*\\ & =\left(\left(\delta_{i+1,j}\right)_{i,j}\right)^{m-2}\left(\left(\delta_{i+1,j}\right)_{i,j}\right)\left(\left(\delta_{i+1,j}\right)_{i,j}\right)\\ & =\left(\left(\delta_{i+1,j}\right)_{i,j}\right)^{m-2}\left(\left(\sum_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\left(\delta_{i+1,k}\right)_{i,k}\left(\delta_{k+1,j}\right)_{k,j}\right)_{i,j}\right)\\ & =\left(\left(\delta_{i+1,j}\right)_{i,j}\right)^{m-2}\left(\left(\sum_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\delta_{i+1,k}\delta_{k+1,j}\right)_{i,j}\right)\\ & =\left(\left(\delta_{i,j-1}\right)_{i,j}\right)^{m-2}\left(\left(\delta_{i+1,i+1}\delta_{i+1+1,j}\right)_{i,j}\right)\\ & =\left(\left(\delta_{i+1,j}\right)_{i,j}\right)^{m-2}\left(\left(\delta_{i+2,j}\right)_{i,j}\right)\\ & =\left(\left(\delta_{i+1,j}\right)_{i,j}\right)^{m-2}\left(\left(\delta_{i+2,j}\right)_{i,j}\right)\\ & =\left(\left(\delta_{i+1,j}\right)_{i,j}\right)^{m-3}\left(\left(\delta_{i+3,j}\right)_{i,j}\right)\\ & =\cdots\\ & =\left(\left(\delta_{i+1,j}\right)_{i,j}\right)^{m-m}\left(\left(\delta_{i+m,j}\right)_{i,j}\right)\\ & =\left(\left(\delta_{i+m,j}\right)_{i,j}\right) \end{align*} となる。
これが成り立つには、任意の\(i,j\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \)について、\(\delta_{i+m,j}=0\)を満たせばよいので\(n<1+m\)となり、\(n-1<m\)となるので、\(m=n\)となる。
従って、\(q\left(x\right)=\left(x-\lambda\right)^{m}=\left(x-\lambda\right)^{n}\)となる。
故に題意は成り立つ。

(11)

行列\(A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}\)の固有多項式は\(p_{1}\left(x\right),p_{2}\left(x\right),\cdots,p_{n}\left(x\right)\)なので、
\[ p_{k}\left(x\right)=\det\left(xI-A_{k}\right) \] である。
これより、
\begin{align*} \det\left(xI-A\right) & =\det\left(\left(\begin{array}{cccc} x & 0 & \cdots & 0\\ 0 & x & \ddots & 0\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & x \end{array}\right)-\left(\begin{array}{cccc} A_{1} & O & \cdots & O\\ O & A_{2} & \ddots & O\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ O & O & \cdots & A_{n} \end{array}\right)\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{cccc} xI-A_{1} & O & \cdots & O\\ O & xI-A_{2} & \ddots & O\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ O & O & \cdots & xI-A_{n} \end{array}\right)\\ & =\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\det\left(xI-A_{k}\right)\\ & =\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }p_{k}\left(x\right) \end{align*} となる。
従って、題意は成り立つ。

(12)

最小多項式\(q\left(x\right)\)はある\(n\in\mathbb{N}\)が存在して、\(q\left(x\right)=\sum_{k\in\left\{ 0,1,2,\cdots,n\right\} }a_{k}x^{k}\)と表すことができる。
また、\(q\left(A\right)=O\)を満たすので、
\begin{align*} O & =q\left(A\right)\\ & =\sum_{k\in\left\{ 0,1,2,\cdots,n\right\} }a_{k}A^{k}\\ & =\sum_{k\in\left\{ 0,1,2,\cdots,n\right\} }a_{k}\diag^{k}\left(A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}\right)\\ & =\sum_{k\in\left\{ 0,1,2,\cdots,n\right\} }a_{k}\diag\left(A_{1}^{k},A_{2}^{k},\cdots,A_{n}^{k}\right)\\ & =\sum_{k\in\left\{ 0,1,2,\cdots,n\right\} }\diag\left(a_{k}A_{1}^{k},a_{k}A_{2}^{k},\cdots,a_{k}A_{n}^{k}\right)\\ & =\diag\left(\sum_{k\in\left\{ 0,1,2,\cdots,n\right\} }a_{k}A_{1}^{k},\sum_{k\in\left\{ 0,1,2,\cdots,n\right\} }a_{k}A_{2}^{k},\cdots,\sum_{k\in\left\{ 0,1,2,\cdots,n\right\} }a_{k}A_{n}^{k}\right)\\ & =\diag\left(q\left(A_{1}\right),q\left(A_{2}\right),\cdots,q\left(A_{n}\right)\right) \end{align*} となり、これが成り立つには任意の\(k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \)について、\(q\left(A_{k}\right)=O\)となる。
これより、\(A_{k}\)の最小多項式\(q_{k}\left(x\right)\)は\(q_{k}\left(A_{k}\right)=O\)を満たす最小の多項式であり、\(A\)の最小多項式\(q\left(x\right)\)は\(q\left(A_{k}\right)=O\)を満たす多項式であるので、\(q\left(x\right)\)は\(q_{k}\left(x\right)\)で割り切れ\(q_{k}\left(x\right)\mid q\left(x\right)\)を満たす。
従って、任意の\(k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \)について\(q_{k}\left(x\right)\mid q\left(x\right)\)を満たす。
これより、最小次数の\(q\left(x\right)\)は\(q_{1}\left(x\right),q_{2}\left(x\right),\cdots,q_{n}\left(x\right)\)の最小公倍数となり、
\[ q\left(x\right)=\lcm\left(q_{1}\left(x\right),q_{2}\left(x\right),\cdots,q_{n}\left(x\right)\right) \] となる。
従って題意は成り立つ。