(1)

\begin{align*} \lambda_{0}\text{が}A\text{の固有値} & \Leftrightarrow\exists\boldsymbol{x}\in K\setminus\left\{ 0\right\} ,A\boldsymbol{x}=\lambda_{0}\boldsymbol{x}\\ & \Leftrightarrow\exists\boldsymbol{x}\in K\setminus\left\{ 0\right\} ,\left(A-\lambda_{0}\right)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\\ & \Leftrightarrow\left(A-\lambda_{0}\right)\text{が正則でない}\\ & \Leftrightarrow\det\left(A-\lambda_{0}\right)=0 \end{align*} となるので題意は成り立つ。

(2)

\(A\)はある正則行列\(P\)で\(P^{-1}AP\)と3角化でき、3角行列の対角成分は固有値と等しいので、
\begin{align*} \tr\left(A\right) & =\tr\left(P^{-1}AP\right)\\ & =\sum_{k=1}^{n}\left(P^{-1}AP\right)_{kk}\\ & =\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k} \end{align*} となり題意は成り立つ。

(3)

\(A\)はある正則行列\(P\)で\(P^{-1}AP\)と3角化でき、3角行列の対角成分は固有値と等しいので、
\begin{align*} \det\left(A\right) & =\det\left(P^{-1}AP\right)\\ & =\prod_{k=1}^{n}\left(P^{-1}AP\right)_{kk}\\ & =\prod_{k=1}^{n}\lambda_{k} \end{align*} となり題意は成り立つ。

(4)

固有多項式は
\begin{align*} \det\left(\lambda I-A^{T}\right) & =\det\left(\left(\lambda I\right)^{T}-A^{T}\right)\\ & =\det\left(\left(\left(\lambda I\right)-A\right)^{T}\right)\\ & =\det\left(\lambda I-A\right) \end{align*} となり、固有多項式が等しいので\(A\)の固有値と\(A^{T}\)の固有値は等しい。

(5)

\begin{align*} 0 & =\det\left(\lambda I-\overline{A}\right)\\ & =\det\left(\overline{\overline{\lambda}I-A}\right)\\ & =\overline{\det\left(\overline{\lambda}I-A\right)}\\ & =\det\left(\overline{\lambda}I-A\right) \end{align*} となるので、\(\overline{A}\)の固有値が\(\lambda\)のとき\(A\)の固有値は\(\overline{\lambda}\)になるので固有値は複素共役の関係がある。

(6)

\(A\)を\(n\)次正方行列として、固有値を\(\lambda\) とする。
\begin{align*} 0 & =\det\left(\lambda I-A\right)\\ & =\det\left(AA^{-1}\left(\lambda I-A\right)\right)\\ & =\det\left(A\right)\det\left(A^{-1}\left(\lambda I-A\right)\right)\\ & =\det\left(A\right)\det\left(\lambda A^{-1}-I\right)\\ & =\det\left(A\right)\det\left(-\lambda\left(\frac{1}{\lambda}I-A^{-1}\right)\right)\\ & =\left(-\lambda\right)^{n}\det\left(A\right)\det\left(\frac{1}{\lambda}I-A^{-1}\right) \end{align*} となり、\(\left(-\lambda\right)^{n}\det\left(A\right)\ne0\)なので、
\[ \det\left(\frac{1}{\lambda}I-A\right)=0 \] となり\(A^{-1}\)の固有値は元の\(A\)の固有値\(\lambda\)の逆数である\(\frac{1}{\lambda}\)になる。

(7)

\(P\)を正則行列とする。
相似なときは\(A\sim P^{-1}AP\)と表される。
従って、\(P^{-1}AP\)の\(\lambda\)を固有値とする固有方程式は
\begin{align*} \det\left(\lambda I-P^{-1}AP\right) & =\det\left(P^{-1}\left(\lambda I-A\right)P\right)\\ & =\det\left(P^{-1}\right)\det\left(\lambda I-A\right)\det\left(P\right)\\ & =\det\left(P\right)^{-1}\det\left(\lambda I-A\right)\det\left(P\right)\\ & =\det\left(\lambda I-A\right) \end{align*} となり\(A\)の固有値となる。
同様に\(A\)の固有値も\(P^{-1}AP\)の固有値となる。
従って\(A\)と\(P^{-1}AP\)の固有値は一致する。

(8)

\(A\)を\(n\)次正方行列として対角成分を\(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\)として3角行列を上3角行列とする。
固有方程式は
\begin{align*} 0 & =\det\left(\lambda I-A\right)\\ & =\det\left(\lambda\left(\begin{array}{ccccc} 1 & & & & 0\\ & \ddots\\ & & 1\\ & & & \ddots\\ 0 & & & & 1 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccccc} \lambda_{1} & \cdots & a_{1,k} & \cdots & a_{n,n}\\ 0 & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \vdots & 0 & \lambda_{k} & \cdots & a_{k,n}\\ \vdots & \ddots & 0 & \ddots & \vdots\\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda_{n} \end{array}\right)\right)\\ & =\det\left(\left(\begin{array}{ccccc} \lambda_{1}-\lambda & \cdots & a_{1,k} & \cdots & a_{n,n}\\ 0 & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \vdots & 0 & \lambda_{k}-\lambda & \cdots & a_{k,n}\\ \vdots & \ddots & 0 & \ddots & \vdots\\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & \lambda_{n}-\lambda \end{array}\right)\right)\\ & =\prod_{k=1}^{n}\left(\lambda_{k}-\lambda\right) \end{align*} となるので固有値は\(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}\)となる。
3角行列が下3角行列のときも同様である。
故に題意は成り立つ。

(9)

3角行列の固有値については、対角成分になり、対角行列は3角行列であるので固有値は対角成分になる。
従って題意は成り立つ。

(10)

\(\Rightarrow\)

\(N\)をべき零行列とすると、ある自然数\(m\in\mathbb{N}\)が存在し\(N^{m}=O\)となる。
固有値を\(\lambda\)、固有ベクトルを\(\boldsymbol{x}\)とすると、\(N\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}\)なので
\begin{align*} 0 & =O\boldsymbol{x}\\ & =N^{m}\boldsymbol{x}\\ & =N^{m-1}\lambda\boldsymbol{x}\\ & =\lambda^{m}\boldsymbol{x}+\lambda^{k}\sum_{k=1}^{m}\left(\frac{1}{\lambda^{k}}N^{k}\boldsymbol{x}-\frac{1}{\lambda^{k-1}}N^{k-1}\boldsymbol{x}\right)\\ & =\lambda^{m}\boldsymbol{x} \end{align*} となり、固有ベクトルは\(\boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{0}\)なので\(\lambda^{m}=0\)となり\(\lambda=0\)となる。
従って、べき零行列の固有値は0のみとなる。

\(\Leftarrow\)

\(A\)は\(n\)次正方行列とする。
固有値が0のみなので固有多項式は\(p_{N}\left(\lambda\right)=\lambda^{n}\)となり、ケーリー・ハミルトンの定理より、\(p_{N}\left(N\right)=N^{n}=O\)となる。
従って\(N\)はべき零行列となるので\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので、\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(11)

\(A\)の固有値が\(\lambda_{0}\)のみなので固有多項式は\(p_{A}\left(\lambda\right)=\det\left(\lambda I-A\right)=\left(\lambda-\lambda_{0}\right)^{n}\)となり、\(A-\lambda_{0}I\)の固有多項式は\(p_{A-\lambda_{0}I}\left(\lambda\right)=\det\left(\lambda I-\left(A-\lambda_{0}I\right)\right)=\det\left(\left(\lambda+\lambda_{0}\right)I-A\right)=p_{A}\left(\lambda+\lambda_{0}\right)\)=\(\left(\lambda+\lambda_{0}-\lambda_{0}\right)^{n}=\lambda^{n}\)となる。
ケーリー・ハミルトンの定理より、\(O=p_{A-\lambda_{0}I}\left(A-\lambda_{0}I\right)=\left(A-\lambda_{0}I\right)^{n}\)となるので、\(A-\lambda_{0}I\)はべき零行列となる。
これより、題意は成り立つ。

(12)

\(\Rightarrow\)

べき等行列\(A\)はユニタリ行列\(U\)で対角化ができるので対角行列を\(B=U^{-1}AU\)とする。
\(A\)はべき等行列なので、\(B^{2}=\left(U^{-1}AU\right)^{2}=U^{-1}A^{2}U=U^{-1}AU=B\)となり、\(B^{2}-B=O\)となる。
\(B\)の固有値を\(b\)とすると\(b^{2}-b=0\)となるので\(b\left(b-1\right)=0\)より\(b=0,1\)となる。
従って、べき等行列の固有値は全て0または1となるので\(\Rightarrow\)が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\[ A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right) \] の固有多項式\(p_{A}\left(\lambda\right)\)は\(p_{A}\left(\lambda\right)=\det\left(\lambda I-A\right)=\left(\lambda-1\right)^{2}\)となるので固有値は1のみであるが、
\begin{align*} A^{2} & =\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right)^{2}\\ & =\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{array}\right)\\ & \ne\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right)\\ & =A \end{align*} なのでべき等行列ではない。
従って逆は一般的に成り立たない

(13)

固有値を\(0\)と仮定すると、
\begin{align*} 0 & =\det\left(\lambda I-A\right)\\ & =\left(-1\right)^{n}\det A\\ & =\det A \end{align*} となるが、\(A^{2}=aI\)より、\(\frac{A}{a}A=I\)であり、\(A^{-1}=\frac{A}{a}\)となるので、\(A\)は正則であるが、\(\det A=0\)となり矛盾。
従って、固有値は0でない。
固有値は0でないので、
\begin{align*} 0 & =\det\left(\lambda I-A\right)\\ & =\left(\det\left(\lambda I-A\right)\right)^{2}\\ & =\det\left(\left(\lambda I-A\right)^{2}\right)\\ & =\det\left(\lambda^{2}I-2\lambda A+A^{2}\right)\\ & =\det\left(\lambda^{2}I-2\lambda A+aI\right)\\ & =\det\left(\left(\lambda^{2}+a\right)I-2\lambda A\right)\\ & =\det\left(\frac{\lambda^{2}+a}{2\lambda}I-A\right) \end{align*} となる。
これより、
\[ \lambda=\frac{\lambda^{2}+a}{2\lambda} \] となり、
\[ \lambda=\pm\sqrt{a} \] となる。

-

固有値は\(+1,-1\)の両方になるとは限らない。
例えば、
\[ A_{\pm}=\left(\begin{array}{cc} \pm1 & 0\\ 0 & \pm1 \end{array}\right) \] とすると、\(A_{+}\)の固有値は\(+1\)のみで、\(A_{-}\)の固有値は\(-1\)のみである。

(14)

\begin{align*} 0 & =\det\left(\lambda I-A^{*}\right)\\ & =\det\left(\lambda I-\overline{A}^{T}\right)\\ & =\det\left(\overline{\left(\overline{\lambda}I-A\right)}^{T}\right)\\ & =\overline{\det\left(\overline{\lambda}I-A\right)}\\ & =\det\left(\overline{\lambda}I-A\right) \end{align*} となるのでエルミート転置\(A^{*}\)の固有値は\(A\)の固有値の複素共役である。

(15)

\(\Rightarrow\)

\(A\)をエルミート行列とする。
固有方程式は
\begin{align*} 0 & =\det\left(\lambda I-A\right)\\ & =\det\left(\lambda I-A^{*}\right)\\ & =\det\left(\lambda I-\overline{A}^{T}\right)\\ & =\det\left(\overline{\left(\overline{\lambda}I-A\right)}^{T}\right)\\ & =\overline{\det\left(\overline{\lambda}I-A\right)}\\ & =\det\left(\overline{\lambda}I-A\right) \end{align*} となるので固有値は\(\lambda=\overline{\lambda}\)より、\(0=\lambda-\overline{\lambda}=2\Im\left(\lambda\right)\)となるので実数となる。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\[ A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right) \] とすると固有多項式は\(\det\left(\lambda I-A\right)=\left(\lambda-1\right)^{2}-1\cdot0=\left(\lambda-1\right)^{2}\)となるので固有値は1のみである。
しかし\(A\)はエルミート行列ではない。
従って逆は一般的に成り立たない。

(15)-2

\(A\)をエルミート行列として固有値\(\lambda\)の固有ベクトルを\(\boldsymbol{x}\)とする。
このとき、
\begin{align*} \lambda\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle & =\left\langle \lambda\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & =\left\langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{x},A\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{x},\lambda\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & =\overline{\lambda}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \end{align*} となるので、
\begin{align*} 0 & =\left(\lambda-\overline{\lambda}\right)\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & =2\Im\left(\lambda\right)\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & =2\Im\left(\lambda\right)\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \end{align*} となる。
\(\boldsymbol{x}\)は固有ベクトルなので\(\boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{0}\)であるので、\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert >0\)となるので、\(\Im\left(\lambda\right)=0\)となり\(\lambda\)は実数となる。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

(16)

\(\Rightarrow\)

\(A\)を反エルミート行列とする。
固有方程式は
\begin{align*} 0 & =\det\left(\lambda I-A\right)\\ & =\det\left(\lambda I+A^{*}\right)\\ & =\det\left(\lambda I+\overline{A}^{T}\right)\\ & =\det\left(\overline{\left(\overline{\lambda}I+A\right)}^{T}\right)\\ & =\overline{\det\left(\overline{\lambda}I+A\right)}\\ & =\det\left(\overline{\lambda}I+A\right)\\ & =\det\left(-\overline{\lambda}I-A\right) \end{align*} となるので固有値は\(\lambda=-\overline{\lambda}\)より、\(0=\lambda+\overline{\lambda}=2\Re\left(\lambda\right)\)となるので純虚数となる。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\[ A=\left(\begin{array}{cc} i & 1\\ 0 & i \end{array}\right) \] とすると固有多項式は\(\det\left(\lambda I-A\right)=\left(\lambda-i\right)^{2}-1\cdot0=\left(\lambda-i\right)^{2}\)となるので固有値は\(i\)のみである。
しかし\(A\)は反エルミート行列ではない。
従って逆は一般的に成り立たない。

(16)-2

\(A\)を反エルミート行列として固有値\(\lambda\)の固有ベクトルを\(\boldsymbol{x}\)とする。
このとき、
\begin{align*} \lambda\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle & =\left\langle \lambda\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & =\left\langle A\boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{x},A^{*}\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & =-\left\langle \boldsymbol{x},A\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & =\left\langle \boldsymbol{x},\lambda\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & =-\overline{\lambda}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \end{align*} となるので、
\begin{align*} 0 & =\left(\lambda+\overline{\lambda}\right)\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & =2\Re\left(\lambda\right)\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{x}\right\rangle \\ & =2\Re\left(\lambda\right)\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \end{align*} となる。
\(\boldsymbol{x}\)は固有ベクトルなので\(\boldsymbol{x}\ne\boldsymbol{0}\)であるので、\(\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert >0\)となるので、\(\Re\left(\lambda\right)=0\)となり\(\lambda\)は純虚数となる。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

(17)

\(U\)を\(n\)次ユニタリ行列とする。
固有値を\(\lambda\in\mathbb{C}\)、固有ベクトルを\(\boldsymbol{x}\in\mathbb{C}^{n}\setminus\left\{ \boldsymbol{0}\right\} \)とする。
このとき、
\[ U\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x} \] となるので、両辺のノルムをとると、
\begin{align*} \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert & =\left\Vert U\boldsymbol{x}\right\Vert \\ & =\left\Vert \lambda\boldsymbol{x}\right\Vert \\ & =\left|\lambda\right|\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \end{align*} となるので\(\left|\lambda\right|=1\)となる。
これより、題意は成り立つ。