(1)

「hom」は準同型写像を意味する「homomorphism」の略です。

(2)

mapとhomの違いはmapは写像、homは準同型写像である。

(3)

\(0\in\hom_{K}\left(V,W\right)\)となる。
何故なら、写像0は加法性
\[ 0\left(x+y\right)=0=0\left(x\right)+0\left(y\right) \] を満たし、斉1次性
\[ 0\left(cx\right)=0=c0\left(x\right) \] を満たす。
これより、写像\(0:V\rightarrow W\)は加法性・斉1次性を満たすので線形写像となり\(0\in\hom_{K}\left(V,W\right)\)となる。

(4)\(\hom_{K}\left(V,W\right)\)が体\(K\)上のベクトル空間になることの証明

演算に関して閉じていることの証明

\(\hom_{K}\left(V,W\right)\)が和とスカラー倍について閉じていることを示す。

\(f,g\in\hom_{K}\left(V,W\right)\rightarrow f+g\in\hom_{K}\left(V,W\right)\)

\(\hom_{K}\left(V,W\right)\)が和に関して閉じていることを示す。
すなわち、\(f,g\)が線形写像ならば\(f+g\)も線形写像になることを示す。
任意の\(c\in K;\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V\)に対し、加法性は
\begin{align*} \left(f+g\right)\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) & =f\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right)+g\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right)\\ & =f\left(\boldsymbol{x}\right)+f\left(\boldsymbol{y}\right)+g\left(\boldsymbol{x}\right)+g\left(\boldsymbol{y}\right)\\ & =\left(f+g\right)\left(\boldsymbol{x}\right)+\left(f+g\right)\left(\boldsymbol{y}\right) \end{align*} となるので満たす。
また、斉1次性は
\begin{align*} \left(f+g\right)\left(c\boldsymbol{x}\right) & =f\left(c\boldsymbol{x}\right)+g\left(c\boldsymbol{x}\right)\\ & =cf\left(\boldsymbol{x}\right)+cg\left(\boldsymbol{x}\right)\\ & =c\left(f\left(\boldsymbol{x}\right)+g\left(\boldsymbol{x}\right)\right)\\ & =c\left(f+g\right)\left(\boldsymbol{x}\right) \end{align*} となるので満たす。
これより、\(f+g\)は加法性・斉1次性を満たすので線形写像となるので、\(f,g\in\hom_{K}\left(V,W\right)\rightarrow f+g\in\hom_{K}\left(V,W\right)\)となり、和に関して閉じている。

\(c\in K,f\in\hom_{K}\left(V,W\right)\rightarrow cf\in\hom_{K}\left(V,W\right)\)

\(\hom_{K}\left(V,W\right)\)がスカラー倍に関して閉じていることを示す。
すなわち、\(c\)をスカラーとして、\(f\)が線形写像ならば\(cf\)も線形写像になることを示す。
任意の\(d\in K,\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V\)に対し、加法性は
\begin{align*} \left(cf\right)\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right) & =cf\left(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\right)\\ & =c\left(f\left(\boldsymbol{x}\right)+f\left(\boldsymbol{y}\right)\right)\\ & =cf\left(\boldsymbol{x}\right)+cf\left(\boldsymbol{y}\right)\\ & =\left(cf\right)\left(\boldsymbol{x}\right)+\left(cf\right)\left(\boldsymbol{y}\right) \end{align*} となるので満たす。
また、斉1次性は
\begin{align*} \left(cf\right)\left(d\boldsymbol{x}\right) & =cf\left(d\boldsymbol{x}\right)\\ & =cdf\left(\boldsymbol{x}\right)\\ & =dcf\left(\boldsymbol{x}\right)\\ & =d\left(cf\right)\left(\boldsymbol{x}\right) \end{align*} となるので満たす。
これより、\(cf\)は加法性・斉1次性を満たすので線形写像となるので、\(c\in K,f\in\hom_{K}\left(V,W\right)\rightarrow cf\in\hom_{K}\left(V,W\right)\)となり、スカラー倍に関して閉じている。

-

これより、\(\hom_{K}\left(V,W\right)\)は和とスカラー倍について閉じている。

ベクトル空間になることの証明

加法の結合律

\(f,g,h\in\hom_{K}\left(V,W\right)\)として任意の\(\boldsymbol{x}\in V\)に対し、
\begin{align*} \left(\left(f+g\right)+h\right)\left(\boldsymbol{x}\right) & =\left(f+g\right)\left(\boldsymbol{x}\right)+h\left(\boldsymbol{x}\right)\\ & =f\left(\boldsymbol{x}\right)+g\left(\boldsymbol{x}\right)+h\left(\boldsymbol{x}\right)\\ & =f\left(\boldsymbol{x}\right)+\left(g+h\right)\left(\boldsymbol{x}\right)\\ & =\left(f+\left(g+h\right)\right)\left(\boldsymbol{x}\right) \end{align*} となり、\(\boldsymbol{x}\)は任意なので\(\left(f+g\right)+h=f+\left(g+h\right)\)となる。

加法の可換律

\(f,g\in\hom_{K}\left(V,W\right)\)として任意の\(\boldsymbol{x}\in V\)に対し、
\begin{align*} \left(f+g\right)\left(\boldsymbol{x}\right) & =f\left(\boldsymbol{x}\right)+g\left(\boldsymbol{x}\right)\\ & =g\left(\boldsymbol{x}\right)+f\left(\boldsymbol{x}\right)\\ & =\left(g+f\right)\left(\boldsymbol{x}\right) \end{align*} となり、\(\boldsymbol{x}\)は任意なので\(f+g=g+h\)となる。

加法単位元

\(0_{f}\)を\(V\)から\(W\)への零写像として、\(f\in\hom_{K}\left(V,W\right)\)として任意の\(\boldsymbol{x}\in V\)に対し、
\begin{align*} \left(f+0_{f}\right)\left(\boldsymbol{x}\right) & =f\left(\boldsymbol{x}\right)+0_{f}\left(\boldsymbol{x}\right)\\ & =f\left(\boldsymbol{x}\right)+\boldsymbol{0}_{W}\\ & =f\left(\boldsymbol{x}\right) \end{align*} となり、\(\boldsymbol{x}\)は任意なので\(f+0_{f}=f\)となる。

加法逆元

\(f\in\hom_{K}\left(V,W\right)\)として任意の\(\boldsymbol{x}\in V\)に対し、
\begin{align*} \left(f-f\right)\left(\boldsymbol{x}\right) & =f\left(\boldsymbol{x}\right)-f\left(\boldsymbol{x}\right)\\ & =0 \end{align*} となり、\(\boldsymbol{x}\)は任意なので\(f-f=0\)となる。

スカラー分配律

\(f,g\in\hom_{K}\left(V,W\right);c\in K\)として任意の\(\boldsymbol{x}\in V\)に対し、
\begin{align*} \left(c\left(f+g\right)\right)\left(\boldsymbol{x}\right) & =c\left(f+g\right)\left(\boldsymbol{x}\right)\\ & =c\left(f\left(\boldsymbol{x}\right)+g\left(\boldsymbol{x}\right)\right)\\ & =cf\left(\boldsymbol{x}\right)+cg\left(\boldsymbol{x}\right)\\ & =\left(cf\right)\left(\boldsymbol{x}\right)+\left(cg\right)\left(\boldsymbol{x}\right) \end{align*} となり、\(\boldsymbol{x}\)は任意なので\(c\left(f+g\right)=cf+cg\)となる。

ベクトル分配律

\(f\in\hom_{K}\left(V,W\right);c,d\in K\)として任意の\(\boldsymbol{x}\in V\)に対し、
\begin{align*} \left(\left(c+d\right)f\right)\left(\boldsymbol{x}\right) & =\left(c+d\right)f\left(\boldsymbol{x}\right)\\ & =cf\left(\boldsymbol{x}\right)+df\left(\boldsymbol{x}\right) \end{align*} となり、\(\boldsymbol{x}\)は任意なので\(\left(c+d\right)f=cf+df\)となる。

スカラーとベクトルの結合律

\(f\in\hom_{K}\left(V,W\right);c,d\in K\)として任意の\(\boldsymbol{x}\in V\)に対し、
\begin{align*} \left(c\left(df\right)\right)\left(\boldsymbol{x}\right) & =c\left(df\right)\left(\boldsymbol{x}\right)\\ & =cdf\left(\boldsymbol{x}\right)\\ & =\left(cd\right)f\left(\boldsymbol{x}\right)\\ & =\left(\left(cd\right)f\right)\left(\boldsymbol{x}\right) \end{align*} となり、\(\boldsymbol{x}\)は任意なので\(c\left(df\right)=\left(cd\right)f\)となる。

スカラーの単位元

\(f\in\hom_{K}\left(V,W\right)\)として任意の\(\boldsymbol{x}\in V\)に対し、
\begin{align*} \left(1f\right)\left(\boldsymbol{x}\right) & =1f\left(x\right)\\ & =f\left(x\right) \end{align*} となり、\(\boldsymbol{x}\)は任意なので\(1f=f\)となる。

-

これらより、\(\hom_{K}\left(V,W\right)\)は和とスカラー倍に関して閉じていて、ベクトル空間であるための条件をすべて満たすので\(\hom_{K}\left(V,W\right)\)はベクトル空間となる。