ベクトル空間での有限次元と無限次元の定義

by nomura · 2026年2月27日

ベクトル空間での有限次元と無限次元の定義
任意の自然数$n\in\mathbb{N}$について、$V$に$n$個の1次独立な元が存在するとき、$V$は無限次元であるという。
$V$が無限次元でないとき、$V$を有限次元という。
つまり、ある自然数$n\in\mathbb{N}$が存在し、$V$に$n$個の1次独立な元が存在しないとき、$V$は有限次元であるという。

(1)

$V$の基底が有限個であるとき、$V$は有限次元となり、基底が無限個であるとき、$V$は無限次元になります。
これを示す。
$V$の基底が有限個であるとき、ある自然数$n\in\mathbb{N}$が存在し、基底は$e_{1},e_{2},\cdots,e_{n}$と表すことができるが、$n+1$個の1次独立な元が存在しないので有限次元となる。
また、基底が無限個であるとき、基底は$e_{1},e_{2},\cdots$と表すことができ、任意の自然数$n\in\mathbb{N}$について、$e_{1},e_{2},\cdots,e_{n}$は1次独立であるので$V$は無限次元になる。
従って題意は成り立つ。

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タイトル	ベクトル空間での有限次元と無限次元の定義
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和空間・積集合・部分集合から生成・像・逆像と部分空間

部分空間の和空間・積集合・像・逆像は部分空間になる。

生成される部分空間

\[ W=\left\langle \boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots,\boldsymbol{x}_{n}\right\rangle _{K} \]

1次従属・1次独立の基本性質

ベクトル$\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m}$が1次従属であれば$\boldsymbol{a}_{1},\boldsymbol{a}_{2},\cdots,\boldsymbol{a}_{m+1}$も1次従属である。

1次関係と1次独立と1次従属の定義

\[ \sum_{k=1}^{n}c_{k}\boldsymbol{x}_{k}=\boldsymbol{0}\Rightarrow c_{1}=c_{2}=\cdots=c_{n}=0 \]